Придадим сказанному формальный смысл. Пусть <U, F> – структура для языка L E L *. Поскольку язык L E L * является языком исчисления предикатов первого порядка, функция интерпретации F предикатных, функциональных и индивидных констант из L E L * на непустом универсуме U стандартна. Все, что требуется для того, чтобы сделать <U, F> структурой для языка L н, – это определить условие выполнимости для формул вида нА. Это условие очевидно: формула нА выполнена в структуре <U, F> при оценке v тогда и только тогда, когда в <U, F> при оценке v выполнена формула ((А & O A *) U ( O A & A *)). Тогда верно следующее утверждение (в котором знак логического закона “ u = ” имеет обычное классическое значение).
Предложение 2 . u = (нА « ((А & O A *) ? ( O A & A *))).
Однако чисто логическая теория Тн моментально превратится в прикладную, как только мы примем аксиому о том, что конкретная выполнимая формула А является неопределенной. Аксиома нА для такой формулы может выполняться в одних интерпретациях и не выполняться в других, как и положено аксиомам прикладных теорий. Но в этом случае теория Тн перестанет быть минимальной.
Предложение 3 . Для любой теории Т теория Т E Т* является ее консервативным расширением, а минимальная теория Тн является консервативным расширением Т E Т* (и, значит, также Т).
Как и всякую теорию, минимальную теорию Тн можно расширять, причем не обязательно формулами, содержащими оператор “н”. В качестве новой аксиомы к Тн разрешается добавлять любую формулу языка L н. Разумеется, в результате расширение уже не обязано быть консервативным. Тем не менее, каковы бы ни были теории с неопределенностью Тн, для них верны все стандартные метатеоремы о первопорядковых теориях классической логики. Иными словами, выполняется своего рода принцип переноса . Данный факт имеет место потому, что по сути дела теории Тн не выводят нас за рамки классической логики. В частности, каждую формулу теории Тн, содержащую оператор “н”, можно заменить эквивалентной ей формулой без этого оператора, элиминировав, таким образом, оператор неопределенности “н”.
Зато введение этого оператора позволяет в компактном виде сформулировать ряд неклассических идей, связанных с неопределенностью. Начнем с семантики. Будем использовать понятие выполнимости в обычном смысле с учетом расширения его на формулы вида нА, как было определено выше. Пусть А – формула языка L н и <U, F> – структура для языка L н. А определенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v , если как А, так и А* выполнена в структуре <U, F> при оценке v . А определенно не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , если как А, так и А* не выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Если в классическом случае любая формула либо выполнена, либо не выполнена, то здесь появляется третья возможность. Формула А неопределенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v , если либо А выполнена в структуре <U, F> при оценке v , но А* не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , либо А не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , но А* выполнена в структуре <U, F> при оценке v .
Предложение 4 . Формула нА определенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v тогда и только тогда, когда А неопределенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v .
Докажем это утверждение. Пусть нА определенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Значит, как нА, так и нА* выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Согласно определению выполнимости для формул вида нА, получаем, что в структуре <U, F> при оценке v выполнена формула ((А & O A *) U ( O A & A *)). Дизъюнкция C U D выполнена, если выполнена формула С или выполнена формула D . Допустим, (А & O A *) выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Тогда и А, и O А* выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Раз O А* выполнена, то А* не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , т. е. А неопределенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v , что и требовалось. Случай ( O A & A *) рассматривается аналогично.
Пусть теперь А неопределенно выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Тогда либо А выполнена в структуре <U, F> при оценке v , но А* не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , либо А не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , но А* выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Рассмотрим первую возможность. Так как А* не выполнена в структуре <U, F> при оценке v , O А* выполнена в структуре <U, F> при оценке v . Значит, в структуре <U, F> при оценке v выполнена конъюнкция (А & O A *) и, следовательно, дизъюнкция ((А & O A *) U ( O A & A *)), что и требовалось. Вторая возможность рассматривается аналогичным образом.
Формула А принимает значение 1 ( определенно истинно ) в структуре <U, F>, если А определенно выполнена структуре <U, F> при всех оценках v . Формула А принимает значение 0 ( определенно ложно ) в структуре <U, F>, если А определенно не выполнена структуре <U, F> при всех оценках v . Формула А принимает истинностное значение 1/0 ( неопределенность ), если А неопределенно выполнена структуре <U, F> при всех оценках v .
Разумеется (как и в классическом случае, когда незамкнутая формула может быть ни истинной, ни ложной), незамкнутая формула может быть ни истинной, ни ложной, ни неопределенной. Зато каждая замкнутая формула в семантике неопределенности получит какое-то из трех истинностных значений.
Предложение 5 . Если А – замкнутая формула языка L н, то в любой структуре <U, F> для языка L н А получит одно и только одно из трех истинностных значений: либо ¦А¦ = 1, либо ¦А¦ = 0, либо ¦А¦ = 1/0.
Еще одним очевидным следствием принятых определений является следующее утверждение.
Предложение 6 . Унарные связки “ O ” и “н” подчиняются вышеприведенной таблице истинности, тогда как бинарные связки не могут быть заданы конечной таблицей истинности.
Предложение 7 . Пусть А – замкнутая формула. Тогда ¦нА¦ = ¦нА*¦ = ¦н O А¦ = ¦н O А*¦. При этом либо ¦нА¦ = 1, либо ¦нА¦ = 0.
Для доказательства данного утверждения достаточно обратить внимание, что условия выполнимости для нА и нА* эквивалентны ввиду того, что А неопределенно выполнена тогда и только тогда, когда А* неопределенно выполнена. Аналогичным образом, если формула А неопределенно выполнена, то и O А также неопределенно выполнена, и наоборот. Поэтому можно было бы сказать, что если А неопределенно не выполнена, то и O А также неопределенно не выполнена. То есть в условиях неопределенности выполнимость и невыполнимость совпадают. В случае неопределенности А формула нА будет определенно истинной, а в случае определенной истинности или определенной ложности А формула нА окажется определенно ложной. Случай ¦нА¦ = 1/0 поэтому исключается. С философской точки зрения это означает, что утверждение неопределенности или, равным образом, отрицание неопределенности, само вполне определенно. Но так и должно быть. Либо неопределенность есть, либо ее нет. Словосочетание “неопределенная неопределенность”, на наш взгляд, лишено смысла.
Стандартное понятие общезначимой формулы распространяется на построенную трехзначную семантику естественным образом: вместо истинно надо сказать определенно истинно . Точнее, формула А языка L н является н- общезначимой , если А определенно истинна в любой структуре для языка L н. Для обычной общезначимости пишем u = А, а для н-общезначимости будем использовать запись н u = А.
Принципиальное значение имеет следующее утверждение.
Предложение 8 . Для любой формулы А языка L н u = А тогда и только тогда, когда н u = А.
Из определений ясно, что если н u = А, то не только u = А, но и u = А*. Доказательство в обратную сторону основывается на том факте, что u = А U u = А* (ведь формулы А и А* имеют одинаковую структуру). Рутинные детали опустим.
Осуществив столь же естественное распространение на семантику неопределенности понятия логического следования (снова достаточно в нужных местах добавить слово “определенно”), получим более общее утверждение.
Предложение 9 . Г u = А U Г н u = А.
Наконец, используя теорему полноты для классической логики, получаем следующее утверждение.
Предложение 10 . Тн ? ? А U н u = А.
Пора проиллюстрировать логическую теорию неопределенности конкретными примерами рассуждений в неопределенных условиях. Лучше всего это сделать, обратившись к логике исторических рассуждений, поскольку именно исследователям уже исчезнувших событий прошлого приходится сталкиваться с неопределенностями там, где аналогичные события, будь мы их очевидцами, не вызвали бы вопросов.
Более конкретно, мы займемся проблемой прямого правила удаления квантора существования в рассуждениях историков. Но вначале необходимо показать, как эта проблема решалась в классической и интуиционистской (ставшей уже почти классической) логике. Одним из способов решения было ведение e -оператора. Как известно, идея исчисления с e -термином принадлежит Д. Гильберту. Смысл выражения вида e хА(х) состоит в указании на некий индивид, обладающий свойством А(х), если такой индивид существует. Знаки индивидов называются именами, однако в рассматриваемом случае мы имеем дело с именем не конкретного, а неопределенного индивида, произвольно выбранного среди объектов, удовлетворяющих свойству А(х), если таковые вообще найдутся. Поэтому оператор e получил название оператора неопределенной дескрипции . Существует также оператор определенной дескрипции , обычно обозначаемый символом i , который указывает на индивид однозначным образом. В трактовке Д. Гильберта требование однозначности обеспечивается доказательством существования и единственности введенного с помощью i -оператора объекта. Выражение i хА(х) имеет смысл тогда и только тогда, когда предварительно доказано, во-первых, что $ хА(х) (объект существует) и, во-вторых, что " х " у((А(х) & А(у)) ® х = у) (объект единственен) [7], или, в сокращенной форме, $ !хА(х). Отказываясь от слишком обременительного условия доказательства единственности и оставляя требование доказательства существования, приходим к h -оператору, который (так же, как и e ) оказывается оператором неопределенной дескрипции, поскольку указывает на произвольный объект, удовлетворяющий свойству А(х): h хА(х) означает результат выбора некоторого индивида, выполняющего свойство А(х).
Необходимость перехода к оператору неопределенной дескрипции В. А. Смирнов иллюстрирует на следующем примере [16]. Рассмотрим предложение “Семен видел верблюда”. Здесь “Семен” – имя индивида, а термин “верблюд” указывает на класс индивидных объектов. Однако интуитивное понимание данного предложения не совместимо с утверждением “Семен видел класс верблюдов”. Имеется в виду, что Семен видел некоторого представителя класса верблюдов, а не сам класс. Уточнить сказанное позволяет оператор неопределенной дескрипции: “(Семен) Видел ( h х Верблюд (х))”. Но выражение вида h хА(х) имеет смысл тогда и только тогда, когда доказано $ хА(х), что также накладывает излишне строгие ограничения на использование оператора неопределенной дескрипции. Верблюды существуют, а динозавры нет. Поэтому утверждение “(Семен) Видел ( h х Динозавр (х))” оказывается просто неправильно построенным, хотя оно имеет точно такую же форму, как и в предыдущем примере.
Выходом из этого затруднения является отказ от обязательного доказательства существования объектов, обладающих некоторым свойством, в утверждениях с использованием оператора неопределенной дескрипции. Гильберт и Бернайс следующим образом обобщают идею неопределенной дескрипции, вводя e -оператор [8]. Принимается аксиома:
А( t ) ® A ( e xA ( x )) (где t – терм).
Кванторы общности и существования вводятся определениями:
$ xA(x) = Df A( e xA(x)), " xA(x) = Df A( e x O A(x)).
Теперь формулы вида В( e xA ( x )) можно вводить без каких-либо ограничений, связанных с предварительным доказательством существования индивидов, обладающих свойством А(х). С семантической точки зрения, общезначимость выше приведенной аксиомы можно обосновать следующим рассуждением. Пусть значением выражения e xA ( x ) будет произвольный индивид, удовлетворяющий свойству А(х), если предикат А(х) проинтерпретирован на непустой области объектов. Если же при данной интерпретации предикат А(х) пуст, то выражению e xA ( x ) сопоставляем любой индивид из универсума рассуждений. Пусть теперь формула А( t ) выполнена в интерпретации F при некоторой оценке f . Это означает, что предикат А(х) не пуст в интерпретации F . Ясно, что формула A ( e xA ( x )) также будет выполнена при данной интерпретации и оценке f . На самом деле A ( e xA ( x )) в рассматриваемом случае будет выполнена при любой оценке g . Если же формула А( t ) не выполнена в данной интерпретации ни при какой оценке, e xA ( x ) сопоставим b , где b – произвольный индивид из универсума рассуждений. Поскольку формула А( t ) не выполнена ни при какой оценке, формула A ( e xA ( x )) также не будет выполнена, какую бы оценку мы ни взяли, что и требовалось. В частности, если А( t ) истинна, то A ( e xA ( x )) также будет истинна, а если А( t ) ложна, то A ( e xA ( x )) также будет ложна. Фактически, именно такое понимание смысла оператора e было предложено Гильбертом и Бернайсом [8. C . 30].
Существенно, что построенное Гильбертом и Бернайсом исчисление предикатов, содержащее оператор e , не ведет к расширению класса формул, доказуемых в обычном исчислении предикатов. Точнее, если некоторая формула А, не содержащая символа e , доказуема в гильбертовском e -исчислении, то она будет доказуема и в исчислении предикатов первого порядка, не содержащем символа e . Иначе говоря, e -исчисление является консервативным расширением обычного исчисления предикатов. Исследования e -оператора В. А. Смирновым позволили распространить полученные школой Гильберта результаты на исчисления иных типов и на интуиционистскую логику. Эти новые, далеко идущие обобщения первоначально были изложены в седьмой, заключительной главе книги [16]. В дальнейшем В. А. Смирнов неоднократно обращался к проблематике e -исчислений, развивая и уточняя предложенный им подход.
Нас здесь будет интересовать, в первую очередь, сформулированное В. А. Смирновым несеквенциальное натуральное исчисление предикатов второго типа, предполагающее наличие прямых правил удаления для каждого логического знака, в том числе для квантора существования [16. C . 217]. Введение такого правила для квантора существования порождает проблему, связанную с обеспечением логического следования. Такого рода проблема возникает и в случае прямого правила введения квантора всеобщности. Переход (при линейном способе записи) А(х) ? " хА(х) нарушает логическое следование: А(х) может оказаться истинным при каком-то конкретном значении х, тогда как утверждение " хА(х) окажется ложным. Однако общезначимость формулы А(х) в каком-либо универсуме рассуждений гарантирует общезначимость и формулы " хА(х) в том же универсуме.
С квантором существования дело обстоит сложнее. Прямое правило удаления квантора существования $ хА(х) ? А( t ) не воспроизводит отношение логического следования и в том случае, когда формула $ хА(х) является универсально общезначимой. Например, формула $ х(Р(х) ® " уР(у)) универсально общезначима, но
10-09-2015, 21:40