Логика умозаключения

Условные умозаключения

Чисто условным умозаключением называется такое опосредст­вованное умозаключение, в котором обе посылки являются услов­ными суждениями. Условным называется суждение, имеющее структуру: «Если а, то bs>. Структура чисто условного умозаклю­чения такая:

Схема:

Если а, то Ь. Если Ь. то С. Если а, то с.

a-*b, fe-c а-» с

Согласно определению логического следствия, сформулирован­ному в рамках исчисления высказываний, если формула а -» с есть логическое следствие из данных посылок, то, соединив посылки знаком конъюнкции и присоединив к ним посредством знака импликации заключение, мы должны получить формулу, которая

является законом логики, т. е. тождественно-истинной формулой. В данном случае формула будет такова:

((а - Ь) л (Ь - с)) - (а - сД

Доказательство тождественной истинности этой формулы мож­но провести табличным методом. Этот вид умозаключения часто используется в обучении, в частности при изучении математики, физики, биологии. Приведем пример:

Если правильно внести удобрения, то урожай повысится.

Если урожай повысится, то себестоимость продукции станет ниже._____

Если правильно внести удобрения, то себестоимость продукции станет ниже.

В чисто условном умозаключении существуют его разновидно­сти (модусы). К ним относится, например, такой:

Схема:

Если а, то Ь. Если не-а, то Ь. Ь

а -» * а -> Ь

Формула: ((а - *) л (а -» Ь)) - *.

Эта формула является законом логики. В умозаключении суждение Ь истинно и независимо от того, утверждается или отрицается а.

Примером такого умозаключения является следующее рассуж­дение:

Если бензин не подорожает, уберем урожай. Если бензин подорожает, уберем урожаи. Уберем урожай.

Приведем пример из художественной литературы. Один из героев Агаты Кристи, оказавшийся на острове, рассуждает: «Гене­рал Макартур пребывал в мрачной задумчивости. Черт побери, до чего все странно! Совсем не то, на что он рассчитывал... Будь хоть малейшая возможность, он бы под любым предлогом уехал... Ни минуты здесь не остался бы. Но моторка ушла. Так что хочешь не хочешь, а придется остаться».

Условно-категорическое умозаключение — это такое дедуктив­ное умозаключение, в котором одна из 'посылок — условное суждение, а другая — простое категорическое суждение. Оно имеет два правильных модуса, дающих заключение, с необходимостью следующее из посылок.

I. Утверждающий модус (modus ponens).

Структура его:

Если а, то Ь.

____а___ Ь

Схема:

а- Ь.

Ь

Формула ((а -» Ь) л а) •* Ь (1) является законом логики. Можно строить достоверные умозаключения от утверждения основания к утверждению следствия. Приведем два примера:

Если ты хочешь наслаждаться искусством, то ты должен быть

художественно образованным человеком. Ты хочешь наслаждаться искусством.____________

Ты должен быть художественно образованным человеком.

Для построения другого примера воспользуемся интересным высказыванием великого русского педагога К. Д. Ушинского: «Если человек избавлен от физического труда и не приучен к умствен­ному, зверство овладевает им»'. Использовав это высказывание, построим условно-категорическое умозаключение:

Если человек избавлен от физического труда и не приучен к умственному,

то им овладевает зверство.

Это человек избавлен от физического труда и не приучен к умственному. Этим человеком овладевает зверство.

Любое использование правил в русском языке, математике, физике, химии и других школьных дисциплинах основано на утверждающем модусе, дающем достоверное заключение, поэтому в практике мышления он находит самое широкое применение.

Пример:

Если этот металл натрий, то он легче воды. Данный металл — натрий.__________

Данный металл легче воды.

II. Отрицающий модус {modus tollens).

Структура его:

Если а, то Ь. Не-Ь

Схема:

а -» Ь

Не-а

Ушчнский К. Д. Собр. соч. М. — Л„ 1948. Т. 2. С. 350.

Формула ((а -* Ь) л *) -» а (2) также является законом логики (это можно доказать с помощью таблицы).

Можно строить достоверные умозаключения от отрицания следствия к отрицанию основания.

Приведем два примера:

Если река выходит из берегов, то вода заливает прилежащие территории. Вода реки не залила прилежащие территории.________________

Вода не вышла из берегов.

Для построения второго условно-категорического умозаключе­ния воспользуемся следующим высказыванием: «...Тот мерзок, кто ярится, если чужой он доблести свидетель» (Данте Алигьери).

Умозаключение построено так:

Если человек при виде чужой доблести ярится, то он мерзок. Этот человек не является мерзким.________________

Этот человек при виде чужой доблести не ярится.

Условно-категорическое умозаключение может давать не толь­ко достоверное заключение, но и вероятное.

Первый вероятностный модус

Рассмотрим первый модус, не дающий достоверного заключе­ния.

Структура его:

Если а, то Ь.

__Ь.

Схема:

а -» Ь

Ъ,

Вероятно, а.

Вероятно, а.

Формула ((а - Ь) л Ь) -» а (3) не является законом логики. Она означает, что нельзя достоверно умозаключить от утверждения следствия к утверждению основания. Люди иногда неправильно умозаключают так:

Если бухта замерзла, то суда не могут входить в бухту. Суда не могут входить в бухту._______________

Бухта замерзла.

Заключение будет лишь вероятностным суждением, т. е. вероятно, что бухта замерзла, но возможно и то, что дует сильный ветер, или бухта заминирована, или существует другая причина, по которой суда не могут входить в бухту.

Вероятностное заключение получится и в таком умозаключении:

Если данное тело — графит, то оно электропроводно. Данное тело электропроводно.______________

Вероятно, данное тело — графит.

Второй вероятностный модус

Это второй модус, не дающий достоверного заключения.

Структура его:

Если а, то Ь. Не-а._____ Вероятно, не-Ь.

Схема:

а -» Ь ~а

Вероятно, Ъ

Формула ((а -» Ь) л a) -» b (4) не является законом логики. Она означает, что нельзя принимать заключение за достоверное, умозаключая от отрицания основания к отрицанию следствия.

Некоторые врачи ошибочно рассуждают так:

Если человек имеет повышенную температуру, то он болен. Данный человек не имеет повышенной температуры.____ Данный человек не болен.

Учащиеся в школе также допускают логические ошибки при построении умозаключений. Вот пример:

Если тело подвергнуть трению, то оно нагреется. Тело не подвергли трению. Тело не нагрелось.

Заключение здесь только вероятностное, но не достоверное, ибо тело могло нагреться по какой-либо другой причине (от солнца, в печи и т. д.).

Заметим, что приведение такого рода примеров вполне доста­точно для того, чтобы показать, что формы умозаключений, выражаемые формулами (3) и (4), неправильны. Но никакое количество примеров применения форм, соответствующих форму­лам (1) и (2), не в состоянии — если мы оперируем только примерами — обосновать их логической правильности. Для такого обоснования требуется уже некоторая логическая теория. Такая теория, фактически отсутствующая в традиционной логике, содер­жится в алгебре логики. Если формула, в которой конъюнкция посылок и предполагаемое заключение соединены знаком импликации', не является тождественно-истинной, т. е. не выражает закона логики, то в умозаключении заключение не является • достоверным. С помощью табличного метода можно доказать, что колонки таблицы 1, соответствующие формулам (1) modus ponens и (2) modus tollens выражают законы логики, а это означает, что modus ponens и modus tollens представляют собой логически правильные формы умозаключений.

Таблица 1

Таблицу для неправильных модусов предоставляем построить читателю самому. В ней наряду со знаками «И» («истина») мы увидим и знаки «Л» («ложь»), а это значит, что выражения:

((а -» Ь) л Ь) -» а и ((а -* Ь) л ~а) -» Ъ не являются тождественно-истинными высказываниями, т. е. законами логики.

Если умозаключают от утверждения следствия к утверждению основания, то можно прийти к ложному заключению вследствие множественности причин, из которых может вытекать одно и то же следствие. Например, выясняя причину заболевания человека, надо перебрать все возможные причины: простудился, переутомил­ся, был в контакте в бациллоносителем и т. д.

§ 8. Разделительные умозаключения

Разделительным называется дедуктивное умозаключение, в котором одна или несколько посылок — разделительные (дизъюн­ктивные) суждения. Существуют чисто разделительные и раздели­тельно-категорические умозаключения.

В чисто разделительном умозаключении обе (или все) посыл­ки являются разделительными суждениями. В традиционной логике принята следующая его структура:

При этом конкретные (или, как иначе говорят, постоянные) высказывания в посылках -и заключении надо, как уже было отмечено, заменить переменными.

S есть А, или В, или С.

А есть или Л|. или А-^.___________•

S есть или Л|, или А^, или В, или С.

В первом разделительном суждении каждое из трех простых суждений «5 есть Л», «S есть В», «S есть С» называется альтернативой. Из суждения «5 есть Л» образуются еще две альтернативы, которые составляют два члена новой дизъюнкции. Например:

Предложения бывают простыми или сложными. Сложные предложения бывают сложносочиненными или

сложноподчиненными._________________________

Предложения бывают простыми, или сложносочиненными, или сложноподчиненными.

/

В разделительно-категорическом умозаключении одна посыл­ка — разделительное суждение, другая — простое категорическое суждение. Этот вид умозаключения содержит два модуса.

Первый модус tollens). Пример его:

утверждающе отрицающий (ропепао

Внимание бывает произвольным или непроизвольным. Это внимание является непроизвольным. Это внимание не является произвольным.

Заменив конкретные высказывания в посылках и заключении переменными, получим запись этого модуса в терминах символи­ческой логики (с двумя членами дизъюнкции) в виде правила вывода:

a v b, a

или

а v b, b ~а

В этом модусе союз «или» употребляется как строгая дизъюнк­ция. Формулы, соответствующие этому модусу, имеют вид:

(1) ((а v b) л а) -* Ъ и (2) ((а v b) л b) - а.

Обе эти формулы выражают законы логики.

Если в этом модусе союз «или» взят как нестрогая дизъюнкция, то соответствующие формулы не будут выражать закон логики. Формулы:

(3) ((а v b) л а) -» Ъ и (4) ((а v b) л Ь) -» а не являются законами логики. Доказательство формул (1) и (3) дано в таблице 2.

Таблица 2

Ошибки происходят из-за смешения соединительно-раздели­тельного и строго разделительного смыслов союза «или» в модусе ponendo tollens. Нельзя рассуждать, например, таким образом:

Учащиеся в контрольной работе по математике допускают или вычислитель­ные ошибки, или ошибки в эквивалентных преобразованиях, или ошибки в применении изученных алгебраических правил.

Учащийся Сидоров допустил и контрольной работе вычислительные ошибки. Сидоров не допустил в работе ни ошибок в эквивалентных преобразовани­ях, ни ошибок в применении изученных алгебраических правил.

Заключение не является истинным суждением, так как Сидоров может допускать все три вида ошибок.

Второй модус — отрицающе-утверждающий (tollendo ponens).

Приведем пример:

Минеральные удобрения бывают или азотными, или фосфорными, или ка­лийными. Данное минеральное удобрение не принадлежит ни к азотному, ни к фос-

форному.________________________________________

Данное минеральное удобрение является калийным.

Другой пример возьмем из рассказа А. Конан Дойла «Пестрая лента», в котором он описал раскрытие страшного преступле­ния — убийство девушки с помощью ядовитой змеи. Ш. Холмс рассказал Уотсону: «Вначале я пришел к совершенно неправиль­ным выводам, мой дорогой Уотсон, — и это доказывает, как опасно опираться на неточные данные. Присутствие цыган, слово «банда»', сказанное несчастной девушкой, — всего этого было достаточно, чтобы навести меня на ложный след. Но когда мне стало ясно, что в комнату невозможно проникнуть ни через дверь, ни через окно, что не оттуда грозит опасность обитателю этой комнаты, я сразу понял свою ошибку, и это может послужить мне оправданием. Как я уже говорил Вам, внимание мое сразу привлекли вентилятор и шнур от звонка, висящий над кроватью. Когда обнаружилось, что звонок фальшивый, а кровать прикреплена к полу, у меня сразу зародилось подозре­ние, что шнур служит лишь мостом, соединяющим вентилятор с кроватью. Мне сразу пришла мысль о змее, а зная, как доктор любит окружать себя всевозможными индийскими тварями, я понял, что, пожалуй, напал на верный след. Именно такому хитрому, жестокому злодею, прожившему много лет на Востоке, могло прийти в голову употребить яд, который нельзя обнару­жить химическим путем».

Разделительно-категорическое умозаключение было построено Ш. Холмсом таким образом:

Обитателю комнаты грозила опасность проникновения в комнату или через

дверь, или через окно, или через вентилятор. «В комнату невозможно проникнуть ни через дверь, ни через окно».____ В комнату можно проникнуть через вентилятор.

Отрицающе-утверждающий модус (для случая двучленной раз­делительной посылки) в виде правила вывода в алгебре логики может быть записан следующим образом:

а у Ь, а а v Ь, Ъ a v и, а а v b, Ъ

I , » » » • b а b а

Логический союз «или» здесь можно употреблять в двух смыслах: как строгую дизъюнкцию (v) и нестрогую дизъюнкцию (v), т.е. характер дизъюнкции на необходимость заключения по этому модусу не влияет.

Этому модусу соответствуют четыре формулы, которые явля­ются законами логики:

(1) ((а v b) л а) -> b.

(2) ((а v b) л Ъ) - о.

(3) «а v b) л а) -* b

(4) ((а v b) л Ъ) -» а.

Обязательным условием при выводах по разделительно-катего­рическому умозаключению является соблюдение правила, согласно которому в разделительной посылке должны быть предусмотрены

все возможные альтернативы, т. е. деление должно быть полным. Это правило обязательно для отрицающе-утверждающего модуса. Пример:

Поясар "о¹ ' произойти или в результате небрежного обращения с огнем,

ц_яи в результате поджога, или из-за неисправной электропроводки. Данный пожар не произошел ни в результате небрежного обращения с

пгием, ни из-за неисправной электропроводки.______________

Дани¹ "¹¹¹ пожар произошел в результате поджога.

За^¹⁰⁴⁶ ™^{6 не} достоверное, а вероятностное, так как в первой разделительной посылке перечислены не все возможные причины возникяояс¹¹¹ " пожара (например, в результате взрыва или в результате загорания от молнии и т. д.).

§ 9. Условно-разделительные (лемматические) умозаключения

Условно-разделительное умозаключение — это такое дедуктив­ное умозаключение, в котором одна посылка состоит из двух или большего числа условных суждении, а другая является раздели­тельным суждением. В зависимости от числа членов в раздели­тельной посылке это умозаключение может быть дилеммой (если разделительная посылка содержит два члена), трклеммой (если разделительная посылка содержит три члена) или вообще полилем­мой (число разделительных членов больше двух).

Дилемма'

Дилемма — условно-разделительное умозаключение, в котором одна посылка состоит из двух условных суждений, а другая являете^ разделительным суждением, содержащим две альтернати­вы. Дилемма означает сложный, трудный для человека (или группы людей) выбор из двух нежелательных альтернатив — «из двух зол надо выбирать наименьшее». Иногда говорят: «Альтерна­тивы этому нет», т. е. данному действию не может быть противо­положно!'⁰ действия, иначе это приведет к краху. Дилеммы делятся

Главное внимание в этом § 9 будет уделено дилемме, в том числе на примерах из детской художественной литературы.

на конструктивные и деструктивные. В свою очередь, те и другие подразделяются на простые и сложные.

В простой конструктивной дилемме в первой (условной) посылке утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. Во второй посылке (дизъюнктивном суждении) утверждается, что одно или другое из этих оснований истинно. В заключении утверждается следствие. Пример:

Если я пойду через речку по мосту, меня могут заметить; если

через речку вброд, меня тоже могут заметить. Я могу идти через речку по мосту или вброд. Меня могут заметить.

пойду

Малыми буквами а, Ь, с обозначим простые суждения. Запись a v b обозначает нестрогую дизъюнкцию, запись а -» b — импликацию («если а, то Ь»). Дилемма выражается следующей схемой:

a-*b,c-»b,avc Ь

Соединив посылки знаком конъюнкции («л ») и присоединив к ним посредством знака «-»» заключение, мы получим формулу этого вида дилеммы:

((а -» b) л (с -» b) л (а v с)) -> b.

Она выражает закон логики, т.е. является тождественно-истин­ной формулой.

Сложная конструктивная дилемма отличается от простой только тем, что оба следствия ее первой (условной) посылки различны.

Схема:

a-* ft, с-* a, av с b v d

Формула:

((а - b) л (с

d) л (a v c))-*(bid).

Этот вид дилеммы значительно чаще используют писатели, когда им необходимо подчеркнуть сложность коллизий реальной жизни, неоднозначность морального выбора. В рассказе Джека Лондона «Великая загадка» события происходят на севере Аляски. Вдова миллионера Карен Сейзер приехала, чтобы разыскать свою первую любовь Дэвида Пэйна. После долгих поисков она, наконец, разыскивает Давида Пэйна и умоляет его быть с ней. Перед героем стоит дилемма:

Если он согласится быть с ней (в), то он изменить своей жене —

индеатсе, спасшей ему жизнь (А); если он не ответит на любовь белой женщины (с), то навсегда потеряет свою родину — юг Америки (d).

Но он может согласиться быть с ней (а), или не ответить

на любовь белой женщины (с).______________________

Он изменит своей жене — индеанке, спасшей ему жизнь (Ь), или навсег­да потеряет свою родину — юг Америки (at).

Дэвид Пэйн остается с индеанкой.

Приведем еще пример дилеммы. Базарбай похитил из логова четырех волчат, продал их, а деньги пропил. Во время погони за волчицей Акбарой, утащившей его двухлетнего сына. Бостон рассуждает так:

Если я выстрелю, то могу попасть в сына, а если я сейчас не выстрелю,

то волчица утащит ребенка в свое логово. Я могу сейчас выстрелить или не стрелять.__________________

Я могу попасть в сына, или волчица утащит ребенка в свое логово.

«И вот, наконец, похолодев, точно на дворе стояла стужа, он подбежал к волчице. И согнулся в три погибели, закачался, корчась в немом крике. Акбара была еще жива, а рядом с ней лежал бездыханный, с простреленной грудью малыш» (Ч. Айтма­тов. Плаха).

В простой деструктивной дилемме первая (условная) посылка указывает на то, что из одного и того же основания вытекают два различных следствия. Во второй посылке содержится дизъюнкция отрицаний обоих этих следствий. В заключении отрицается осно­вание. Схема этого вида умозаключения:

q-»6,a-*c,?vc а

Формула может быть записана двумя способами:

((а -• Ь) л (а -» с) л (b-v с)) -» а

ИЛИ

((в -* (Ь л с)) л (* v с)) -* а.

Главный герой романа Т. Драйзера «Американская трагедия» Клайд рассуждал так:

Если я женюсь на Роберте (а), то меня ждет скучное существование (Ь)

и для меня наступит полный крах (с). Я не хочу влачить скучное существование (5) или потерпеть полный крах (с). Я не женюсь на Роберте (а).

Сложная деструктивная


29-04-2015, 02:39