Проблема абстракции в математике

Министерство образования Российской федерации

Челябинский государственный университет

Кафедра философии

С А M

Проблема абстракции в математике.

Челябинск

2001

Содержание.

Введение. 3

1. Особенность математической абстракции. 6

2. Абстракция актуальной бесконечности. 11

3. Абстракция потенциальной бесконечности. 17

Заключение. 22

Список литературы. 24

Введение.

При изучении математики, как и любой другой науки, исследователь прежде всего сталкивается с вопросом о реальном содержании ее понятий и теорий. Чтобы понять, что соответствует математическому знанию в реальном мире, или, иначе говоря, каков тот специфический объект, который служит предметом исследования математики, надо понять, какую сторону действительности отображает математика, как совершается процесс абстрагирования в этой науке и чем он отличается от абстрагирования в естествознании и других опытных науках.

Что же такое абстракция?

В самом широком смысле слова абстракция означает возможность рассмотрения предметов и процессов с какой-либо одной точки зрения и отвлечения от других сторон, моментов и обстоятельств. В окружающем мире все предметы и явления находятся в различных взаимосвязях и отношениях друг с другом. Одни из них имеют существенный, устойчивый характер, другие – несущественный, случайный. Чтобы понять сущность явлений объективного мира, законы, которые управляют ими, необходимо отделить существенные связи от несущественных, отвлечься от второстепенных обстоятельств, в чем и состоит процесс абстрагирования.

Отвлечение тех или иных свойств вещей и наделение вещей свойствами, которые в определенной степени огрубляют их природные свойства, дает возможность лучше изучить эти свойства и отношения, а через них и сами вещи. Так, например, замена реальных тел в механике абсолютными твердыми телами, а в иных случаях даже материальными точками помогает глубже изучить процессы, связанные с механическим движением. Точно так же рассмотрение количественных отношений и пространственных форм обособленно от качественной природы предметов является весьма плодотворным приемом, с помощью которого математике удается глубоко проникнуть в сущность количественных и пространственных отношений действительности.

В эмпирической теории абстракции, свойства, которые являются общими для различных вещей, обнаруживаются в процессе созерцания. Они имеют опытный эмпирический характер. Соответственно этому предикаты, которые их выражают, называются эмпирическими. Более сложный характер носят так называемые диспозиционные предикаты, в которых отображается эмпирическое в определенных условиях его проявления. Такие свойства, как «быть проводником тока», «разлагаться на составные элементы» и т. п., проявляются лишь при наличии определенных условий. И в реальных ситуациях обычно такие условия точно фиксируются. По существу уже свойства, выражаемые с помощью эмпирических предикатов, всегда предполагают наличие определенных условий. Такое свойство тела, как теплопроводность, проявляется лишь при определенном взаимодействии с другими телами. Но от этого в повседневной практике отвлекаются и рассматривают его изолированно, как свойство данного тела. Наконец, абстрактные предикаты отображают более существенные и глубокие свойства, чем диспозиционные и эмпирические. Именно с такими предикатами и имеет дело математика. Часто такой предикат рассматривают как некоторый самостоятельный объект. Чтобы отличить его от реальных объектов, его называют абстрактным объектом. Понятно, что такие объекты или свойства нельзя воспринимать чувственно, но они приписываются вещам на основании определенных теоретических допущений.

В результате процесса абстракции возникают понятия, категории, законы, в которых как раз и отображаются существенные стороны реальной действительности. Являясь отвлечениями от определенных сторон вещей и явлений, научные абстракции воспроизводят действительность в обобщенном виде. Ясно, что отражая реальный мир абстракция воспроизводит его не непосредственно, а опосредованно чувственным познанием. Но на этом процесс познания не заканчивается, наоборот, абстракции служат лишь исходным пунктом для дальнейшего процесса восхождения от абстрактного знания к конкретному.

Рассмотрим те особенности, которые характерны для процесса абстрагирования в математике.

1. Особенность математической абстракции.

Специфика предмета математики обусловливает ряд важных особенностей математической абстракции. Обратим внимание на такие ее особенности, которыми она отличается прежде всего от абстракции в естествознании и опытных науках вообще.

Поскольку в математических понятиях отображается лишь количественная сторона предметов и процессов, постольку эти понятия представляют наиболее односторонний снимок с действительности. Чтобы выделить количественные отношения и пространственные формы в «чистом» виде, математик должен применить абстракцию «наибольшей силы», так как он обязан отвлечься от всех качественных особенностей и специфических свойств предметов и явлений. Эта особенность математической абстракции осознавалась уже античными философами. Один из универсальных умов той эпохи, Аристотель, так описывает подход математика к реальному миру: «...в отношении сущего примером служит то рассмотрение, которому математик подвергает объекты, полученные посредством отвлечения. Он производит это рассмотрение, сплошь устранивши все чувственные свойства, например тяжесть и легкость, жесткость и противоположное, далее — тепло и холод и все остальные чувственные противоположности, а сохраняет только количественную определенность и непрерывность...»[1,c.40].

По сравнению с естествознанием в математике процесс абстрагирования идет значительно дальше. В известном смысле справедливо утверждать, что там, где естествоиспытатель останавливается, математическое исследование только начинается. Лучше всего это можно проиллюстрировать на примере геометрии. Хорошо известно, что пространственные свойства материальных тел не существуют обособленно от самих тел. Они всецело определяются внутренними и внешними связями тел, но для лучшего понимания пространственных свойств исследователь вынужден временно абстрагироваться от всех их других свойств, кроме геометрических. Понятие геометрического тела представляет крайне односторонний снимок с действительности. Уже понятие физического тела представляет абстракцию, так как здесь отвлекаются от всех нефизических свойств. В понятии же геометрического тела отвлекаются и от физических свойств и сохраняют лишь его пространственные свойства. Естественно поэтому, что в теоретической физике наряду с широким применением математических понятий главное значение имеют специфические для этой науки физические понятия. В некоторых разделах механики, например в кинематике, физическая абстракция почти приближается к математической, поскольку материальное тело в известных условиях (малость размеров в сравнении с расстоянием между телами) отождествляется с материальной точкой. Но уже в пределах кинематики встречаются с такими специфическими физическими характеристиками тела, как его скорость, ускорение и т. п.

Вторая важнейшая особенность математической абстракции состоит в том, что абстрагирование здесь чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. Поэтому в математике преобладают абстракции от абстракций. В простейшей форме этот процесс встречался при выяснении происхождения понятия числа. Первоначально понятие числа еще не отделяется от сосчитываемых совокупностей и поэтому выступает как именованное число. Впоследствии оно освобождается от этой конкретности и выступает как отвлеченное понятие.

Эти две ступени абстракции мало чем отличаются от соответствующих абстракций естествознания. Но в математике отвлечение идет дальше. Если на втором этапе с понятием числа связывались еще конкретные отвлеченные числа, как, например, 1, 2... 15 ...100 и т. д., то на третьем этапе абстрагируются также и от конкретного значения числа. На этой основе и возникло понятие о любом возможном натуральном число, к которому пришли еще древние греки. Оперирование с таким понятием имело чрезвычайно большое значение для математики, так как оно давало возможность отвлекаться от конкретных чисел и обеспечивало возможность доказывать теоремы в общем виде.

Еще более отчетливо аналогичные этапы абстрагирования можно выделить в развитии такого фундаментального понятия всей математики, каким является функция. К самому понятию функциональной зависимости ученые пришли из рассмотрения конкретных взаимосвязей между различными величинами, которые встречаются в самых разнообразных задачах естествознания и техники. По сути дела большинство законов точного естествознания выражает функциональную связь различных величин.

В математике изучаются различные виды функций (целые, рациональные, логарифмические, тригонометрические и т. д.). Чтобы иметь возможность рассуждать о любых функциях, исследователь должен отвлечься от конкретных особенностей вышеперечисленных и других функций и ввести абстрактное понятие функции вообще. Это будет уже следующий этап абстрагирования. Дальнейший этап связан с образованием понятия функционала, который служит естественным обобщением функции и содержит его как частный случай.

Число таких примеров можно было бы легко увеличить. Достаточно напомнить процесс обобщения таких понятий, как абстрактное математическое пространство, интеграл, группа и другие, чтобы убедиться в том, что процесс обобщения в математике, как правило, проходит ряд ступеней абстракции, каждая из которых сопровождается расширением объема соответствующего понятия.

Во всей истории математики можно выделить три больших исторических этапа в развитии ее абстракций. На первом этапе, связанном с возникновением арифметики и геометрии, отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов. На втором этапе, когда вводится буквенная символика и происходит переход к алгебре, стали отвлекаться уже от конкретных чисел и величин. Наконец, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретных зависимостей между ними. Так, например, под операцией умножения теперь понимают не только умножение чисел, но и векторов, множеств каких-либо объектов («пересечение» множеств) и даже предложений (в математической логике). Таким образом, переменными здесь становятся не только объекты исследования, но и сами операции над ними.

Третья особенность математической абстракции состоит в значительном использовании так называемых идеальных объектов. Уже «точка», «прямая», «плоскость» Евклидовой геометрии представляют идеальные объекты, так как образуются посредством идеализации. Если же идеализацию понимать несколько шире, а именно как процесс образования таких понятий, которые или выражают свойства реальных объектов в искаженном виде, или приписывают им свойства, отсутствующие у них, тогда можно будет с известным основанием утверждать, что непосредственным объектом исследования математики являются именно абстрактные, или идеальные, математические объекты. Разумеется, что эти объекты не плод чистой фантазии. Они, как и вся математика в целом, служат для познания действительности. Но математика оперирует ими именно как идеальными объектами.

По существу такими же идеальными объектами являются понятия математической бесконечности потенциальной и актуальной. При образовании этих понятий приходится прибегать к различным абстракциям осуществимости. Использование различных абстракций осуществимости составляет четвертую важную особенность математического познания. В частности эти абстракции осуществимости ведут к разным понятиям бесконечности, которые в свою очередь порождают различные философские направления, такие как интуиционизм, конструктивизм и т. д., о чем подробнее будет сказано ниже.

Пятая важная особенность, непосредственно связанная с предыдущими, состоит в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту. Действительно, в математике повсюду оперируют одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а по к эксперименту, как это часто имеет место в естествознании.

2. Абстракция актуальной бесконечности.

Сущность абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечного множества, от невозможности за­дать такое множество посредством полного перечисления его элементов. Согласно абстракции актуальной бесконечности, в беско­нечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент. Но на самом деле зафиксировать и описать каждый элемент бесконечного множества принци­пиально невозможно. Абстракция актуальной бесконечности и представляет собой отвлечение от этой невозможности, что позволяет рассматривать, например, отрезок прямой как бес­конечное множество точек, каждую из которых можно инди­видуализировать, обозначив ее каким-то действительным чис­лом.

Понятие актуальной бесконечности возникает с по­мощью процесса идеализации. В данном случае идеализация дает возможность применять к бесконечным множествам простой и хорошо изученный аппарат классической логики. Этот аппарат возник и вполне оправдал себя при исследовании конечных множеств. Идеализированный характер акту­альной бесконечности состоит в том, что о бесконечном множестве рассуждают по аналогии с конечными множествами. Кроме того, здесь абстра­гируются от конкретных способов построения элементов бесконечного множества и даже допускают, что все его элементы существуют одновременно, а не возникают в процессе построения.

Поскольку актуальная бесконечность представляет со­бой чрезвычайно сильную абстракцию, то с пониманием ее связан целый ряд трудностей. Прежде всего ин­туиция восстает против представления бесконечности и виде завершенного процесса. Завершенность бесконечно­сти нередко понимается как ее уничтожение. Так, напри­мер, натуральный ряд чисел обычно мыслится как не­ограниченно продолженный, и интуиции нелегко свыкнуться с представлением о законченности этого ряда.

Еще Аристотель возражал против использования и науке понятия актуальной бесконечности, ссылаясь на то, что известен способ счета только на конечных мно­жествах. Он указывал, что конечное число разрушается актуальной бесконечностью.

Разбирая возражения, Кантор указывает, что и с бесконечными множествами можно производить некото­рые действия счета, если определенным образом упорядо­чить их. Разница будет состоять только в том, что если для конечных множеств порядок элементов не влияет па результат счета, то для бесконечных множеств он зави­сит от способа их упорядочения. Часто отмечали также, что актуальную бесконечность нельзя целиком объять в мысли, так как она предполагает сосчитанным бесконеч­ное множество. Возражая против этого, еще Б. Больцано заметил: чтобы вообразить целое, нет необходимости представлять отдельно его части.

Понятие актуальной бесконечности приводит к чрезвычайно неожиданным следствиям, например, утверждение, что для бесконечных множеств аксиома «часть меньше цело­го» теряет свою силу. Действительно, еще в XVII в. Галилей заметил, что квадраты целых положительных чисел могут быть поставлены во взаимноднозначное соответствие с самими положительными числами, и следовательно, эти множества эквивалентны.

Все эквивалентные множества обладают определенным общим свойством, которое можно выделить с помощью аб­стракции отождествления. Это свойство в математике при­нято называть мощностью множества. В случае конеч­ных множеств она совпадает с количеством элементов. В случае же бесконечных множеств, указывает Кантор, нельзя говорить о каком-либо точном определенном коли­честве их элементов, но зато им можно приписать опре­деленную, совершенно не зависящую от их порядка мощ­ность.

Воспользовавшись понятием мощности, можно оп­ределить бесконечное множество как множество, равномощное с какой-либо своей частью, или, как говорят математики, собственным подмножеством. Например, мно­жество натуральных чисел будет равномощно с множе­ством квадратов натуральных чисел, или с множеством всех четных чисел, или с множеством чисел, кратных 3, 5, 7, или вообще нечетных чисел и т. д. И множество квадратов целых чисел, и множество четных чисел так же, как и нечетных, составляют лишь часть множества натуральных чисел, но тем не менее они эквивалентны целому множеству. Обычно такого рода примеры вызы­вают недоумение у тех, кто впервые приступает к изуче­нию теории множеств. Кажется невозможным, чтобы часть множества была эквивалентна целому. На этой ос­нове и возникает критическое отношение к актуальной бесконечности.

На первый взгляд может показаться, что все существующие бесконечности имеют только одну мощность. Множества и натуральных, и рациональных, и алгебраи­ческих чисел являются счетными множествами. Прибавление к таким множествам любого числа конечных, или счетных, множеств дает в итоге счетное множество. Даже умножение на счетное множество не выводит за пределы счетных множеств.

Однако если сравнить мощность натурального ряда чисел с мощностью всех действительных чисел или мно­жеством всех точек отрезка прямой, то обнаружится, что они неравномощны. И множество всех действительных чисел, и множество точек отрезка имеют мощность боль­шую, чем мощность счетного множества. Поэтому действительные числа, как и точки отрезка, нельзя «пересчи­тать» с помощью натуральных чисел. Мощность множе­ства действительных чисел, или точек отрезка, или любой геометрической фигуры, содержащей по крайней мере одну линию, принято называть мощностью континуума. Кантору не удалось обнаружить множеств, мощность которых была бы промежуточной между мощностью счетного множества и континуума. Поэто­му он высказывал предположение, что континуум непосредственно следует за мощностью счетного множества. Решение этой знаменитой континуум-гипотезы долгое время не поддавалось ника­ким усилиям, и в свое время она была названа Гильбер­том одной из важнейших нерешенных проблем матема­тики. В 30-с годы К. Гёдель установил, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута, исходя из аксиом теории множеств. П. Коэн, развивая идеи Гёделя, доказал, что континуум-гипотеза независима от других аксиом теории множеств. Иными словами, исходя из указанных аксиом, она не может быть ни доказана, ни опровергнута.

Таким образом, добавление к аксиомам теории множеств как континуум-гипотезу, так и противоположное ей ут­верждение, никогда не приведет к логическому проти­воречию. Выходит, что могут существовать разные тео­рии множеств, в одних из которых континуум-гипотеза выполняется, в других нет. В этом открытии Коэна нетрудно обнаружить аналогию с открытием неевклидовой геометрии, когда стало ясно, что аксиома параллельных независима от остальных аксиом абсолютной геометрии.

Благодаря трудам Кантора и его последователей поня­тия и методы теории множеств заняли прочное место в математике. Теория мно­жеств дает возможность анализировать с единой точки зрения все математические науки: ведь элементами мно­жеств могут быть всевозможные математические объек­ты — и числа, и фигуры, и функции и т. п. Такая общность избавляет от необходимости доказывать, теоремы для частных видов математических объектов. Все эти до­казательства можно проводить теперь в общем виде.

Предельная общность и широта применения понятии и методов теории множеств не только для развития фак­тического содержания математики, по и для обоснования ее на новом фундаменте со временем привели к господ­ству в математике теоретико-множественных идей.

В 1902 г. Б. Рассел обнаружил пара­докс, который непосредственно связан с канторовским оп­ределением понятия множества. Это определенно не за­прещает рассматривать в качестве элементов множеств некоторые другие множества. Назовем такие множества не­обычными или лучше множествами второго рода. Примерами таких множеств могут служить множество множеств, каталогов библиотеки, множество множеств списков или вообще любое абстрактное множество множеств. К мно­жествам первого рода, или обычным, относятся то, ко­торые но содержат в качестве своих элементов множества. Так, множество звезд будет именно таким множеством.

Если теперь задать вопрос, к какому роду относится множество всех тех множеств, которые не содержат себя


10-09-2015, 22:29