Логика предикатов с одним переменным

Аналогичным образом можно показать, что выражения

() R ((х ), y, ..., u ) и () R (x, y, ..., u )

также равносильны.

Рассмотрим формулу U(, ..., ), которую можно представить в форме

(s x₁ )(s x₂ )...(s x_p ) B(, ..., , x ₁ , ..., x_p ).

B(, ..., , x ₁ , ..., x_p )

представляет собой предикат, определённый на поле M и зависящий от p переменных x ₁ , ..., x_p . Каждое из этих переменных входит в формулу B только через предикаты , ..., . С другой стороны, мы видели, что предикаты (х ) и ((х )) равносильны. Поэтому если в формуле B(, ..., , x ₁ , ..., x_p ) мы заменим x_i на (х _i ), то получим равносильное выражение:

B(, ..., , x ₁ , ..., x_p ) ~ B(, ..., ,(x ₁ ), ..., (x_p )).

Отсюда следует, что

(s x_p ) B(, ..., , x ₁ , ..., x_p ) ~ (s x_p ) B(, ..., , (x ₁ ), ..., (x_p )).

Далее можно заключить, что

(s x_p ) B(, ..., , (x ₁ ), ..., (x_p )) ~

~ B(, ..., , (x ₁ ), ..., (x_{p -1} ), x_p ).

Рассуждая аналогичным образом, мы получим

(s x_{p -1} ) (s x_p ) B(, ..., , x ₁ , ..., x_{p -1} , x_p ) ~

~ B(, ..., , (x ₁ ), ..., (x_{p -2} ), x_{p -1} , x_p )

и, наконец, придём к следующему:

(s x₁ )(s x₂ )...(s x_p ) B(, ..., , x ₁ , ..., x_p ) ~

~ B(, ..., , x ₁ , ..., x_p ).

Правая часть последней равносильности, согласно смыслу символа , представляет не что иное, как формулу

(s x₁ )...(s x_p ) B(, ..., , x ₁ , ..., x_p ),

отнесённую к полю .

Таким образом, мы доказали, что формула U(, ..., ) сохраняет своё значение, если её отнести к полю , и теорема, таким образом, доказана.

С л е д с т в и е. Если формула U, содержащая только предикаты, зависящие от одного переменного, является тождественно истинной для всякого поля, не превышающего элементов, где n – число предикатов в U, то формула U тождественно истинна (т. е. истинна для любого поля). В самом деле допустим, что U не является тождественно истинной формулой. В таком случае её отрицание выполнимо на некотором поле. Так как также удовлетворяет условиям теоремы, то найдётся поле, содержащее не более элементов, на котором формула выполнима. Следовательно, U не может быть истинной на этом поле, что противоречит условию. Итак, предположение, что U не является тождественно истинной, приводит к противоречию, что и требовалось доказать.

§2. Практика по решению проблемы разрешимости формул,

содержащих предикаты от одного переменного

Доказанная (в предыдущем параграфе) теорема позволяет решать проблему разрешимости для формул, содержащих только предикаты, зависящие от одного переменного. Из следствия видно, что для того, чтобы установить, является ли формула U тождественно истинной или нет, достаточно проверить, является ли она тождественно истинной для всякого поля, содержащего не более чем элементов.

Заметим, что достаточно проверить, является ли данная формула U тождественно истинной на поле, состоящем ровно из элементов. Это следует из того, что для формул рассматриваемого типа имеет место следующее: если формула U тождественно истинна на некотором поле, то она тождественно истинна на всякой его части.

Рассмотрим произвольное поле, содержащее ровно элементов: , , ..., . Легко видеть, что всякая формула, имеющая вид:

("x ) B(x ),

отнесённая к данному полю, равносильна формуле

B() & B() & ... & B().

А формула, имеющая вид:

(x ) B(x ),

равносильна формуле

B() B() ... B().

В таком случае произвольная формула U, отнесённая к полю {, ..., }, равносильна формуле , в которой все кванторы заменены операциями логического произведения и логической суммы. Если в U входили только предикаты A ₁ , ..., A_n , зависящие от одного переменного, то представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями A_i (x_j ), 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ . Так как предикаты A_i (x ) совершенно произвольны, то выражения A_i (x_j ) представляют собой совершенно произвольные высказывания. Формулу тогда можно рассматривать как формулу алгебры высказываний, у которой A_i (x_j ) являются элементарными переменными высказываниями. Тогда вопрос о тождественной истинности U на поле , , ..., оказывается эквивалентным вопросу о тождественной истинности , как формулы алгебры высказываний с переменными высказываниями A_i (x_j ).

Заметим, что формула алгебра высказываний по существу не зависит от того, каковы элементы поля {, ..., }, а зависит только от их числа, так как если мы возьмём другое поле {¢, ..., ¢}, то в произойдёт только перемена обозначений переменных высказываний A_i (x_j ) на A_i (x_j ¢). В силу этого мы можем сказать, что если тождественно истинна, как формула алгебры высказываний, то формула U тождественно истинна на любом поле из p элементов, и обратно. С другой стороны, был получен конструктивный способ определять – является произвольная формула алгебры высказываний тождественно истинной или нет. Применяя этот критерий, мы можем установить, будет ли произвольная формула U, содержащая только предикаты от одного переменного, тождественно истинной на любом поле, содержащем p = элементов. В таком случае в силу высказанного выше положения мы можем решить также и вопрос о том, будет формула U тождественно истинной или нет.

Разберём это конкретно на примерах.

П Р И М Е Р 1 : Итак, пусть дана формула U, имеющая вид:

("x )[P (x )( P (x ))],

отнесённая к некоторому полю L. Для того, чтобы установить тождественную истинность этой формулы, нам достаточно проверить, является ли она тождественно истинной на поле, содержащем ровно элементов (см. выше). В данном случае число предикатов (n ) равно 2, т.е. L может быть представлено как { a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ }.

Легко видеть, что формула U равносильна: ("x )[P (x )(Q (x )P (x ))], которая, отнесённая к полю L, равносильна : [P ()(Q ()P ())] [P ()(Q ()P ())] [P ()(Q ()P ())] [P ()(Q () P ())].

Таким образом, представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями P () и Q (), где i =, т.е. её можно рассматривать как формулу алгебры высказываний, у которой P () и Q () являются элементарными переменными высказываниями. Значит, ответив на вопрос о тождественной истинности , мы сможем сказать, является ли формула U тождественно истинной или нет.

является тождественно истинной в алгебре высказываний U также тождественно истинная формула на поле, содержащем элементов. Это оэначает, что U тождественно истинна.

П Р И М Е Р 2 : Доказать, что формула U, отнесённая к некоторому полю L, представленная как

[("х )( Q (x )) P (x )],

является тождественно истинной.

Для этого она должна быть тождественно истинной на поле, содержащем ровно элементов. В данном случае n = 2, т.е. L можно опять определить как { a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ }.

Применяя равносильные преобразования над U, можем заключить её равносильность формуле: ($х )[(Q (x ))P (x )], которая, отнесённая к полю L, равносильна : [(Q ())P ()] [(Q ())P ()] [(Q ())P ()] [(Q ())P ()].

Легко видеть, что , как и в предыдущем примере, представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями P () и Q (), где i =, а поэтому её можно отнести к формулам алгебры высказываний, у которой P () и Q () являются элементарными переменными высказываниями. Является ли формула тождественно истинной?

Формула представляет собой дизъюнкции некоторых формул. Поэтому всякий раз, когда одна из них истинна, сама (по определению дизъюнкции) будет тождественно истинной. Составим таблицу истинности:

P Q Q (Q)P

0 0 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 1 1

1 1 0 1 1

Таким образом, формула (Q)P является выполнимой, следовательно, является тождественно истинной формулой в алгебре высказываний U также тождественно истинная формула на поле, содержащем элементов. Это оэначает, что U тождественно истинна.

ЛИТЕРАТУРА

П. С. Новиков, “Элементы математической логики”, государственное издательство физико-математической литературы, М., 1959