Ïðîöåññû óêàçàííîãî âèäà îáíàðóæèâàþòñÿ â ëþáîé òî÷íîé íàóêå. Òàê, îïèñàíèå ÿâëåíèé ïðèðîäû ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðîå ââåëè îêîëî 300 ëåò íàçàä Èñààê Íüþòîí è Ãîòòôðèä Â. Ëåéáíèö, îñíîâàíî íà ïðèíöèïå îáðàòíîé ñâÿçè. Äèíàìè÷åñêèé çàêîí îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü ÷àñòèöû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ÷åðåç èõ çíà÷åíèÿ â ïðåäûäóùèé ìîìåíò. Äâèæåíèå ÷àñòèöû ïîíèìàåòñÿ êàê ðåàëèçàöèÿ ýòîãî çàêîíà. Íåñóùåñòâåííî, áóäåò ëè ïðîöåññ äèñêðåòíûì, ò. å. îñóùåñòâëÿåìûì ïî øàãàì, ëèáî íåïðåðûâíûì. Ôèçèêàì íðàâèòñÿ ìûñëèòü â òåðìèíàõ èíôèíèòåçèìàëüíûõ åäèíèö âðåìåíè: Natura non facit saltus (“Ïðèðîäà íå äåëàåò ñêà÷êîâ”). Áèîëîãè, íàïðîòèâ, ÷àñòî ïðåäïî÷èòàþò ðàññìàòðèâàòü èçìåíåíèÿ îò ãîäà ê ãîäó èëè îò ïîêîëåíèÿ ê ïîêîëåíèþ. Î÷åâèäíî, äîïóñòèìû îáå òî÷êè çðåíèÿ, à âûáîð ïîäõîäÿùåãî îïèñàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ îáñòîÿòåëüñòâàìè.
Ãëàâà 3
ÑÖÅÍÀÐÈÉ ÏÐÎÍÈÊÍÎÂÅÍÈß Â ÕÀÎÑ
Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ðîñò íåêîòîðîé ïîïóëÿöèè çà íåñêîëüêî ëåò îáû÷íî îïèñûâàþò ïðè ïîìîùè êîýôôèöèåíòà ïðèðîñòà, ò. å. îòíîøåíèÿ åæåãîäíîãî ïðèðîñòà ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè ê åå îáùåé ÷èñëåííîñòè. Åñëè ýòà âåëè÷èíà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé â òå÷åíèå âñåãî ïåðèîäà âðåìåíè, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàêîí ðîñòà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì, à ñàì ðîñò íàçûâàþò ýêñïîíåíöèàëüíûì. Íàïðèìåð, ïðè êîýôôèöèåíòå ïðèðîñòà â 5% ïîïóëÿöèÿ óäâàèâàåò ñâîþ ÷èñëåííîñòü êàæäûå 14 ëåò. Çàêîíû òàêîãî òèïà, îäíàêî, ïðèìåíèìû òîëüêî íà îãðàíè÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè. Äëÿ ðîñòà âñåãäà ñóùåñòâóþò ïðåäåëû.
Îäíèì èç ïåðâûõ îáðàòèë íà ýòî âíèìàíèå Ï. Ô. Ôåðõþëüñò, ñôîðìóëèðîâàâ â 1845 ãîäó çàêîí, ñîäåðæàùèé îãðàíè÷åíèå íà ðîñò. Îí îáúÿñíèë ýòî òåì, ÷òî ëþáàÿ ýêîëîãè÷åñêàÿ íèøà ìîæåò îáåñïå÷èòü ñóùåñòâîâàíèå ïîïóëÿöèè òîëüêî îïðåäåëåííîãî ìàêñèìàëüíîãî ðàçìåðà Õ è ÷òî êîýôôèöèåíò ïðèðîñòà äîëæåí ñíèæàòüñÿ, êîãäà ðàçìåðû ïîïóëÿöèè ïðèáëèæàþòñÿ ê Õ. Òàêèì îáðàçîì, îí ïðèøåë ê íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü ïåðåìåííûé êîýôôèöèåíò ïðèðîñòà.  ðåçóëüòàòå ýòîãî ïðîöåññ ñòàíîâèëñÿ íåëèíåéíûì, ÷òî êîðåííûì îáðàçîì èçìåíèëî åãî äèíàìè÷åñêîå ïîâåäåíèå.
Ïðîøëî áîëåå ñòà ëåò, ïðåæäå ÷åì áûëè îñîçíàíû âñå âûòåêàþùèå èç ýòîãî ïðîáëåìû. Ïðè ìàëûõ êîýôôèöèåíòàõ ïðèðîñòà, î÷åâèäíî, íè÷åãî îñîáåííîãî íå ïðîèçîéäåò: ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè áóäåò ïðîñòî ðåãóëèðîâàòüñÿ òàê, ÷òîáû äîñòè÷ü îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Õ, óâåëè÷èâàÿñü êîãäà îíà ìåíüøå åãî, è óìåíüøàÿñü, êîãäà áîëüøå. Îäíàêî, êàê òîëüêî êîýôôèöèåíò ïðåâûñèò 200%, íàñ îæèäàþò ñþðïðèçû.
Ñóùåñòâóþò ëè â ïðèðîäå òàêèå áîëüøèå êîýôôèöèåíòû ïðèðîñòà? Êîíå÷íî, ÷åëîâå÷åñêàÿ ïîïóëÿöèÿ òàê áûñòðî íå ðàñòåò, íî äëÿ îïðåäåëåííûõ âèäîâ íàñåêîìûõ òàêîé êîýôôèöèåíò íå ÿâëÿåòñÿ íåîáû÷íûì. Âàæíî òî, ÷òî â ïîñëåäíèå 20 ëåò çàêîí Ôåðõþëüñòà íàøåë ïðèìåíåíèå äëÿ çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêîãî êðóãà ÿâëåíèé, ÷åì ïðåäñòàâëÿë ñåáå ñàì Ôåðõþëüñò.
Ýäâàðä Í. Ëîðåíö, ìåòåîðîëîã èç Ìàññà÷óñåòñêîãî òåõíîëîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà, îáíàðóæèë â 1963 ãîäó, ÷òî èìåííî ýòîò çàêîí îïèñûâàåò íåêîòîðûå ñâîéñòâà òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà, â ÷àñòíîñòè êîãäà êîýôôèöèåíò âåëèê. Çàòåì òåîðåòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ïî ëàçåðíîé ôèçèêå, ãèäðîäèíàìèêå è êèíîòèêå õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé ïðîäåìîíñòðèðîâàëè ïðèíöèïèàëüíûé õàðàêòåð ýòîãî çàêîíà, è ïðåäñêàçàííûå èì ñöåíàðèè áûëè îáíàðóæåíû â ýêñïåðèìåíòàõ.
Íî êàê æå âåäåò ñåáÿ ïðîöåññ Ôåðõþëüñòà, êîãäà êîýôôèöèåíò ñòàíîâèòñÿ áîëüøèì? Ïîäðîáíûé àíàëèç î÷åíü ñëîæåí.
Óïîìÿíåì òîëüêî íàèáîëåå âàæíûå ðåçóëüòàòû. Êîãäà ïàðàìåòðû ðîñòà ïðåâûñÿò 200%, ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì äîñòèæåíèå îïòèìàëüíîé ÷èñëåííîñòè X. Êîãäà ïîïóëÿöèÿ ìàëà, ýíåðãè÷íûé ðîñò íåèçìåííî ïðèâîäèò ê ïðåâûøåíèþ îïòèìàëüíîãî ðàçìåðà, ÷òî âûçûâàåò îòâåòíóþ ðåàêöèþ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïîïóëÿöèÿ óìåíüøàåòñÿ äî ðàçìåðîâ, çíà÷èòåëüíî ìåíüøèõ X. Ïîñëå ýòîãî ïîÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûå êîëåáàíèÿ ìåæäó äâóìÿ ðàçìåðàìè, áîëüøèì è ìåíüøèì.
Êîãäà ïàðàìåòð ðîñòà ïðåâûñèò 245%, ïðîèñõîäèò äàëüíåéøåå óñëîæíåíèå ïîâåäåíèÿ. Êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ñíà÷àëà ìåæäó 4, çàòåì 8, çàòåì 16 ðàçëè÷íûìè âåëè÷èíàìè ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè è òàê äàëåå, äî òåõ ïîð ïîêà äëÿ ïàðàìåòðîâ, áîëüøèõ 257%, íå âîçíèêàåò õàîñ.
×òî ìû ïîíèìàåì ïîä õàîñîì? Ïîïðîñòó ãîâîðÿ, ñèñòåìà âûõîäèò èç ïîä êîíòðîëÿ. Íå ñóùåñòâóåò ñïîñîáà ïðåäñêàçàòü åå ïîâåäåíèå íà äëèòåëüíîå âðåìÿ. Áåñïîðÿäî÷íûå ñêà÷êè ââåðõ è âíèç óïîðíî ïðîäîëæàþòñÿ è íèêîãäà íå ïðåâðàòÿòñÿ â óïîðÿäî÷åííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. ×òîáû ïîíÿòü óäèâëåíèå, êîòîðîå èñïûòàë Ëîðåíö ïðè ýòîì îòêðûòèè, íàïîìíèì, ÷òî íèêàêîé íåîïðåäåëåííîñòè íå ïðåäïîëàãàåòñÿ. Ïðîöåññ ïî-ïðåæíåìó îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì Ôåðõþëüñòà, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëåíà ñâîèì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì - è âñå æå åå ïîâåäåíèå íåâîçìîæíî ïðåäñêàçàòü, îñòàåòñÿ ïðåäîñòàâèòü ïðîöåññó ðàçâèâàòüñÿ ñàìîìó ïî ñåáå.
Ýòà î÷åíü òîíêàÿ ñèòóàöèÿ òðåáóåò íåêîòîðîãî áîëåå ïîäðîáíîãî îáúÿñíåíèÿ. Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëåíà ñâîèì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì, ïîäðàçóìåâàåò âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäóþùèõ çíà÷åíèé ñ áåñêîíå÷íîé òî÷íîñòüþ. Ýòî ÿâëÿåòñÿ âåðíûì òîëüêî “â ïðèíöèïå”. Ëþáîå ðåàëüíîå îïèñàíèå íà÷àëüíîé âåëè÷èíû, íàïðèìåð åå ïðåäñòàâëåíèå â êîìïüþòåðå ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî ñ êîíå÷íîé òî÷íîñòüþ. Èçó÷àåìûé ïðîöåññ ìîæíî ñðàâíèòü ñ ïîëó÷åíèåì èíôîðìàöèè: ÷åì äîëüøå ìû åãî áóäåì íàáëþäàòü, òåì ëó÷øå áóäåì çíàòü â ðåòðîñïåêòèâå òî÷íóþ âåëè÷èíó íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ.
È âñå æå íàèáîëåå âïå÷àòëÿþùèì â äèíàìèêå Ôåðõþëüñòà ÿâëÿåòñÿ íå õàîñ êàê òàêîâîé, à ñöåíàðèé, ïî êîòîðîìó ïîðÿäîê ïðåâðàùàåòñÿ â õàîñ. Èìååò ëè ñìûñë òî÷íî îïðåäåëÿòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðîñòà, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò áèôóðêàöèè îò êîëåáàíèé ïåðèîäà 
ê êîëåáàíèÿì ïåðèîäà 
? Êîìó ýòî íóæíî?
Íî ïåäàíòè÷íîñòü ÷àñòî ñòîÿëà ó êîëûáåëè âàæíûõ îòêðûòèé. Èîãàíí Êåïëåð íå îòêðûë áû ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìû îðáèò äâèæåíèÿ ïëàíåò, åñëè áû íå áûë îáåñïîêîåí íåáîëüøèì îòêëîíåíèåì â 8 óãëîâûõ ìèíóò îðáèòû Ìàðñà îò ïðåäñêàçàíèé òåîðèè Ïòîëîìåÿ. Ôðèäðèõ Âèëüãåëüì Áåññåëü íå ñìîã áû îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå îò Ñîëíöà äî áëèæàéøèõ íåïîäâèæíûõ çâåçä, íå íàó÷èâøèñü òî÷íåéøåìó èñïîëüçîâàíèþ ÷èñåë è òàáëèö âî âðåìÿ ñâîåãî ó÷åíè÷åñòâà ó îäíîãî èç áðåìåíñêèõ òîðãîâöåâ. Íàó÷íàÿ ðàáîòà âñåãäà çàâèñèò îò ñàìîãî ñêðóïóëåçíîãî âíèìàíèÿ ê äåòàëÿì äàæå òîãäà, êîãäà ñòàíîâèòñÿ ÿñíîé êà÷åñòâåííàÿ ñòîðîíà. À êàê èçâåñòíî âñåì, êîìó ïðèõîäèëîñü èñêàòü îøèáêè â êàêîé-ëèáî ïðîãðàììå, äëÿ ýòîãî íåò ëó÷øåãî èíñòðóìåíòà, ÷åì êîìïüþòåð.
Ïðè òî÷íîì àíàëèçå òî÷åê áèôóðêàöèè â ïðîöåññå Ôåðõþëüñòà îáíàðóæèâàåòñÿ çàêîíîìåðíîñòü, èìåþùàÿ èñêëþ÷èòåëüíîå çíà÷åíèå â ìèðå íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé. Çàêîíîìåðíîñòü êàñàåòñÿ äëèí èíòåðâàëîâ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ óñòîé÷èâûì ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå ñ íåêîòîðûì îïðåäåëåííûì ïåðèîäîì. Ýòè èíòåðâàëû ñîêðàùàþòñÿ ïðè êàæäîì óäâîåíèè ïåðèîäà, ïðè÷åì ìíîæèòåëü, õàðàêòåðèçóþùèé ñîêðàùåíèå, ïðèáëèæàåòñÿ ê óíèâåðñàëüíîìó çíà÷åíèþ
= 4.669201660910...,
êîãäà ïåðèîä ðàñòåò.
Ýòî ÷èñëî, ïåðâûå äåñÿòè÷íûå çíàêè êîòîðîãî áûëè âïåðâûå îïóáëèêîâàíû Ãðîññìàííîì è Òîìý â 1977 ãîäó, ïîÿâëÿåòñÿ ñíîâà è ñíîâà âî ìíîãèõ äðóãèõ ïðîöåññàõ. Îíî ÿâëÿåòñÿ òàêîé æå õàðàêòåðèñòèêîé äëÿ ñöåíàðèåâ óäâîåíèÿ ïåðèîäîâ, êàê ÷èñëî 
äëÿ îòíîøåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó. Ýòî ÷èñëî íàçûâàþò òåïåðü “÷èñëîì Ôåéãåíáàóìà”. Ìèò÷åë Ôåéãåíáàóì ïðîäåëàë âû÷èñëåíèÿ íà ñâîåì êàëüêóëÿòîðå â Ëîñ Àëàìîñå äëÿ öåëîãî ðÿäà ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ è ïîëó÷èë â êàæäîì ñëó÷àå îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü. Îí îòêðûë óíèâåðñàëüíîñòü ýòîãî ÷èñëà.
Ýòî îòêðûòèå âûçâàëî íåâåðîÿòíóþ àêòèâíîñòü ó÷åíûõ âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ íàóêè. Áûëî ïîñòàâëåíî îãðîìíîå ÷èñëî ýêñïåðèìåíòîâ, ïîêàçàâøèõ, ÷òî ñöåíàðèé óäâîåíèÿ ïåðèîäà äåéñòâèòåëüíî íàáëþäàåòñÿ âî ìíîãèõ åñòåñòâåííûõ ñèñòåìàõ. Ýòî è íà÷àëî òóðáóëåíòíîñòè â ïîòîêå æèäêîñòè, è íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ â õèìè÷åñêèõ èëè ýëåêòðè÷åñêèõ ñåòÿõ, è äàæå ïåðåõîä íîðìàëüíîãî ðèòìà ñåðäöà â óãðîæàþùóþ æèçíè ôèáðèëëÿöèþ. È ìû ïðîñòî íå â ñîñòîÿíèè ïåðå÷èñëèòü âñå ãðóïïû â ÑØÀ, Ôðàíöèè, ÔÐà èëè ãäå-ëèáî åùå, ïðîäåìîíñòðèðîâàâøèå, ÷òî ñóùåñòâåííûå àñïåêòû äèíàìèêè ñëîæíûõ ñèñòåì ìîæíî ñâåñòè ê ïîâåäåíèþ, ïðèìåð êîòîðîãî äàåò óðàâíåíèå Ôåðõþëüñòà.
Íà òåîðèþ ýòî îêàçàëî íå ìåíåå ñèëüíîå âîçäåéñòâèå. Ìàòåìàòèêè âñå åùå ïûòàþòñÿ äî êîíöà ïîíÿòü ýòó íåîæèäàííóþ óíèâåðñàëüíîñòü. Íî, ïî-âèäèìîìó, áîëåå âàæíî, ÷òî îíà ïîðîäèëà íàäåæäó íà òî, ÷òî íåëèíåéíûå ÿâëåíèÿ íå ëåæàò çà ïðåäåëàìè ñèñòåìàòèçàöèè è íàó÷íîé êëàññèôèêàöèè.
Îäíèì èç ïåðâûõ, êòî îñîçíàë âàæíîñòü èçó÷åíèÿ ïðîöåññà Ôåðõþëüñòà, áûë áèîëîã Ðîáåðò Ì. Ìýé. Åùå â 1976 ãîäó îí ïèñàë:
Ïîýòîìó ÿ íàñòîÿòåëüíî ñîâåòóþ, ÷òîáû ëþäè çíàêîìèëèñü, ñêàæåì (ñ óðàâíåíèåì Ôåðõþëüñòà), íà ðàííåì ýòàïå ñâîåãî îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå. Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî èçó÷àòü ôåíîìåíîëîãè÷åñêè, èòåðèðóÿ åãî íà êàëüêóëÿòîðå èëè äàæå âðó÷íóþ. Åãî èçó÷åíèå äàæå íå òðåáóåò âñåãî ìíîæåñòâà ñëîæíûõ ïîíÿòèé, êàêèå èñïîëüçóþòñÿ â ýëåìåíòàðíîì àíàëèçå. Òàêîå èçó÷åíèå î÷åíü îáîãàùàëî áû èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ó÷àùåãîñÿ î íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ.
Äëÿ âñåõ íàñ áûëî áû ëó÷øå, åñëè áû íå òîëüêî â íàó÷íîé ðàáîòå, íî è â ïîâñåäíåâíîé ïîëèòè÷åñêîé è ýêîíîìè÷åñêîé æèçíè êàê ìîæíî áîëüøå ëþäåé ïîíÿëî, ÷òî ïðîñòûå íåëèíåéíûå ñèñòåìû íå âñåãäà îáëàäàþò ïðîñòûìè äèíàìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.
Ãëàâà 4
ÏÎÃÐÀÍÈ×ÍÛÅ ÑÒÛ×ÊÈ:
ÕÀÎÑ, ÂÎÇÍÈÊÀÞÙÈÉ ÈÇ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖÈÈ
Äëÿ ïîíèìàíèÿ íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé áèôóðêàöèîííûé ñöåíàðèé ïðèîáðåòàåò ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå. Àíàëèç ïðîöåññà Ôåðõþëüñòà ïðåâðàòèë èäåþ äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà â âàæíûé ïðåäìåò îáñóæäåíèÿ è âûÿâèë íåêîòîðûå óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Óíèâåðñàëüíîñòü ñëåäóåò èñòîëêîâûâàòü ïðàâèëüíî. Êîíå÷íî, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ïóòè ê õàîñó; íà ñàìîì äåëå áûëè îòêðûòû è äðóãèå ñöåíàðèè ñòîëü æå îáùåãî õàðàêòåðà. Ïîíÿòèå óíèâåðñàëüíîñòè îò÷àñòè îòðàæàåò òåíäåíöèþ ôèçèêîâ è ìàòåìàòèêîâ èñïîëüçîâàòü ñëîâà, çâó÷àùèå ìíîãîçíà÷èòåëüíî.
Íà ñàìîì äåëå îíî îçíà÷àåò, ÷òî íåêîòîðîå ïîâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íûì, è ýòî áîëåå èëè ìåíåå óäèâèòåëüíàÿ íàõîäêà ñðåäè âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ ñèñòåì.
Êðàéíå æåëàòåëüíî óñòàíîâèòü ïðèíöèïû, õàðàêòåðèçóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó èíäèâèäóàëüíûìè ñöåíàðèÿìè. Áåíóà Á. Ìàíäåëüáðîòó ýòî óäàëîñü ñäåëàòü â 1980 ãîäó, êîãäà îí îáíàðóæèë ìíîæåñòâî, íîñÿùåå òåïåðü åãî èìÿ. Ýòî íå ïðîñòî ïðè÷óäëèâàÿ ôèãóðà, êîòîðàÿ êîìó-òî êàæåòñÿ ïðåêðàñíîé, à êîìó-òî áåçîáðàçíîé; ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà âîïëîùàåò â ñåáå áîëåå îáùèé, ÷åì óíèâåðñàëüíîñòü Ôåéãåíáàóìà, ïðèíöèï ïåðåõîäà îò ïîðÿäêà ê õàîñó. Çäåñü, êàê ýòî ÷àñòî áûâàåò â ìàòåìàòèêå, îáíàðóæèâàåòñÿ ñâÿçü ýñòåòè÷åñêîé ïðèâëåêàòåëüíîñòè ñ ôóíäàìåíòàëüíûì çíà÷åíèåì.
Èäåÿ, èñïîëüçîâàííàÿ Ìàíäåëüáðîòîì, ñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû âìåñòî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðàññìîòðåòü êîìïëåêñíûå è íàáëþäàòü ïðîöåññ 
... íå íà ïðÿìîé, à â ïëîñêîñòè. Äàæå ÷åëîâåêó, íå çíàêîìîìó ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, íå ñëîæíî ïîíÿòü ñóòü ýòîãî ïðîöåññà: äîñòàòî÷íî ëèøü ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî ïðàâèëî
óêàçûâàåò, êóäà äîëæíà ïåðåìåñòèòüñÿ òî÷êà â ïëîñêîñòè, à íå íà ïðÿìîé. Êîíêðåòíûé âèä ïðàâèëà íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, ïîñêîëüêó, êàê ìû óâèäèì, ðàçëè÷íûå ïðàâèëà ìîãóò ïîðîæäàòü òî æå ñàìîå ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà. Áîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïåðåõîä îò ïîðÿäêà ê õàîñó îïèñûâàåòñÿ ñ áîëåå îáùåé òî÷êè çðåíèÿ.  öåíòðå âíèìàíèÿ îêàçàëàñü ïðèðîäà ãðàíèö ìåæäó ðàçëè÷íûìè îáëàñòÿìè. Ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå öåíòðû - àòòðàêòîðû
- êîòîðûå âåäóò áîðüáó çà âëèÿíèå íà ïëîñêîñòè; ëþáàÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà 
ëèáî â òå÷åíèå ïðîöåññà ïðèõîäèò ê òîìó èëè äðóãîìó öåíòðó, ëèáî ëåæèò íà ãðàíèöå è íå ìîæåò ïðèíÿòü îïðåäåëåííîå ðåøåíèå. Ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðà èçìåíÿþòñÿ è îáëàñòè, ïðèíàäëåæàùèå àòòðàêòîðàì, à âìåñòå ñ íèìè è ãðàíèöû. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ãðàíèöà ïðåâðàòèòñÿ â ïûëü, è òàêîé ðàñïàä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ñöåíàðèåâ.
Ïðîöåññ Ìàíäåëüáðîòà ìàòåìàòè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ïðîöåññó Ôåðõþëüñòà. Ôîðìóëà òàêàÿ æå ïðîñòàÿ:
Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî , âîçâåäåì åãî â êâàäðàò è ïðèáàâèì êîíñòàíòó ñ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü 
; çàòåì ïîâòîðèì âû÷èñëåíèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü 
è ò. ä. Ýòî ïîä ñèëó êàæäîìó. Íî íèêòî íå îæèäàë, ÷òî â òàêîì èòåðèðîâàíèè ìîæåò ñêðûâàòüñÿ ñòîëüêî çàãàäî÷íîé êðàñîòû.
Ãëàâà 5
ÍÀÓÊÀ È / ÈËÈ ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ?
Çà ãîäû ïîïûòîê ïðåäñòàâèòü ñâîè ðàáîòû çàèíòåðåñîâàííîé îáùåñòâåííîñòè ó÷åíûå ïîíÿëè, ÷òî õóäîæåñòâåííàÿ äåÿòåëüíîñòü òîæå ìîæåò ïðèíåñòè íàó÷íûå ïëîäû. Èëè âñå êëÿòâåííûå çàâåðåíèÿ ìàòåìàòèêîâ è ôèçèêîâ-òåîðåòèêîâ îá ýñòåòè÷åñêîé êîìïîíåíòå èõ íàóêè ýòî ëèøü ñëîâà? Àìåðèêàíñêèå ìàòåìàòèêè Ôèëèïï Äæ. Äýâèñ è Ðþáåí Õåðø ïèñàëè:
Ñëåïîòà ê ýñòåòèêå ìàòåìàòèêè ðàñïðîñòðàíåíà øèðîêî è èìåííî ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ, ÷òî ìàòåìàòèêà ñ÷èòàåòñÿ ñóõîé, êàê ïûëü, âîëíóþùåé, êàê òåëåôîííàÿ êíèãà, äàëåêîé îò æèçíè, êàê çàêîíîóëîæåíèå Øîòëàíäèè XV â. Íàîáîðîò, ïîíèìàíèå ýñòåòèêè ìàòåìàòèêè çàñòàâëÿåò ïðåäìåò æèòü ïðåêðàñíîé æèçíüþ è ãîðåòü, êàê, ïî-âèäèìîìó, íèêàêîå äðóãîå òâîðåíèå ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà.
Ìîæåò ëè ýòà ýñòåòèêà ïðîÿâèòüñÿ èíà÷å ÷åì â ñàìîì ïîèñêå ìàòåìàòè÷åñêîãî è åñòåñòâåííî-íàó÷íîãî çíàíèÿ?
Ìíîãèå îòçûâû âûñòàâêè ôðàêòàëüíûõ êàðòèí óáåäèëè ìíîãèõ èõ àâòîðîâ ó÷åíûõ â òîì, ÷òî ñáëèæåíèå èñêóññòâà è íàóêè ìîãëî áû ïðèíåñòè îãðîìíóþ ïîëüçó. Âîçìîæíîñòü òàêîãî ñáëèæåíèÿ íå ñëåäóåò ïîíèìàòü, êàê ñëåïîå óâëå÷åíèå âñåì íîâûì è íåîáû÷íûì, à ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü âïîëíå ðåàëèñòè÷åñêè â ôîðìàõ “íîâûõ ñðåäñòâ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè”, ïðåæäå âñåãî êîìïüþòåðà. Êîìïüþòåð áîëüøå íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíàäëåæíîñòüþ èñêëþ÷èòåëüíî íàóêè è òåõíèêè; ïîäðàñòàåò ìîëîäîå ïîêîëåíèå êîìïüþòåðíûõ àêðîáàòîâ, êîòîðûå îáÿçàòåëüíî áóäóò ðàçâèâàòü ñâîè õóäîæåñòâåííûå àìáèöèè. Ïîêà íå ÿñíî, êóäà çàâåäåò òàêîå ðàçâèòèå, è íå ÿñíî, ìîæåò áûòü, êàê ðàç â ñìûñëå êîìïëåêñíîé äèíàìèêè: âïîëíå îïðåäåëåííîå è äåòåðìèíèðîâàííîå, íî íåïðåäñêàçóåìîå, áóðëÿùåå â ñâîåé ïîâîðîòíîé òî÷êå, ïîäîáíî Ôàóñòó âî âðåìÿ îìîëîæåíèÿ â êîëäîâñêîì ëîãîâå:
Ãîòîâèòü âûòÿæêó èç òðàâ -
Òðóä íåïîìåðíîãî òåðïåíüÿ.
Íåîáõîäèì ñïîêîéíûé íðàâ,
×òîá âûæäàòü ìíîãî ëåò áðîæåíüÿ.
Òóò ê ìåñòó êðîïîòëèâûé äàð,
Ïðåäìåò ïî-æåíñêè ùåïåòèëåí.
Õîòü ÷åðò ó÷èë âàðèòü îòâàð,
Íî ñàì ñâàðèòü åãî áåññèëåí.
È. Â. Ãåòå
(Ïåðåâîä Á. Ë. Ïàñòåðíàêà)
Ãëàâà 6
ÏÐÅËÎÌËÅÍÈÅ ÍÀÓÊÈ Â ÈÑÊÓÑÑÒÂÅ
Èçâåñòíûé íåìåöêèé ôàíòàñò è ïóáëèöèñò Ãåðáåðò Ôðàíêå ïèñàë, ÷òî èñêóññòâîâåäû ãðÿäóùèõ ñòîëåòèé, îãëÿíóâøèñü íà íàøå âðåìÿ, ïðèäóò ê âûâîäàì, âåñüìà îòëè÷íûì îò òåõ, ê êîòîðûì ïðèõîäÿò íàøè ñîâðåìåííèêè. Ïî÷èòàåìûå íûíå õóäîæíèêè è ñêóëüïòîðû áóäóò ñêîðåå âñåãî ïî÷òè çàáûòû, çàòî ïîÿâëåíèå ýëåêòðîííûõ ñðåäñòâ áóäåò ïðîâîçãëàøåíî íàèáîëåå çíà÷èòåëüíîé ïåðåìåíîé â èñòîðèè èñêóññòâà. Ïåðâûå ïîïûòêè, âíà÷àëå ðîáêèå è íåóâåðåííûå, äîñòè÷ü öåëè, êîòîðàÿ êàê èçâåñòíî ñòîèò ïåðåä èñêóññòâîì - æèâîïèñíîé âûðàçèòåëüíîñòè è òî÷íîñòè èçîáðàæåíèÿ îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà - íî ñ ïîìîùüþ íîâûõ ñðåäñòâ, óâåí÷àþòñÿ â êîíöå êîíöîâ çàñëóæåííûì óñïåõîì.
Ïðè ýòîì Ôðàíêå óòâåðæäàåò, ÷òî òîãäà, “â ïðîøëîì” (ò. å. ñåé÷àñ!), âïåðâûå ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ñîçäàâàòü òðåõìåðíûå èçîáðàæåíèÿ ôàíòàñòè÷åñêèõ ïåéçàæåé è äðóãèå àíàëîãè÷íûå êàðòèíû ñ ôîòîãðàôè÷åñêîé òî÷íîñòüþ. À âìåñòå ñ êàðòèíàìè ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü íå ëîâèòü îòäåëüíûå ìãíîâåíèÿ, à îõâàòûâàòü äåéñòâèòåëüíîñòü â äâèæåíèè è èçìåíåíèÿõ. Ýòî, âîçìîæíî, âàæíåéøèé àñïåêò íîâîé ïåðåìåíû: âðåìÿ íà ýòèõ êàðòèíàõ íå çàôèêñèðîâàíî è ëåãêî ìîæíî ïîñòðîèòü ïëîñêèå èëè òðåõìåðíûå (â ïåðñïåêòèâå) äâèæóùèåñÿ èçîáðàæåíèÿ äàæå ñ òåõ òî÷åê çðåíèÿ, êîòîðûå íåäîñòóïíû ÷åëîâå÷åñêîìó ãëàçó èëè êàìåðå.
Ñåãîäíÿ, âïðî÷åì, õóäîæíèêè, èñïîëüçóþùèå êîìïüþòåð, îòîäâèíóòû íà ïåðèôåðèþ “ñöåíû” èñêóññòâà. ×àñòè÷íî ýòî ñâÿçàíî ñ ôîðìàëüíûìè êðèòåðèÿìè, ÷àñòè÷íî - ñ íåîäîáðåíèåì, âûçâàííûì êîíêðåòíûìè êîììåð÷åñêèìè èíòåðåñàìè.
Ãëàâà 7
ÂÅÊ ÍÀÃËßÄÍÎÑÒÈ
Êîìïüþòåð - ýòî óñòðîéñòâî äëÿ îáðàáîòêè äàííûõ, à òåðìèí “äàííûå” (èíôîðìàöèÿ), êàçàëîñü áû, îçíà÷àåò ÷èñëà, à íå ðèñóíêè. Îäíàêî ðèñóíêè - ýòî â ñóùíîñòè äðóãîé ñïîñîá îïèñàòü ðåàëüíûå ñîáûòèÿ - ôàêòû.
Êðîìå òîãî, ðèñóíêè ìîæíî çàêîäèðîâàòü ÷èñëàìè, à çàòåì îáðàáîòàòü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà. Ãðàôè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ, ñîçäàííûå êîìïüþòåðîì, áóäåì äàëåå íàçûâàòü äëÿ êðàòêîñòè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêîé. Çíà÷åíèå ýòîãî (êîãäà-òî ïîáî÷íîãî) ñïîñîáà èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðîâ ÷ðåçâû÷àéíî âîçðîñëî â ïîñëåäíåå âðåìÿ.
Êîíå÷íî æå, âíà÷àëå íèêòî íå äóìàë ðàçâèâàòü êîìïüþòåðíóþ ãðàôèêó êàê èñêóññòâî; îíà âîçíèêëà â ðåçóëüòàòå ÷èñòî ïðàêòè÷åñêèõ íàó÷íûõ, òåõíîëîãè÷åñêèõ è êîììåð÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî ðèñóíêè çíà÷èòåëüíî óäîáíåå äëÿ âîñïðèÿòèÿ, ÷åì äëèííûå ïåðå÷íè ÷èñåë, ïðèâåëî ê òîìó, ÷òî âî âñåõ ýòèõ îáëàñòÿõ ÷èñëà ïîñòåïåííî âûòåñíÿëèñü ãèñòîãðàììàìè, êðèâîëèíåéíûìè ãðàôèêàìè è ò. ï.
Ýòîò ïðîöåññ è ïðèâåë ê ïîÿâëåíèþ è ðàçâèòèþ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè. Ïåðâûì, íî ñîâåðøåííî íåïîäõîäÿùèì ñðåäñòâîì ïîëó÷åíèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè áûë ïðèíòåð, êîòîðûé òåì íå ìåíåå äîêàçàë ýôôåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ íàãëÿäíûõ èçîáðàæåíèé ñòîëü óáåäèòåëüíî, ÷òî ìåõàíè÷åñêèå ðèñóþùèå ïðèáîðû, íàçâàííûå ãðàôîïîñòðîèòåëÿìè, ïîÿâèëèñü êàê íå÷òî ñàìî ñîáîé ðàçóìåþùååñÿ.  ãðàôîïîñòðîèòåëÿõ èñïîëüçóåòñÿ ïðèíöèï ïåðà ñ ñåðâîêîíòðîëåì (ñëåäÿùèì êîíòðîëåì), ðèñóþùåãî íà ïëîñêîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Îíè ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü ñ ïîìîùüþ ìàøèíû ÷åðòåæè, òî÷íîñòü êîòîðûõ âïîëíå äîñòàòî÷íà äëÿ öåëåé, ñêàæåì àðõèòåêòóðû, êàðòîãðàôèè è ò. ï. Íî ñëåäóåò îòìåòèòü è îäèí íåäîñòàòîê - êðàéíå ìåäëåííóþ ðàáîòó ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ýëåêòðîííûõ ïðîöåññîâ â êîìïüþòåðå. Òàê, äëÿ òîãî ÷òîáû èçîáðàçèòü êîíôèãóðàöèè, ðàññ÷èòàííûå êîìïüþòåðîì çà äîëè ñåêóíäû, òðåáóþòñÿ ìèíóòû, à èíîãäà äàæå ÷àñû.
Ïåðâûé ñåðüåçíûé ïðîðûâ â êîìïüþòåðíîé ãðàôèêå ñâÿçàí ñ ñîçäàíèåì ýëåêòðîííîãî ãðàôîïîñòðîèòåëÿ - äèñïëåÿ, íà êîòîðîì âèçóàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ âîçíèêàåò òåì æå ñïîñîáîì è ñ òîé æå ñêîðîñòüþ, ÷òî è â ýëåêòðîííîëó÷åâîé òðóáêå òåëåâèçîðà. Ïîÿâèëîñü, òàêèì îáðàçîì, ñðåäñòâî ïîñòðîåíèÿ ãðàôè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, äîñòàòî÷íî áûñòðîå, ÷òîáû ïîñïåâàòü çà êîìïüþòåðîì. Êðîìå òîãî, ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ñîçäàâàòü äâèæóùèåñÿ è äàæå âçàèìîäåéñòâóþùèå èçîáðàæåíèÿ.
Íîâûå ñïîñîáû îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé áûëè ðàçâèòû íà îñíîâå áîëåå ñòàðûõ ìåòîäîâ àíàëèçà ðèñóíêîâ è ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ, îñíîâîé êîòîðûõ â ñâîþ î÷åðåäü ïîñëóæèëè ìåòîäû, èñïîëüçóåìûå â ôîòîãðàôèè. Ýòè ñïîñîáû ïîçâîëÿþò çíà÷èòåëüíî ëåã÷å îöåíèâàòü îáðàçû, âîçíèêàþùèå â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè, òåõíîëîãèè è ìåäèöèíû, à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òàêàÿ âîçìîæíîñòü ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî áëàãîäàðÿ èì.
Íåêîòîðûå ìàòåìàòèêè è ïðîãðàììèñòû èñïîëüçîâàëè ýñòåòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè ãðàôè÷åñêèõ ñèñòåì ñ íà÷àëà 60-õ ãîäîâ. Áîëüøèíñòâî èç íèõ ñòàðàëèñü íå óïîòðåáëÿòü ñëîâî “èñêóññòâî” â îòíîøåíèè ñâîèõ ðàáîò, óõîäÿ òåì ñàìûì îò êîíôëèêòà ñ äåÿòåëÿìè èñêóññòâà. Ëèøü íåêîòîðûå ðåøàëèñü ìóæåñòâåííî ïðîòèâîñòîÿòü êðèòèêàì, ñ÷èòàÿ êîìïüþòåðû íîâûì ñðåäñòâîì ïîëó÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèé èçîáðàçèòåëüíîãî èñêóññòâà. Ñâîé ìåòîä îíè íàçâàëè “êîìïüþòåðíîå èñêóññòâî”, ÷òî âûçâàëî ìíîæåñòâî îæåñòî÷åííûõ äèñêóññèé î âîçìîæíîñòè ñîçäàíèÿ (õîòÿ áû â ïðèíöèïå) ïðîèçâåäåíèé èñêóññòâà ñ ïîìîùüþ ìàøèíû. Ïðè ýòîì ïðèâîäèëàñü ìàññà òåîðåòè÷åñêèõ àðãóìåíòîâ ïðîòèâ ýòîé èäåè. Ê ñ÷àñòüþ, ýòè äèñêóññèè ìàëî âëèÿëè íà ïðåäñòàâèòåëåé íîâîãî íàïðàâëåíèÿ, è îíè ïðîäîëæàëè ñâîþ ðàáîòó, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ íà òåîðåòè÷åñêèå âîçðàæåíèÿ. È íà ñåãîäíÿ óæå ñîáðàíà âïå÷àòëÿþùàÿ êîëëåêöèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè, îòðàæàþùàÿ òåõíè÷åñêèé ïðîãðåññ - îò ïðîñòîãî ãðàôîïîñòðîèòåëÿ äî ãðàôè÷åñêèõ äèñïëååâ ñ âûñîêîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ.
Ãëàâà 8
ÐÈÑÓÍÎÊ ÊÀÊ
10-09-2015, 22:30