Связь математики и философии так же видна в рассуждениях Канта об априорности восприятия пространства и времени.
Кант пересматривает прежнее представление о человеческой чувственности, согласно которому чувственность лишь доставляет нам многообразие ощущений, в то время как принцип единства ис-ходит из понятий разума.
Многообразие ощущений, говорит Кант, действительно дает нам чувственное восприятие; ощущение – это содержание, материя чувственности. Но помимо того наша чувственость имеет свои до-опытные, априорные формы, в которые с самого начала как бы “ук-ладываются” эти ощущения, с помощью которых ощущения как бы упорядочиваются. Эти формы – пространство и время. Пространство – априорная форма внешнего чувства ( или внешнего созерцания), тогда как время – априорная форма чувства внутреннего (внутренне-го созерцания).
Синтетические суждения могут быть априорными в том случае, если они опираются на форму чувственности, а не на чувственный материал. А таковы, по Канту, именно суждения математики, кото-рая конструирует свой предмет, опираясь либо на чистое созерцание пространства (геометрия), либо на чистое созерцание времени (арифметика). Это не значит, конечно, что тем самым математика не нуждается в понятиях рассудка; но из одних только понятий, без об-ращения к интуиции, т.е. созерцанию пространства и времени, она не может обойтись. Исходные положения геометрии, например, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, не могут быть получены аналитически, ибо, говорит Кант, из самого понятия прямой нельзя логически вывести признак величины расстояния; тут имеет место синтез разных понятий, а он не может основыватьься на случайном, единичном опыте, поскольку тогда математическое зна-ние не было бы всеобщим. Только чистая форма чувственности – пространство – позволяет нам, опираясь на созерцание, в то же вре-мя получить необходимую связь двух разных понятий. Мы чертим прямую линию и непосредственно видим, что она есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Таким образом, рассмотрение пространства и времени не как форм бытия вещей самих не себе, а как априорных форм чувственности познающего субъекта позволяет Канту дать обоснование объективной значимости идеальных конст-рукций - прежде всего конструкций математики. Тем самым и дается ответ на вопрос: как возможны синтетические суждения a priori.
Интересны слова Бертрана Рассела: “Я пришел к философии через математику, или скорей через желание найти некоторые основания для веры в истинность математики. С ранней юности я страстно верил, что в ней может быть такая вещь, как знание, что сочеталось с большой трудностью в принятии многого того, что проходит как знание. Казалось, что наилучший шанс обнаружить бесспорную истину будет в чистой математике, однако некоторые из аксиом Евклида были, очевидно, сомнительными, а исчисление бесконечно малых, когда я его изучал, содержало массу софизмов, с которыми я не мог справиться сам. Но я не имел никаких оснований сомневаться в истинности арифметики, хотя тогда я не знал, что арифметика может рассматриваться как охватывающая всю традиционную чистую математику. В возрасте восемнадцати лет я прочел “Логику” Милля, но был глубоко разочарован его доводами для оправдания арифметики и геометрии. Я не прочел еще Юма, но мне казалось, что чистый эмпиризм (который я был расположен принять) должен скорее привести к скептицизму, чем к подтверждению выдвигаемых Миллем научных доктрин. В Кембридже я прочел Канта и Гегеля, так же как и Логику” Брэдли, которая глубоко повлияла на меня. (Брэдли Фрэнсис Герберт (1846—1924) — главный представитель английского абсолютного идеализма. Критиковал традицию британского номинализма и эмпиризма, а также ассоциативную психологию. По Брэдли, в процессе познания всегда дается нечто универсальное, поэтому ориентация эмпиристов на фиксацию и обобщение изолированных фактов несостоятельна. Объективно-идеалистическая метафизика Брэдли построена на противопоставлении противоречивой сферы “видимости” и подлинной реальности — “Абсолюта” Для его “Принципов логики” (1883) характерно влияние гегелевской диалектической логики и антипсихологистская установка. Брэдли негативно воспринял новую математическую логику - прим.ред.). Несколько лет я был учеником Брэдли, но примерно в 1898 г я изменил свои взгляды в значительной мере в результате дискуссии с Д. Э. Муром Я не мог больше полагать, что познание оказывает влияние на то, что познается. Также я убедился в справедливости плюрализма Анализ математических утверждений склонил меня к тому, что они не могут быть объяснены даже как частичные истины, если не допускается плюрализм и реальность отношений Случай привел меня в это время к изучению Лейбница, и я пришел к заключению (впоследствии подтвержденному мастерскими исследованиями Кутюра), что большинство его характерных мнений было обязано чисто логической доктрине, что каждое суждение имеет субъект и предикат. (Кутюра Луи (1868-1914) - французский логик, одним из первых обративший внимание на современное значение логических идей Лейбница) Эту доктрину Лейбниц разделял со Спинозой, Гегелем и Брэдли. Мне показалось, что если ее отвергнуть, то весь фундамент метафизики этих философов разрушится. Я, таким образом, вернулся к проблеме, которая вначале привела меня к философии, а именно к основаниям математики, применив к ней новую логику, разработанную в основном Пеано и Фреге, которая доказала (по крайней мере, так я считаю) значительно большую плодотворность, чем логика традиционной философии. (Пеано Джузеппе (1858-1932) - итальянский математик, разработавший систему логических аксиом, на основе которых должна была строиться арифметика). В первую очередь я обнаружил, что многие из прежних философских аргументов о математике (заимствованных в основном от Канта) оказались тем временем несостоятельными благодаря прогрессу математики. Неевклидовы геометрии подорвали аргументацию трансцендентальной эстетики. Вейерштрасс показал, что дифференциальное и интегральное исчисления не требуют концепции бесконечно малых, и, следовательно, все то, что было сказано философами о таких предметах, как непрерывность пространства, времени и движения должно рассматриваться как явная ошибка. (Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) - немецкий математик, занимавшийся логическим обоснованием математического анализа). Кантор освободил концепцию бесконечного числа от противоречий и тем самым справился с антиномиями как Канта, так и Гегеля. Наконец, Фреге показал детально, как арифметика может быть выведена из чистой логики без привлечения каких-либо новых идей или аксиом, таким образом, опровергнув утверждение Канта, что “7 + 5 - 12” является синтетическим — по крайней мере в обычной интерпретации этого утверждения. (Кантор Георг (1845—1918) - немецкий математик, один из создателей современной теории множеств. Фреге Готлоб (1848—1925) — немецкий математик и логик, один из создателей логической семантики). Поскольку все эти результаты были получены не с помощью какого-либо героического метода, а посредством терпеливых детальных рассуждений, я стал думать, что философия, вероятно, заблуждалась, применяя героические средства для разрешения интеллектуальных трудностей, которые можно было преодолеть просто с помощью большей внимательности и аккуратности в рассуждениях. Такой взгляд со временем все больше и больше укреплялся и привел меня к сомнению относительно того, отличается ли философия как исследование от науки и обладает ли она своим собственным методом, являющимся чем-то большим, чем неудачным наследием теологии.”
3. Соотношение математики и логики.
Чтобы правильно поставить сам вопрос о соотношении математики и логики, необходимо, очевидно, рассмотреть его в исторической перспективе. Это обстоятельство не игнорирует и сам Б. Рассел. «Математика и логика,— пишет он,— исторически говоря, были целиком различными занятиями. Математика обычно ассоциировалась с естествознанием, логика — с греками. Но обе развились в настоящее время: логика стала более математической, а математика — более логической. Следствием этого является то, что сейчас стало совсем невозможно провести разграничительную линию между ними: фактически они стали единым исследованием. Они отличаются друг от друга так же, как юноша от мужчины: логика есть юность математики, а математика — зрелость логики».
В этом отрывке Рассел справедливо подчеркивает тесное взаимодействие между математикой и логикой в процессе их исторического развития, выявившееся с особой силой в нашем столетии. Именно в силу этого оказывается весьма трудным решить, какая из этих. наук генетически предшествовала другой. Многие специалисты склоняются к мысли, что математическое знание по крайней мере в полуэмпирической форме существовало задолго до того, как были открыты правила дедуктивных рассуждений. Прежде чем греческие геометры стали логически систематизировать результаты, найденные их предшественниками — египтянами, должна быжа существовать довольно развитая совокупность математических знаний, непосредственно связанных с различными вычислениями и измерениями. С другой стороны, трудно допустить, чтобы при получении этого знания не применялись те или иные принципы позднее возникшей логики.
Применение логических правил рассуждения нельзя отождествлять с обоснованием и дальнейшей разработкой этих правил. Человек, не знакомый с логикой, может тем не менее рассуждать правильно, т. е. приходить к истинным заключениям. Разумеется, только у греков математика превратилась в систематизированное научное знание, стала теоретической наукой, в которой широко использовались не только дедуктивные рассуждения, но и позднее возникший аксиоматический метод.
Все это показывает, что генетически логика вряд ли могла возникнуть раньше математики. Во всяком случае, если говорить о ясно сформулированных принципах дедуктивных рассуждений и их использовании и математике, то впервые они были развиты греческими философами. Аристотель и стоики в значительной мере усовершенствовали и систематизировали эти принципы, так что их работа представляет скорее не начало, а завершение длительного этапа многочисленных исследований в этой области, восходящих еще к VI в. до н. э.
Вряд ли, однако, тесную взаимосвязь и взаимодействие между логикой и математикой можно рассматривать как аргумент в пользу их идентичности, или тождества. И такое доказательство их идентичности вовсе не есть дело деталей, как в этом пытается уверить нас Рассел, хотя, как показала дальнейшая критика, не все эти детали являются убедительными и бесспорными. «...Начиная с предпосылок,— пишет он,— которые всеми будут допускаться как принадлежащие к логике, и придя посредством дедукции к результатам, которые с очевидностью принадлежат к математике, мы находим, что там не имеется пункта, где может быть проведена разграничительная линия, с логикой слева и математикой справа».
Но как мы уже видели, такие аксиомы, как аксиома бесконечности или аксиома свободного выбора, относятся скорее к теории множеств, т. е. к математике, чем к логике. Даже само определение понятия числа в терминах теории классов, которое играет такую важную роль в осуществлении программы логицизма, является в сущности определением в рамках теории множеств, поскольку термин класс всегда можно заменить термином множество. Наконец, некоторые исходные понятия теории множеств неявно используются в самом построении логических исчислений, которые применяются Фреге и Расселом при дедукции теорем из аксиом.
Все это показывает, что в подлинном смысле слова речь может идти не о строгой дедукции всей чистой математики из логики, а о тесной взаимосвязи между ними в процессе математического познания и исследования оснований обеих наук. Впрочем, это обстоятельство в ряде мест своей книги «Введение в математическую философию» и в приведенных выше цитатах признает, кажется, и сам Рассел.
С философской точки зрения при решении вопроса о соотношении логики и математики более существенными являются аргументы, относящиеся не столько к технической стороне самих деталей дедукции математики из логики, сколько к выяснению общности и различия их объектов исследования. Как мы подробно покажем в последней главе, предметом изучения современной математики являются различные абстрактные формы и структуры, которые обладают той особенностью, что в рамках математического исследования они могут рассматриваться независимо от конкретного содержания предметов и процессов, которым присущи эти формы и структуры. Простейшими из таких структур являются количественные отношения и пространственные формы, которые изучаются в элементарной и высшей математике. В процессе дальнейшего абстрагирования и обобщения возникают новые более сложные структуры и их комбинации, которые были названы абстрактными структурами. Такие структуры оказываются применимыми для изучения не только отношений между величинами, числами и обычными пространственными фигурами, но и объектов совершенно иной природы. С их помощью можно исследовать, например, логические отношения между высказываниями и анализировать теорию дедуктивного вывода, как это делается в математической логике.
При рассмотрении вопроса о соотношении логики и математики нередко возникают недоразумения в силу неоднозначности употребления самого термина «логика».
Во-первых, можно говорить о логике как науке, изучающей законы правильного мышления. В этом смысле логика понимается как исследование структур и форм мысли и поэтому справедливо называется формальной логикой.
Во-вторых, в рамках самой формальной логики можно выделить такую важную и доминирующую ее отрасль, как теория дедуктивного вывода, и соответственно говорить о дедуктивной логике.
В-третьих, нередко под логикой понимают применение математических методов для построения формальной теории дедуктивного вывода. Для этого обычно строятся различные формально-логические системы, или языки, с помощью которых оказывается возможным точно выразить логические взаимосвязи между высказываниями в процессе вывода. Поскольку при этом высказывания рассматриваются как некоторые дискретные объекты, то в принципе вполне допустимо интерпретировать отображающие их формальные системы с помощью объектов нелогической природы. Хорошо известно, например, что исчисление высказываний интерпретируется с помощью релейно-контактных схем и других технических устройств. Этот пример показывает, что в данном случае речь действительно идет о применении некоторых общих формальных методов к логике. Поэтому совершенно справедливо такая отрасль исследований получила название математической логики.
В-четвертых, в рамках не только общей, но и математической логики можно выделить целый ряд разделов, теорий и формально-логических систем, которые исследуют разные аспекты не только дедуктивной теории вывода, но и тесно связанных с ней проблем, например определения терминов и понятий, семантической теории значений и т. п. В этом смысле часто говорят, например, о многозначной, модальной, вероятностной, эпистемической, нормативной и других логиках. Подобного рода не-классические логики анализируют такие типы логического вывода, в котором высказывания характеризуются не с помощью двух значений истинности, какими являются истина и ложь, но учитывают и некоторые иные их характеристики, например возможность и необходимость, степень подтверждения, или вероятность и другие. В настоящее время исследования по неклассическим логикам получили заметный размах в связи с потребностями не только специальных наук, но и философии, в силу чего возникло даже особое направление под названием философской логики.
Какую же логику имеют в виду Рассел и его последователи, когда говорят о дедукции из нее чистой математики?
Как мы уже видели, для такой дедукции у Фреге используется формальная система «Основных законов арифметики», а у Рассела и Уайтхеда — логицистическая система «Principia Mathematica». Поэтому когда они говорят о логике, то подразумевают под ней математическую логику, представленную в виде формализованной логико-математической системы, т. е. речь в этом случае идет о логике в четвертом значении термина «логика». При этом важно обратить внимание на то, что в такой системе логические термины и принципы строго не отделены от математических, а иногда отдельные принципы вроде аксиомы бесконечности и свободного выбора без какой-либо аргументации объявляются логическими, хотя большинство математиков относит их к теории множеств, а следовательно, к математике.
Если бы логицисты под логикой понимали математическую логику в собственном смысле этого слова, т. е, подразумевали под ней применение математических методов к логике, что соответствует третьему значению термина «логика» в вышеприведенной классификации, тогда было бы невозможно вывести из нее чистую математику. К тому же при таком понимании следовало скорее рассматривать саму логику или по крайней мере ее формально-логические системы как часть математики, кав науки об абстрактных структурах. Именно так подходят к решению этого вопроса формалисты и интуиционисты.
Таким образом, несостоятельность программы логицизма, выдвинутой Г. Фреге и Б. Расселом на ранней стадии эволюции этого направления, подтверждается не только чисто научными, логико-математическими аргументами, но более общими, философскими соображениями. Вот почему логицизм в той форме, в какой он был сформулирован Б. Расселом и который часто называют радикальным, в настоящее время утратил прежнюю популярность.
В 60-е годы известный американский логик и математик Алонзо Чёрч на Стэнфордском конгрессе по логике, методологии и философии науки предложил новый вариант логицизма, который можно назвать умеренным логицизмом". Радикальный логицизм, по мнению Чёрча, характеризует отношение между логикой и математикой, исходя из двух основных принципов:
(1) все математические понятия могут быть определены в терминах чисто логических понятий или, как предпочитает говорить Чёрч, «математический словарь есть
часть логического словаря»;
(2) все математические предложения (аксиомы, постулаты) могут быть выведены из чисто логических законов посредством использования чисто логических способов рассуждения.
Чёрч считает, что второй принцип радикального логицизма оказался несостоятельным и поэтому математику нельзя рассматривать буквально как часть логики. Что касается первого принципа, то он склоняется к мнению, что утверждение о том, что математический словарь есть часть логического словаря, подтверждается всем ходом исследований по основаниям математики. Такое заявление, хотя и не говорит о том, что математика буквально составляет часть логики, но оно устанавливает первичность логики по отношению к математике в смысле предшествования. Это значит, что никакой математический термин, утверждение и доказательство не могут быть осмысленными, если не будут осмысленны соответствующие логические термины. Поскольку обратное
10-09-2015, 22:22