Многозначные логики Я. Лукасевича

При этом, формула А – тавтология, если при любом приписывании истинностных значений из множества a 1, , 0 n пропозициональным переменным, входящим в формулу А, она принимает значение 1, которое называется выделенным истинностным значением. Множество тавтологий представляет собой трехзначную матричную логику Лукасевича.

В 1922 г. он сформулировал n -значные логики для n n 3, где 0 интерпретируется как ложь, 1 – как истина, а все другие числа в интервале от 0 до 1 как степени вероятности, соответствующие различным возможностям. Указанные n – значные логики также строятся матричным методом.

2. Модальные логики

Уже первые изложения трехзначной логики в 1920 г. содержали явную связь модальности и многозначности. Лукасевич считал, что в двузначной логике не удастся согласовать интуитивные трактовки модальных функторов. Эта мысль является следствием объяснения формализации модальностей не как операторов, а как функторов, уравненных концептуально в правах с логическими знаками. Это свое убеждение Лукасевич последовательно выражал на протяжении всего своего научного творчества.

Первое систематическое изложение модальной логики дано Лукасевичем в работе с названием "Философские замечания о многозначных системах исчисления предложений."[1930] Правда, здесь не представлена система модальной логики как таковая, но только показаны требования, которым должна, по мнению Лукасевича, удовлетворять такая система. Модальными предложениями Лукасевич называет следующие четыре выражения:

(1) возможно, что p - символически : Mp ;

(2) невозможно, что p - символически : NMp ;

(3) возможно, что не- p - символически : MNp ;

(4) невозможно, что не- p - символически : NMNp .

Традиционные утверждения о модальностях по мнению Лукасевича можно разделить на три группы. К первой группе относятся предложения следующего вида: ( a ) Ab oportere ad esse valet consequentia (Если что-либо необходимо, то оно существует); ( b ) Ab esse ad posse valet consequentia (Если что-либо существует, то оно возможно); (с) Ab non posse ad non esse valet consequentia (Если что-либо невозможно, то оно не существует). Общим представителем этой группы является предложение

( I ): Если невозможно, что p , то не- p .

Вторую группу составляет утверждение Лейбница из "Теодицеи": ( d ) Unumquodque , quando est , oportet esse (Чтобы то ни было, когда оно существует - оно необходимо). Лукасевич замечает, что последнее высказывание в действительности происходит от Аристотеля и разбирает возможные интерпретации Стагирита. В результате анализа оказывается, что слово " quando " в предложении ( d ), как и соответствующее ему " hotan " у Аристотеля, являются частицами, выражающими не условие, но время. Однако временная форма переходит в условную форму, поскольку в связанных временными рамками предложениях определение времени оказывается включенным в содержание предложений.[85]

Предложение ( d ) имеет следующую эквивалентную формулировку

( II ): Если предполагается, что не- p , то невозможно, что p .

Третью группу представляет аристотелевский принцип обоюдной возможности

( III ): Для некоторого p , возможно, что p , и возможно, что не- p .

Мы опустим здесь технические подробности решения Лукасевичем проблемы модальностей,но он видит в использовании трехзначной логики, а точнее - в нахождении в L 3 такого определения возможности, которое бы выполняло условия, очерченные в ( I )-( III ). Удовлетворительная дефиниция должна быть прочитана следующим образом: "возможно, что p значит то, что "или предложение p и не- p равнозначны, или не существует такой пары противоречивых предложений, которые бы следовали из предложения p ". В более общем значении аналогичное в этом контексте понятие возможности предложил в 1921 г. Тарский: Mp = CNpp . Дефиниенс этого определения ложен тогда и только тогда, когда p =1/2. Из этого определения и таблиц для C и N получаем равенства: M 0=0, M 1/2=1, M 1=1. Согласно этим равенствам, если предложение p ложно, то ложно также и предложение Mp , но Mp истинно, когда p истинно или p принимает третье значение. Этот результат Лукасевич посчитал наиболее согласованным с интуицией. Определение необходимости имеет вид Lp = NCpNp в соответствии с общепринятой схемой Lp = NMNp . Заканчивая свое первое систематическое изложение модальной логики в духе логики многозначной Лукасевич полностью принимает изложенные выше определения возможности и необходимости: " Решительно не высказываясь об интуитивном смысле приведенной выше дефиниции, мы должны однако признать, что эта дефиниция удовлетворяет всем условиям, определенным в утверждениях ( I )-( III ), и в частности, как это доказал г.Тарский, что это единственная возможная в трехзначной системе дефиниция, выполняющая эти условия"[86] .

Поскольку позже Лукасевич вернулся к проблематике модальной логики, то естественно считать, что первое ее изложение не удовлетворяло его. Новое изложение[87] [1953] модальной логики Лукасевич начинает с изложения условий, которым по его мнению должна удовлетворять такая логика:

(1) утверждается импликация CpMp ;

(2) отбрасывается импликация CMpp ;

(3) отбрасывается предложение Mp ;

(4) утверждается импликация CLpp ;

(5) отбрасывается импликация CpLp ;

(6) отбрасывается предложение NLp ;

(7) утверждается эквивалентность EMpNLNp ;

(8) утверждается эквивалентность ELpNMNp .

Понятия "утверждения" и "отбрасывания" принадлежат системе и обозначаются соответственно " ? ? " и " ? ? ". Первое условие соответствует принципу Ab esse ad posse valet consequentia . Второе условие соответствует высказыванию A posse ad esse non valet consequentia . В третьем условии говорится, что не все выражения, начинающиеся с M утверждаются, поскольку в противном случае Mp было бы равносильно функции " verum от p ", которая не является модальной функцией. Четвертое условие соответствует принципу Ab oportere ad esse valet consequentia . Пятое условие соответствует высказыванию Ab esse ad oportere non valet consequentia . В шестом условии говорится, что не все выражения, начинающиеся с NL являются утверждениями, поскольку в противном случае Lp было бы равносильно функции " falsum от p ", которая не является функцией модальности. Последние два условия представляют очевидные связи между возможностью и необходимостью.

Лукасевич предлагает для "основной модальной логики" следующую совокупность формул в качестве аксиом: ( A 1) ? ? CpMp , ( A 2) ? ? CMpp , ( A 3) ? ? Mp , ( A 4) ? ? EMpMNNp с правилами замены по определению ( Lx = NMNx ), подстановки в утвержденное выражение, подстановки в отбрасываемое выражение (если а отбрасывается и а есть подстановка b , то b должно быть отброшено), отделения для утвержденных выражений и отделения для отбрасываемых выражений (если Cxy утверждено, а y - отброшено, то x также отброшено). С использованием знака необходимости ( A 1)-( A 4) преобразуются в: ( A 5) ? ? CLpp , ( A 6) ? ? CpLp , ( A 7) ? ? NLp , ( A 8) ? ? ELpLNNp . Особенно важными по мнению Лукасевича являются аксиомы ( A 4) и ( A 8). Поскольку они весьма похожи, то возникает мысль, что они имеют в своем основании некий общий принцип, из которого их можно вывести. А это значит, что "основная модальная логика" не полна. Это допущение подтверждается тем фактом, что формулы MKpqMp , CMKpqMq (если возможна конъюнкция, то возможен каждый из ее членов), а также CLKpqLp , CLKpqLq (если необходима конъюнкция, то необходим каждый из ее членов) независимы от "основной модальной логики". Не выводимы из ( A 1)-( A 4) (либо же из ( A 5)-( A 8)) следующие законы, известные уже Аристотелю: ( a ) CCpqCMpMq , ( b ) CCpqCLpLq , ( c ) CLCpqCMpMq , ( d ) CLCpqCLpLq . Можно показать, что из ( a ) следует ( c ), а из ( b ) - ( d ). Поэтому следовало расширить "основную модальную логику", присоединяя к ее аксиомам формулы ( a )-( d ). Формулы ( a ) и ( c ) можно считать частными случаями закона экстенсиональности CEpqCfpfq (" f " означает переменный функтор). Присоединяя ( a ) к ( A 1)-( A 3) можно доказать ( A 4); аналогично присоединяя ( c ) к ( A 5)-( A 7) можно доказать ( A 8). Однако обе конструкции Лукасевич считает недостаточно общими. Окончательная формулировка модальной системы основывается на упоминавшемся выше результате ученика Лукасевича - Мередита, утверждавшего, что L 2 и закон экстенсиональности следуют из формулы CfpCfNpfq . Окончательно аксиоматика модальной логики у Лукасевича принимает следующий вид: ? ? CfpCfNpfq , ? ? CpMq , ? ? CMpp , ? ? Mp . L -система содержит исчисление высказываний L 2 , но не является двузначной. Лукасевич показал, что адекватной матрицей для L -системы является следующая четырехзначная матрица (1 является выделенным значением):

СС	11	22	33	44	Т N	MM
11	11	32	33	44	44	11
22	11	11	33	33	33	22
33	11	12	11	22	22	33
44	11	11	11	11	11	33

Из того факта, что существуют две опосредующие истину и ложь оценки (2 и 3) не следует делать вывод, что в системе модальной логики Лукасевича существуют два понятия возможности. Тем не менее в L -системе имеют место т.н. возможности-близнецы M и M 1 . Они неразличимы, когда выступают отдельно, но разнятся, когда входят в одну формулу, например, формулы MMp и M 1 M 1 p эквивалентны, а формулы M 1 Mp и MM 1 p неэквивалентны. Этот факт в системе модальной логики Лукасевича не имеет интуитивной интерпретации. Четырехзначная матрица вообще изменила взгляд Лукасевича на значение многозначных логик: если раньше он считал, что выбор следует делать между трехзначной логикой или бесконечнозначной, то теперь он признал четырехзначную систему адекватной для выражения понятия возможности.

Некоторые неясные вопросы Лукасевич пытается выяснить путем сравнения с другими модальными системами, в частности, с системой фон Вригта, а не более известными системами Льюиса, поскольку они основываются на т.н. "строгой импликации", которая более сильна, нежели "материальная импликация", используемая Лукасевич ем. Он подвергает сомнению т.н. правило необходимости: если x является формулой системы, то L x - также формула. Лукасевич считает, что предложение является непосредственно ложным или истинным и не видит причины, по которой тавтология должна быть "более истинной", чем "обычное" истинное предложение, а контрадикторное предложение "более ложно", чем "обычная" ложь. В этой позиции чувствуется влияние Твардовского, подкрепленное взглядами Лесьневского. Лукасевич спрашивает: "Почему мы должны вводить необходимость и невозможность в логику, если не существуют истинные аподиктические предложения? На этот упрек я отвечаю, что прежде всего мы интересуемся проблематическими предложениями вида Mx и MNx , которые могут быть истинны и используемы, хотя их аргументы и отбрасываются, а вводя проблематические предложения мы не можем обойти их отрицания, т.е. аподиктических предложений ибо предложения, обоих видов неразрывно между собой связаны".( S .295) Важной для понимания Лукасевичем понятия возможности является формула CKMpMqMKpq , не имеющая места в системе Льюиса. Лукасевич рассматривает следующий пример:

Пусть n будет целым положительным числом. Я утверждаю, что следующая импликация истинна для всех значений n : Если возможно, что n четно, и возможно, что n нечетно, то возможно, что n четно и n нечетно". Если n =4, то истинно, что n может быть четно, но не может быть истинной, что n может не быть четным; если n есть 5, то истинно, что n может быть нечетным, но не является истинной то, что n может быть четным. Обе посылки никогда не являются одновременно истинными и пример не может быть опровергнут.

Эти рассуждения показывают, что Лукасевич понимал возможность экстенсионально, тогда как в системах Льюиса функторы L и M интенсиональны.

Так решение Аристотелевой проблемы в контексте борьбы с фатализмом привело Я. Лукасевича к созданию нового, оригинального направления в логике, которое впоследствии получило бурное развитие[88] .

[67] Например, С. Нормор.

[68] Я. Лукасевич О детерминизме. — Философия и логика Львовско-Варшавской школы. – М.: «Российская политическая энциклопедия» (РОССПЭН), 1999.

[69] Там же.

[70] Там же.

[71] А.С. Карпенко Фатализм и случайность будущего: логический анализ. – М.: Наука, 1990.

[72] Я. Лукасевич О детерминизме. // Философия и логика Львовско-Варшавской школы. – М.: «Российская политическая энциклопедия» (РОССПЭН), 1999.

[73] Lukasiewicz J. O tworczosci w nauce. / Ksiega pamiatkowa ku uczczeniu 250 rocznicy zalozenia Uniwersytetu Lwowskiego.- Lwow, 1912. Ss.1-15; O nauce i filozofii — PF. r.18 (1915).-s.190-196; (SF,5(270), 1988, Ss.131-135.).

[74] Lukasiewicz J. O prawdopodobienstwie wnioskow indukcyjnych — PF.- r.12/z.2. [1909] Ss .209-210.

[75] Хотя Лукасевич и не уточняет смысл понятия правдоподобия, которое должно было бы приписываться индуктивным выводам, тем не менее его аргумент весьма близок к мнению К.Поппера [1934], считавшего, что логическое правдоподобие (в смысле Карнапа) универсальных (общих) предложений равно нулю и никакие индуктивные исследования не могут изменить этого положения.

[76] Lukasiewicz J. Die logischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Krakow, 1913.

[77] Lukasiewicz J. O zasadzie sprecznosci u Arystotelesa. Krakow, 1910.

[78] Lukasiewicz J. O zasadzie wylaczonego srodka — PF.-r.13/z.3, [1910] Ss.372-373; (SF. nr.5(270), 1988. Ss .126-127).

[79] Ibid , s .126 .

[80] Ibid .

[81] Lukasiewicz J . O zasadzie sprecznosci u Arystotelesa . Krak o w , 1910. S s .5 1-5 2.

[82] Следует отметить, что доминирующее влияние этичеcко-моральной оценки над логической Лукасевич не формулировал явно, но оно для него было очевидным, как было оно очевидным для Твардовского и всей Львовско-варшавской школы. В этом мотиве выразительно звучит нота нераздельности моральных и гносеологических ценностей, присущая известной сократовской аксиологии.

[83] В этой связи исследователь Львовско-Варшавской школы Я.Воленский ( Wole n ski J . Teorie i analizy logiczne w szkole lwowsko - warszawskiej / ( Hempolinski [1987], S .69-130) свидетельствует, что нашел только два упоминания об этой работе после 1910 г.

[84] Конечно, и в многозначной логике возникает вопрос об отношении принципа двузначности к принципу противоречия, а равно и к принципу исключенного среднего. Так оказывается, что принцип двузначности может быть подвергнут сомнению по разному, в результате чего появляются различные логические системы. Например, в трехзначном исчислении высказываний Лукасевича не имеют места законы противоречия и исключенного среднего, а интуиционистское исчисление обладает законом противоречия, но в нем не имеет места закон исключенного среднего. Дело в том, что интуиционисты свой протест выражали изначально, т.е. в металогике, а когда пришло время для интуиционистской семантики (Гедель, Гейтинг), то оказалось, что интуиционистская система многозначна. Конечно, можно нехрисиппову логику получить посредством исключения некоторых законов классической логики, но при этом следует указывать, что подобные действия приводят и к нехрисипповой семантике. Лукасевич же в "Принципе противоречия" над вопросами семантики не задумывался и, пока он так поступал, попытки реформирования классической логики оставались безуспешными. И лишь последующие метафизические рассуждения работы "О детерминизме" можно считать семантическими соображениями implicite r .

[85] Это замечание примечательно тем, что показывает как процесс, в данном случае существования, находит свое выражение в результате посредством модальности. Таким образом трактовка модальности как функтора сугубо экстралингвистическая, в отличие от логического функтора, обладающего четко выраженной интралингвистической, или, как принято говорить, синсематической интерпретацией. Поэтому семиотическое воплощение модальности в виде оператора, как кажется, более адекватно ее смыслу, чем интерпретация в виде функтора, принятая Лукасевичем и распространенная в школе.

[86] Lukasiewicz J. Uwagi o aksjomacie Nicoda i o "dedukcji uogolniajacej" / Ks.PTF. Ss.366-382. 1932.

[87] Lukasiewicz J.] A system of modal logic — "Journal of Computing Systems".- I , no .3, 1953. Pp .111-149.

[88] См., в частности: А.С.Карпенко. Многозначные логики — Логика и компьютер. Вып.4. М: Наука, 1997; А.С.Карпенко. Логика Лукасевича и простые числа. М., ИФРАН, 2001; С.А.Павлов. Трехзначная логика Лукасевича и логика ложности FL4. Logical Jorney Online Studies. 1998, 1 (http://www.logic.ru/Russian/LogStud/01/No1-13.html)