cosy= -------------- = x / Ö x2 + rt 2 . ( 83 )
| ( n* rн ) |
По формуле ( 12 ) можно найти Р:
ì xü
Р = a ( 1- cosy) = a ×| 1 - ---------- | . ( 84 )
î Ö x2 + rt 2 þ
Для получения оптико-математической модели достаточно подставить формулы ( 80 ) - ( 84 ) в формулы для видеосигналов ( 73 ) ( или ( 74 ) для случая эллиптично-поляризованного излучения ).
Вернёмся теперь к формуле ( 82 ) для азимута поляризации излучения. Как видно из этой формулы, t зависит только от y и z, а от координаты х зависимости нет. Поскольку в данной работе рассматриваются объекты, различающиеся по форме именно вдоль оси Х, а в плоскости осей Y и Z ( т.е. в кадре ) имеющие одинаковый контур, то можно сделать вывод, что значение азимута поляризации t для всех рассматриваемых здесь объектов ( конус, эллипсоид, сфера ) будет одинаковым.
Для полной ясности необходимо установить распределение азимута поляризации по поверхности этих фигур. По формуле ( 82 ) рассмотрим некоторые конкретные случаи. Например, при z=z0 и y>y0 , t=0 при z=z0 и y< y0 , t = p;при y=y0 и z> z0 , t= - p /2; при y=y0 , z<z0 , t= p /2.
Если попробовать свести эти результаты к схематичному распределению азимута поляризации излучения внутри контура с учётом того, что в случаях, не указанных в примере, азимут поляризации принимает промежуточные положения, то получается рисунок 7.
Чтобы сформировать оптико-математическую модель для эллипсоида, воспользуемся рисунком 8 и уравнением эллипсоида в декартовой системе координат:
x2 ( y-y0 )2 ( z-z0 )2
f( x, y, z ) = ---- + --------- + --------- = 1, ( 85 )
a2 b2 c2
При моделировании для упрощения примем:
b = c = R ; ( 86 )
a = k ×R, ( 87 )
где k - коэффициент сжатия.
Тогда уравнение ( 85 ) примет вид:
x2 ( y-y0 )2 ( z-z0 )2
f( x, y, z ) = -------- + --------- + --------- = 1, ( 88 )
k2 × R2 R2 R2
Уравнение для координаты х, исходя из выражения ( 88 ), будет следующим:
.
x = k × Ö R2 + rt 2 . ( 89 )
Выражение для азимута поляризации в случае объекта типа эллипсоида, будет таким же, как для случая со сферой ( 88 ), так как азимут поляризации не зависит от координаты х:
t = arccos [(y - y0 ) / rt ]. ( 90 )
Степень поляризации для каждого элемента разложения кадра с координатами ( у, z ) можно определить аналогично сфере из формул ( 16 ) - ( 19 ) и ( 25 ) - ( 27 ):
.
cosy= x / Ö x2 + k4 ×( y-y0 )2 + k4 ×( z-z0 )2 = x / Ö x2 + k4 × rt 2 . ( 91 )
Степень поляризации, соответственно, равняется
.
P = a ×( 1 - x / Ö x2 + k4 × rt 2 ) . ( 92 )
Далее, по выражения ( 73 ) ( или ( 75 ), в случае эллиптичной поляризации ) можно получить модели изображений эллипсоида при азимутах фильтра d = 00 и d = 450 соответственно. Причём, при к = 1 формулы для эллипсоида становятся аналогичными для сферы. Если в формулы ( 73 ) или ( 75 ) подставить к = 0.1, то это будет модель изображения диска. Во всех остальных случаях можно получить модели изображений эллипсоида с различными коэффициентами сжатия.
2.9. Модифицированная формула моделирования
изображения конуса.
Рассмотрим, согласно рис. 9, уравнение конуса в декартовых координатах:
f(x, y, z) = - ( h- x )2 / h2 + ( y - y0 )2 / R2 + ( z - z0 )2 / R2 = 1, ( 93 )
где R - радиус основания конуса;
h - высота конуса.
Уравнение для координаты х в случае конуса будет иметь вид:
x = h × ( 1 - rt / R) . ( 94 )
Значение степени поляризации определим аналогичным образом. Для этого найдём вектора n и r t :
n = - 2 ×( h - x ) × i / h2 + 2 ×( y - y0 ) × j / R2 + 2 ×( z - z0 ) ×k / R2 , rн = i. ( 95 )
Тогда
.
cos y = ( h - x) / [ h2 × Ö ( h-x)2 / h4 + rн 2 / R4 ] . ( 96 )
Так как ( h - x) / h = rt / R, то
.
cos y = 1 / Ö 1+ ( h/R)2 . ( 97 )
Если обозначить через k = h / 2 / R, то выражение ( 97 ) примет вид:
.
cos y = 1 / Ö 1+ 4 × k2 . ( 98 )
Далее, по выражениям ( 73 ) ( или ( 75 ) для эллиптично-поляризованного изучения ) с учётом ( 16 ) - ( 19 ) и ( 25 ) - ( 27 ), можно смоделировать изображения конуса при азимутах поляризационного фильтра 00 и 450 , соответственно.
2.10. Оптико-математическая модель изображения объектов
наблюдаемых на конечном расстоянии.
До сих пор все выводы производились при условии бесконечно удалённого объекта. Если принять, что объект наблюдается тепловизионной системой на конечном расстоянии l, то геометрия наблюдения объектов изменится, а, следовательно, изменятся и сформированные модели изображений. Для того, чтобы определить оптико-математическую модель изображения объекта типа сферы, наблюдаемого на расстоянии l, рассмотрим рис.10. В соответствии с данным рисунком видим, что угол наблюдения y’в данном случае состоит из угла y - угла наблюдения при наблюдения объекта из бесконечности и a - поправки на приближение объекта к системе:
y’= y + a . ( 99 )
Угол y для сферы определяется по формуле ( 82 ), а угол a можно определить из геометрии рис.11:
a = arctg [ rt / ( l - x)]. ( 100 )
Теперь весь угол наблюдения для сферы определяется по формуле:
.
y’= arccos [ x / (Ö x2 + rt 2 )] + arctg [ rt / ( l - x)]. ( 101 )
Если необходимо сформировать модель поляризационного тепловизионного изображения сферы, наблюдаемой на конечном расстоянии l, то в формуле ( 84 ) для вычисления степени поляризации нужно использовать y’ по формуле ( 101 ). Геометрия наблюдения эллипсоида из ближней зоны показана на рис. 11. Если объект типа эллипсоида наблюдается тепловизионной системой на конечном расстоянии l, то угол наблюдения y в этом случае определяется аналогично формуле ( 99 ) для сферы:
y’= y + a .
Для эллипсоида, угол y вычисляется по формуле ( 91 ), а поправку a легко определить из геометрии рис.11:
a = arctg [ rt / ( l - x)]. ( 102 )
Это выражение совпадает с выражением для сферы.
Как видно из рис.12, геометрия определения угла наблюдения y для конуса также аналогична эллипсоиду и сфере, причём как всего угла, так и поправки a. Таким образом, для сферы, эллипсоида и конуса, в случае наблюдения объекта на конечном расстоянии l, для вычисления степени поляризации Р нужно использовать угол наблюдения не y, а y’ по формуле ( 101 ) с учётом угла a по формуле ( 100 ).
2.11. Воспроизведение формы объекта внутри его контура.
Как было отмечено в разделах 1 и 2, моделирование тепловизионных изображений необходимо прежде всего для распознования формы объекта внутри его контура. В связи с этим после формирования изображения должна быть решена задача воспроизведения формы объекта внутри контура его изображения. Рассмотрим один из способов решения проблемы воспроизведения формы внутри контура вдоль одной, заранее определённой линии сканирования. Необходимо и достаточно знать положение нормали n каждой элементарной площадки объекта, которая определяется значением угла наблюдения данной площадки объекта относительно точки наблюдения. Учитывая связь угла наблюдения y со степенью поляризации Р для каждой площадки dS, по формулам ( 72 ) можно воспроизвести форму объекта внутри его контура, используя два тепловизионных поляризационных изображения этого объекта с поляризационным фильтром при двух азимутах поляризации d = 00 и d = 450 соответственно.
Нормированные сигналы в изображении для каждой элементарной площадки объекта по формулам ( 72 ) выглядят следующим образом:
U1 н = 1 + P × cos2×t ;
U2 н = 1 + P × sin2×t .
Решая эти два уравнения как систему, можно выразить через U1 н и U2 н степень и азимут поляризации:
2 × t= arctg [(U2 н - 1) / ( U1 н - 1 )] ; ( 103 )
P = ( U1 н - 1 ) / cos [ arctg (U2 н - 1) /(U1 н - 1)] . ( 104 )
Тогда угол наблюдения y можно записать в виде:
y = arccos [ 1 - ( U1 н - 1 ) / cos [ arctg (U2 н - 1) /(U1 н - 1)] ; ( 105 )
Поскольку конечной целью воспроизведения формы объекта внутри контура его изображения вдоль линии сканирования является определение координаты х для каждого элемента разложения кадра вдоль линии сканирования, то процесс воспроизведения формы сводится к процессу воспроизведения координаты х. Для этого обратимся к рис.13.
Пусть АВ = drt - это приращение координаты вдоль линии сканирования;
y - угол наблюдения, определяемый через U1 и U2 по формуле ( 105 );
n - нормаль к поверхности объекта в точке С объекта или для ( i+1) элемента кадра ( точке А объекта соответствует i-ый элемент кадра ). Из рис.13 видно, что при drt << 1 будет верно выражение
dx = drt × tg b, ( 106 )
где b = ÐСАВ. Но, что так как ÐСАВ = y - углу наблюдения при бесконечно удалённом объекте, то:
dx = drt × tg y. ( 107 )
В этом случае координату х в точке ( i + 1) элемента для произвольной линии сканирования можно определить по формуле:
xi+1 = xi + dx = xi + drt × tg y. ( 108 )
Значит по формуле ( 108 ) можно воспроизвести форму объекта, причём, чем меньше будет взят шаг вдоль линии, тем точнее будет воспроизведена форма.
2.12. Воспроизведение формы объекта,
наблюдаемого на конечном расстояния.
На рис.13 показаны два случая наблюдения: для бесконечно удалённого объекта и для объекта, находящего на конечном расстоянии l. Как уже отмечалось в разделе 2.9, расстояние l влияет на оптико-математическую модель изображений объектов, а значит и на воспроизведение формы объекта.
Как видно из рис.13, в случае конечного расстояния l, угол наблюдения соответствует формуле ( 99 ):
y’= y + a .
Тогда, при определении координаты х должно быть использовано выражение:
é U1 н - 1 ù
y’ = arccos | 1 - ---------------------------------------- | + arctg [( rt / ( l -x)] . ( 109 )
ë cos [ arctg (U2 н - 1) /(U1 н - 1)] û
В остальном вывод формулы для х идентичен выводу при бесконечно удалённом объекте.
2.13. Воспроизведение формы объекта
с учётом эллиптичности поляризации его излучения.
Воспроизведение формы в этом случае должно начинаться с формул ( 75 ) для U1 н и U2 н вида:
U1 н = 1 + P × cos2×g × cos2×t ;
U2 н = 1 + P × cos2×g × sin2×t .
Выразим степень, азимут и эллиптичность поляризации излучения через видеосигналы:
g = arctg[( 1 - P ) / ( 1 + P )]; ( 110 )
2 × t = arctg (U2 н - 1) /(U1 н - 1) ; ( 111 )
U1 н - 1
P × cos 2 ×g = ----------------------------------------- . ( 112 )
cos [ arctg (U2 н - 1) /(U1 н - 1)]
Если обозначить
U1 н - 1
-------------------------------------- = А ,
cos [ arctg (U2 н - 1) /(U1 н - 1)]
то P×cos 2×g =А ;
1 - tg2 g 1 - [( 1 - P ) / ( 1 + P )]2 4 ×P
cos 2×g = ---------------- = ------------------------------------ = -------------- ;
1 + tg2 g 1 + [( 1 - P ) / ( 1 + P )]2 2 ×(1+ P2 )
P × [4 ×P /2×(1+ P2 )] = A ;
.
/ A / U1 н - 1
P = / -------- = / ----------------------------------------------------- . ( 113 )
Ö 2 - A Ö 2 × cos [ arctg (U2 н - 1) /(U1 н - 1)] - (U1 н - 1)
Тогда выражение ( 113 ) должно быть использовано в качестве формулы для степени поляризации эллиптично-поляризованного излучения.
Далее процесс воспроизведения координаты х для получения формы объекта полностью совпадает с выводом для частично линейно-поляризованного излучения.
2.14. Среднее значение степени поляризации
по поверхности объектов.
Среднее значение степени поляризации также можно использовать для распознавания формы объектов как один из признаков подтверждения ” относится ли распознаваемый объект по форме к той или иной группе объектов“, т.е. для качественного определения формы.
Докажем это. Для этого обратимся к формуле:
P = a ×( 1 - cos y) ,
где y - угол наблюдения или угол наклона элементарной площадки по отношению к наблюдателю. Отсюда очевидно, что элементарные площадки таких объектов, как конус и эллипсоид ( со всеми частными случаями ) имеют разные закономерности углового расположения элементарных площадок по всей поверхности, а значит и средние значения степени поляризации по всей поверхности у таких объектов будут различаться.
Среднее значение степени поляризации легко определить по формуле:
òòP × dz × dy
Pcр = ( z, y) . = a òò( 1 - cos y) × dz × dy/ p× R2 ( 114 )
p× R2 (z, y)
В связи с вышеизложенным, среднее значение степени поляризации можно использовать в качестве дополнительного критерия распознования объектов.
2.15. Результаты моделирования изображения объектов
по модифицированной методике.
Модели поляризационных изображений объектов по видеосигналам U1 соответствуют поляризационной термограмме, которая формируется при азимуте поляризатора d = 00 , а модель изображения по видеосигналам U2 соответствует термограмме при d = 450 .
Анализ моделей поляризационных термограмм при d = 00 для эллипсоидов с различным коэффициентом сжатия к показал, что изменение к сильно сказывается на распределении значения видеосигналов внутри контура объекта. Кроме того, как и следовало ожидать, вдоль горизонтальной линии сканирования значения U1 изменяются плавно. Для сравнения можно отметить, что в модели поляризационных термограмм конуса при d = 00 , вдоль горизонтальной линии сканирования значения U1 не изменяются. Это объясняется тем, что вдоль линии сканирования у конуса имеется только один угол между нормалью к элементам поверхности объекта и направлением наблюдения.
Анализ модели поляризационных термограмм, полученных по видеосигналам U2 для всех объектов показал, что эти термограммы фактически получаются поворотом термограмм по видеосигналам U1 на 450 против часовой стрелки. Физически это легко объясняется тем, что видеосигналы U1 моделируют термограммы при азимуте поляризации d = 00 , а видеосигналы U2 моделируют поляризационные изображения объектов при азимуте поляризации d = 450 .
2.16. Моделирование Фурье-спектров
поляризационных тепловизионных изображений объектов.
Согласно теории Фурье-спектров излучателей простой формы [ 2, 9 ]. Их амплитудная и фазовая характеристики зависят как от формы контура объекта-излучателя, так и от распределения яркости по его поверхности. Так как распределение степени поляризации теплового излучения объектов зависит от их формы внутри контура, то представляет интерес задача моделирования Фурье-спектров поляризационного тепловизионных изображений ( ПТИ ). В данной работе Фурье-спектры ПТИ получились по следующей формуле:
00 - 2 × j × p × ( n × x + m × y)
P(n, m) = òòP( x, y) ×e × dx × dy. ( 115 )
-00
Здесь
P( x, y) - распределение степени поляризации теплового излучения по поверхности объекта;
n, m - пространственные частоты, соответственно, по координате х и y.
Анализ амплитуд всех гармоник Фурье-спектров ПТИ показал, что их абсолютные значения существенно зависят от коэффициента сжатия к всех объектов. При этом наблюдается следующая закономерность - чем больше коэффициент сжатия к, тем больше амплитуды гармоник.
29-04-2015, 04:05