Доказательство: общее понятие, сущность и значение

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

План

1. Доказательство: общее понятие, сущность и значение

2. Логическая структура доказательства

3. Виды доказательства. Опровержение

4. Условия и правила доказательства

1. Доказательство: общее понятие, сущность и значение.

Тема о доказательстве занимает в курсе логики особо важное место. В ней объединяются все рассмотренные ранее логические формулы и законы логики, правильное соблюдение которых обеспечивает логически стройную и последовательную мысль.

По форме доказательство представляет собой процедуру, с помощью которой устанавливается истинность какого-либо утверждения. Доказательствами пользуются как в научной, так и в повседневной практике. Всем и каждому хорошо известны такие выражения, как «докажите, что...», «покажите, что...» и им подобные; они побуждают нас к напряжению мысли и духа, являются непременными атрибутами доказательного процесса.

Общий смысл, сущность доказательства состоит в том, что мы определенным образом соотносим высказанное в утверждении с действительным положением вещей или с другими утверждениями, истинность которых уже не вызывает сомнений. Например, в одних случаях истинность утверждений достигается с помощью физического, химического, биологического и т.п. экспериментов, результаты которых соответствуют или не соответствуют высказанным суждениям, и таким образом служат доказательством или опровержением выдвинутого утверждения. Иногда для подтверждения нашей мысли бывает достаточно простого наблюдения фактов: если мы говорим «Идет дождь», достаточно выглянуть в окно и убедиться в этом.

В других случаях, когда наблюдение и эксперимент невозможны, мы прибегаем к другим истинным утверждениям и из них выводим истинность нашего суждения.

В связи с этим выделяют два пути установления истины, два способа доказательства: 1) непосредственный способ; 2) опосредованный способ.

Непосредственный способ установления истины состоит в том, что в процессе практических действий осуществляется соотнесение утверждаемого с фактическим положением вещей. Видами таких практических действий могут быть наблюдения, эксперименты, демонстрация, измерения и другие эмпирические процедуры. Например, еще в школе на уроках физики учитель прибегал к доказательству истинности законов механики к демонстрации опытов, в которых эти законы наглядно проявлялись (допустим, это был второй закон Ньютона F = ma, или закон расширения металлических тел при нагревании). Во всех этих случаях важную роль играют органы чувств.

Опосредованный способ установления истины будет состоять в отыскании и демонстрации соотнесенности нуждающегося в доказательстве утверждения с известными уже истинными положениями. Органы чувств здесь не имеют такого значения, как в предыдущем случае; зато важную роль играет абстрактное мышление, так как нам важно показать, что связь между доказываемым утверждением и другими истинными утверждениями, используемыми для доказательства, имеет необходимый характер. Например, достаточно показать, что утверждение А является логическим следствием из истинных утверждений В и С, чтобы истинность А считать установленной. Для этого мы прибегаем к умозаключениям, которые показывают, каким образом А может следовать из В и С.

Опосредованные доказательства особенно широкое применение получили в науке, там, где объекты находятся вне пределов наших возможностей наблюдать и экспериментировать или когда природа объектов принципиально исключает эмпирические процедуры познания. Например, в теоретической астрономии многие истинные положения являются результатом умозаключений (хотя при этом используется и большой фактический материал, полученный путем наблюдения за объектами); это можно сказать и о теоретической физике, биологии, археологии и др.науках. Особенно это характерно для математических наук, где абстрактные объекты принципиально не допускают экспериментальной проверки. Поэтому единственным путем установления их истинности является их доказательства по правилам умозаключений на основании уже доказанных истинных утверждений.

Логика описывает прежде всего опосредованные способы установления истинности суждений. Главное внимание уделяется доказательствам, основанным на дедуктивных умозаключениях; они-то прежде всего и называются доказательствами.

Что же такое доказательство?

Доказательство есть логическая процедура установления истинности какого-либо утверждения при помощи других утверждений, истинность которых уже установлена.

При доказательстве ход мысли имеет различную направленность. Если необходимо доказать некоторое суждение А, то иногда это делают путем подбора таких истинных суждений В, С, Д... и т.д., из которых А выводится как логическое следствие. Этот ход мысли – от следствия к основанию – называется регрессивным. Иногда только с ним и связывают понятие доказательства, используя для его обозначения специальный термин: обоснование. В таком случае говорят, что утверждение А обосновано (доказано), если имеется хотя бы одно истинное утверждение В, из которого А получается как следствие по соответствующим правилам.

Наряду с регрессивным ходом мысли существует прогрессивный, то есть такой, при котором мысль идет от основания к следствию. Этот ход мысли называют также выведением ибо используется он, главным образом, в тех случаях, когда необходимо получить все следствия из данного утверждения.

Между указанными двумя направлениями мысли существует глубокая связь: они взаимно дополняют друг друга и поэтому полное понятие доказательства охватывает их оба. Как правило при обосновании некоторого утверждения в теории подборка основания осуществляется из совокупности уже сформулированных утверждений, что дает возможность обнаружить строгие логические связи между различными по содержанию положениями теории, представить ее как единое целое.

При выведении следствий возможно по правилам дедуктивных умозаключений получить новые, прежде неизвестные в науке положения, которые являются истинными и не требуют практической проверки.

Доказательства , используемые в науке, как правило имеют сложную структуру и состоят из умозаключений различных видов. Все они соединены в определенной последовательности таким образом, что следствие одного умозаключения является посылкой следующего умозаключения и т.д. В весьма сложных и разветвленных доказательствах одни и те же посылки и промежуточные заключения в качестве посылок могут применятся по несколько раз.

Значение доказательства в науке.

Степень зрелости и развитости науки и научного мышления непосредственно определяется уровнем использования в них доказательств, с помощью которых обосновывается истинность одних и доказывается ложность других утверждений. Доказательства позволяют нам избавится от заблуждений и открывают простор научному творчеству. Благодаря им догадки, гипотезы и др. научные предположения становятся строгими и обоснованными выводами, пополняющими сокровищницу научных истин.

Процесс научного открытия не есть простое и чистое озарение ума, он необходимо связан с доказательством. История науки знает множество фактов, когда научные открытия рождались «на кончике пера», т.е. получались как следствие весьма сложных умозаключений и логического обоснования предположений. Например, великий русский ученый Д.И. Менделеев, используя открытый им периодический закон, теоретически обосновал существование ряда элементов, неизвестных прежде, и даже дал описание их свойств. Впоследствии эти элементы действительно были обнаружены и их свойства с большой точностью соответствовали свойствам, представленным и обоснованным Д.И. Менделеевым.

Значительная роль доказательств и в процессе построения научной теории. Устанавливаемая с их помощью связь между различными утверждениями данной науки позволяет выявить ее логическую структуру. Большое значение технике доказательств придавалось уже в древности. Примером может служить теория силлогизмов Аристотеля и геометрия Эвклида. Они оказали сильное влияние на развитие научной теории на протяжении многих веков. Например, метод доказательства, применяемый в Эвклидовой геометрии вплоть до середины XIX в. считался образцом дедукции и логической строгости. Его широко использовали в математических науках и даже пытались распространить на другие науки.

Несмотря на относительно высокие логические достоинства этого метода, он обладал в то же время рядом недостатков. Положение считалось доказанным, если доказуемое утверждение обосновывалось с помощью ряда положений, обладающих наибольшей очевидностью. Критерий очевидности, при этом, применялся широко: он распространялся как на утверждения, так и на саму процедуру доказательства, строение которого было недостаточно проанализировано логически. Критерий очевидности ставил доказательство в зависимость от субъективных способностей человека: то, что одному казалось очевидным, другому представлялось весьма сложным и требующим специального доказательства. Тот же постулат о двух параллельных прямых, который в древности считался очевидным, позже многие видные математики подвергали его сомнению и требовали особого доказательства. Очевидность, или интуитивная ясность, привносила с собой в доказательство недостаточную логическую строгость. Нередко случалось, что очевидные (интуитивные) посылки при более глубоком анализе оказывались несовместимыми с ходом доказательства и могли приводить к затруднениям. История математики знает немало примеров, когда несовершенство доказательных процедур приводило к ошибочным результатам.

С конца XIX в. в логике формируется понятие формального доказательства, которое заменяет собой старое. Оно характеризуется сведением до минимума ссылок на интуитивную очевидность при осуществлении доказательства и возрастанием роли логических критериев. При доказательстве используются только те утверждения, которые необходимы для его проведения, остальные устраняются. С помощью логических средств исключается возможность присутствия невыявленных посылок. Формальное доказательство широко используется в аксиоматических теориях, то есть таких, в которых из небольшого числа начальных истинных утверждений (аксиом) выводятся все остальные истинные утверждения этой теории. Суть такого вывода на основе формального доказательства состоит в следующем: сначала применяют правила вывода к аксиомам и получают из них новые утверждения, непосредственно выводимые из аксиом. Затем те же правила применяют к новым утверждениям или совместно к новым утверждениям и аксиомам и получают другие утверждения и т.д. Если после конечного числа применений правил вывода (их называют шагами доказательства) приходят к данному утверждению, то говорят, что оно формально доказано. Формальным такое доказательство называется потому, что на время оно отвлекается от конкретного значения участвующих в доказательстве положений, то есть от того, что в них утверждается. Это дает возможность широко применять специальные символы – искусственный язык, – которыми заменяют отдельные положения доказательства. Оно становится проще, четче проявляется его логическая структура, оно легче поддается контролю.

В настоящее время формальное доказательство широко применяется в различных разделах современной логики и математики. Они являются необходимым методом анализа в тех случаях, когда требуется выявить структуру умозаключений там, где были использованы неформальные доказательства.

2. Логическая структура доказательства

В структуре формального и неформального доказательства выделяют следующие элементы: тезис, аргументы и форму (демонстрацию).

Тезисом доказательства называют то утверждение, которое подлежит доказательству. В формальных доказательствах, а также в некоторых науках, использующих дедуктивные процедуры, доказываемое утверждение именуют теоремой. Тезис является логически центральным элементом в доказательстве. Аргументы – это положения, которые используются для доказательства данного тезиса. Поскольку аргументы суть не истинные утверждения, которые определяют истинность тезиса, их называют иногда основаниями доказательства. В формальных доказательствах они именуются посылками.

В качестве аргументов могут быть: утверждения, истинность которых доказана ранее, - таковыми являются теоремы, законы и другие научные положения; аксиомы; определения и утверждения, содержащие высказывания о фактах. При доказательстве данного тезиса может быть использовано произвольное, но конечное число аргументов. Они могут принадлежать к утверждениям любого типа. Так, например, доказательства в геометрии основываются на аксиомах, определениях и вспомогательных утверждениях, доказанных ранее.

Аргументы доказательства всегда находятся в определенной связи между собой, а также с тезисом. Способ этой связи называется формой доказательства или демонстрацией. Аргументы соединяются в умозаключения различного вида, последние соединяются в цепочку таким образом, что ее конечным звеном является тезис данного доказательства. Следовательно, форма доказательства показывает логическую последовательность перехода от основания к тезису.

Рассмотрим пример доказательства тезиса: «Полученный в лаборатории металл не является натрием». Для этого доказательства мы располагаем рядом аргументов: (1) «Все щелочные металлы разлагают воду при комнатной температуре», (2) «Натрий – щелочной металл», (3) «Полученный в лаборатории металл не разлагает воду при комнатной температуре». Все эти утверждения (здесь они выступают в качестве аргументов) являются истинными, при чем способ установления истинности для каждого из аргументов различный. Аргумент (3) истинен на основе непосредственного доказательства путем наблюдения; аргумент (1) может являться итогом индуктивного обобщения результатов некоторого опыта, и только аргумент (2) может быть результатом некоторого силлогистического умозаключения. Процедура доказательства будет состоять в построении двух силлогистических умозаключений; одно из них даст следствие, которое будет использовано как посылка (то есть явится аргументом доказательства) во втором силлогистическом умозаключении:

Из нашего примера видно, что тезис доказывается с помощью четырех аргументов. Они соединяются в два силлогизма таким образом, что следствие одного является посылкой другого. Тезис получается как следствие из этих силлогизмов по свойственным им правилам.

3. Виды доказательства. Опровержение

Доказательства различаются прежде всего по их цели, по отношению доказывающего к выдвинутому тезису. Можно подтвердить истинность тезиса и доказать его ложность. Подтверждение тезиса часто называют доказательством, а опровержение синонима не имеет. Следовательно, существуют два рода доказательства: подтверждение и опровержение тезиса.

Целенаправленность доказательства является исходным основанием деления всех доказательств. Оно предопределяет все построение и характер дальнейшего рассуждения. Цель его определяется не произвольно, а в зависимости от содержания обосновываемого положения. Не соответствующий действительности тезис невозможно подтвердить, как нельзя опровергнуть истинный тезис.

Выбор способа доказательства тоже в значительной мере зависит от содержания тезиса, однако связь эта неоднозначна: любое положение можно аргументировать различным способом в зависимости от характера оснований или соображений доходчивости, ясности и убедительности.

По способу аргументации все доказательства делятся на два вида – прямые и косвенные. Прямое доказательство заключается в выведении из основания по определенным правилам умозаключения истинности или ложности данного тезиса. При косвенном доказательстве обосновывается ложность антитезиса и отсюда устанавливается истинность тезиса или, наоборот, его ложность.

Рассмотрим оба вида доказательства несколько подробнее.

В прямом доказательстве в цепочке умозаключений последним звеном будет являться доказываемый тезис. Например, доказательства того, что 2004 год будет годом високосным основано на последовательности таких рассуждений:

1) високосным годом называется год, числовое выражение которого делится на 4;

2) (2004/4=501), следовательно, 2004 год будет високосным. Нетрудно увидеть, что вывод был сделан на основании определения (что такое високосный год) и одного истинного утверждения (2004 делится на

4), принятых в качестве основания нашего доказательства.

Бывает, что прямое доказательство по какой-либо причине неосуществимо. В таких случаях прибегают к косвенным доказательствам, именуемым иногда «доказательством от противного» или «апагогическим», то есть «отводящими». Главной особенностью косвенного доказательства является то, что непосредственно доказывается не тезис, а его отрицание – антитезис, причем доказательство устанавливает ложность последнего. Затем на основе закона исключенного третьего необходимо заключают об истинности тезиса. Таким образом, доказываемое утверждение на протяжении почти всего доказательства остается как бы в стороне, как бы привлекаясь только на заключительной стадии.

Общая логическая форма косвенного доказательства выглядит следующим образом. Необходимо доказать утверждение А (тезис); допустим, что имеет место (т.е. истинно) не-А; из не-А получаем в качестве следствия некоторое утверждение В; устанавливается, что В противоречит истинности ранее доказанного утверждения, следовательно, является ложным; от ложности следствия В заключаем к ложности его основания, т.е. к ложности утверждения не-А; на основании закона неисключенного третьего из ложности не-А делаем вывод об истинности утверждения А, что и было целью доказательства.

Легко заметить, что переход от ложности следствия к ложности его основания был совершен в соответствии с отрицательным модусом условно – категорического силлогизма.

Из рассмотренного следует, что косвенное доказательство – это такой вид рассуждений, при котором доказывается ложность отрицания тезиса и на этом основании заключают об истинности тезиса.

В качестве примера косвенного доказательства приведем геометрические теоремы: «Два перпендикуляра к одной и той же стороне не могут пересечься, сколько бы их не продолжали». Доказательство начнем с того, что сначала сформулируем утверждение, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра. Но это следствие ложно, т.к. ранее была доказана теорема, что «из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Из ложности следствия, утверждающего о возможности опустить на эту прямую из точки, находящейся вне прямой, два перпендикуляра, мы делаем вывод о ложности его основания, т.е. принятого нами допущения, из которого одно, а именно допущение, является ложным утверждением. На основании закона исключенного третьего мы заключаем об истинности теоремы в ее вышеприведенной формулировке.

В данном примере следствия, вытекающее из антитезиса, пришло в противоречие с ранее доказанному утверждением. Но бывают и другие виды приведения к противоречию при косвенном доказательстве. Например, когда противоречие возникает между двумя следствиями антитезиса или когда из антитезиса выводится следствие, отрицающее антитезис, и др. Такого рода случаи получили наименование «приведение к абсурду»; иногда вообще косвенные доказательства именуют «доказательствами посредством приведения к абсурду (нелепости)» (reduction ad absurdum).

Особое место в научном исследовании занимает генетическое доказательство, или доказательство по источнику происхождения. Оно применяется главным образом в исторических науках, в которых в качестве основания привлекаются документы, свидетельства, мемуары и т.п. При этом устанавливается достоверность этих источников и истинность их содержания. Генетическое доказательство применяется в тех случаях, когда невозможно проверить какое-либо суждение (тезис) по существу и приходится устанавливать его достоверность. В некоторых науках – историографии, метеорологии, геологии, географии – во многих случаях приходится пользоваться только этими источниками, истинность которых можно проверить лишь генетически.

По своей цели генетическое доказательство представляет либо только на основании известных документов, свидетельских показаний. В установление истинности тезиса (его подтверждения), либо обнаружение его ложности (опровержение).

Генетическое подтверждение несет следующее строение. В первой части доказательства устанавливается истинность первоначально возникшего суждения о каком-либо историческом факте (событии). Для этого обращаются к исследованию


10-09-2015, 21:20