Экзистенциальные суждения

Если перед субъектом суждения вставлен термин «некоторые», то тем самым предполагается, что с предикатом может быть связана какая-то часть множества, играющего роль субъекта. При этом «объем» данной части может быть неопределенным. Возможно, что она является пустым множеством, но тогда в системе анализа рассуждений необходимо предусмотреть возможность распознавания этой ситуации.

В логике термины «все» и «некоторые» играют особую роль. Они называются кванторами, и для них даже введены специальные общепринятые знаки: " (все – от английского слова All) и $ (некоторые, существует – от английского слова Exist). В нашей системе отдельные символы для кванторов не используются. Для терминов обычных суждений предполагается, что на них «навешен» квантор «все» (например, A®B переводится как "Все A есть B"), а для квантора «некоторые» предлагается использовать специальный вид суждений – экзистенциальные суждения (от слова exist – существовать). По смыслу экзистенциальное суждение – это суждение, в котором утверждается или проверяется существование некоторого множества с определенным набором свойств (предикатов). При этом имя этого множества отсутствует в списке литералов структуры, и тогда для его обозначения мы должны использовать новый литерал. А чтобы отличить его от основных (базовых) литералов, будем называть его неопределенным литералом.

По смыслу базовые литералы рассуждения – это обозначения некоторых свойств объектов и их отрицаний (например, "выполняющие обещания" и "не выполняющие обещания"). Когда мы выбираем какое-то множество литералов, то тем самым мы выделяем объекты, обладающие соответствующим набором свойств. Но может оказаться так, что в структуре не допускается существование таких объектов, потому что это противоречит логическим соотношениям структуры. Экзистенциальные суждения вводятся в основном для того, чтобы ответить на вопрос о существовании в структуре объектов с заданными свойствами.

В силлогистике Аристотеля используется всего два типа суждений, которые можно отнести к экзистенциальным. Здесь они называются частными суждениями. Это частноутвердительное суждение "Некоторые A есть B" и частноотрицательное суждение "Некоторые A не есть B". В таких суждениях, выраженных на естественном языке, смысловой акцент переносится на первый термин (A), хотя на самом деле очевидно, что речь в них идет о том, что пересечение множеств, обозначенных терминами A и B (в первом суждении) или A и (во втором суждении), не является пустым множеством. Поэтому суждение "Некоторые A есть B" равносильно суждению "Некоторые B есть A", а суждение "Некоторые A не есть B" – суждению "Некоторые не-B есть A". Данная особенность частных суждений была в свое время отмечена Льюисом Кэрроллом Она легко обосновывается, если проанализировать частные суждения с помощью Жергонновых отношений.

С учетом сказанного частные суждения Аристотелевской силлогистики выражаются в терминах E-структур следующим образом. Введем некоторый новый термин в наше рассуждение (например, W или d). Тогда Аристотелевское суждение "Некоторые A есть B" можно в E-структурах представить как W®(A, B), а суждение "Некоторые A не есть B" – как d®(A,). В терминах алгебры множеств эти суждения соответствуют формулам:

W Í (A Ç B) и d Í (A Ç).

Для сравнения приведем общепринятую формулировку частных суждений в терминах математической логики: 1) $x(A(x)ÙB(x)) и 2) $x(A(x)ÙØB(x)), которые можно выразить содержательно так: 1) «Существует хотя бы один объект x, который одновременно обладает свойствами A и B» и 2) «Существует хотя бы один объект x, который одновременно обладает свойствами A и не-B». Для решения задач моделирования и анализа полисиллогизмов на основе E-структур отпадает необходимость использования кванторов. Такое упрощение позволяет значительно расширить аналитические возможности метода.

Экзистенциальным называется суждение, в котором утверждается в посылках или доказывается в следствиях непустота пересечения двух или более множеств, обозначенных соответствующими базовыми терминами.

Из этого определения становится понятной идея обобщения частных суждений Аристотелевской силлогистики: к таким суждениям относятся суждения, у которых на месте субъекта размещается некоторый новый термин, а число предикатов суждения может быть любым.

Поэтому и методы решения задачи вывода экзистенциальных суждений значительно отличаются от методов вывода общих суждений. К изучению этих методов мы и приступим. Но прежде рассмотрим одну ситуацию, которая может ввести в заблуждение при использовании экзистенциальных суждений в качестве посылок. Ранее мы рассматривали пары контрарных суждений типа A®B и A®, при совмещении которых в рассуждении образуется коллизия парадокса. Попробуем «ослабить» второе суждение, т.е. сформулировать его не как общее, а как частное суждение W®(A,). Наша E-структура в этом случае будет содержать две посылки: A®B и W®(A,).

Если применим к этой E-структуре известные нам методы анализа, то в результате получим коллизию парадокса W®. Из нее следует, что множество «некоторые A» в этой E‑структуре должно быть равно пустому множеству. Та же ситуация будет, если мы преобразуем в частное суждение не второе, а первое суждение. Полученная E-структура

W®(A, B); A®

тоже окажется парадоксальной: при выводе всех следствий мы получим ту же коллизию парадокса W®. Пары таких суждений оказываются логически несовместимыми. В традиционной логике их отличают от контрарных суждений и называют контрадикторными.

Совсем другая ситуация получится, если мы совместим в одном рассуждении два частных суждения «Некоторые A есть B» и «Некоторые A не есть B». Посмотрим, что получится, если мы представим эти суждения в обозначениях E‑структур, т.е. как W®(A, B) и W®(A,). Результат окажется тем же самым: в следствиях появится та же коллизия парадокса W®. Но попробуем рассмотреть конкретные примеры, например, «Некоторые грибы ядовиты» и «Некоторые грибы не ядовиты». Ясно, что эти два суждения в естественном языке вполне совместимы. Почему же тогда при их формализации возникает коллизия парадокса?

Ответ очевиден: в разных предложениях одно и то же словосочетание «некоторые грибы» могут обозначать разные виды грибов, но при формализации эти, возможно, разные виды грибов мы обозначили одним и тем же символом W. Отсюда ясно, что при повторении в разных посылках одинаковых словосочетаний «некоторые X» мы должны обозначать их разными символами. Посмотрим, что получится в этом случае. Пусть даны посылки W1®(A, B); W2®(A,). Построим для них стрелочную диаграмму (рис. 1) и все возможные следствия из этих посылок (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Коллизии парадокса здесь нет, но среди следствий получены два утверждения W1® и W2®. Из этих суждений ясно, что множества W1 и W2 не имеют ни одного общего элемента, т.е. их пересечение равно пустому множеству. Если вернуться к нашим конкретным суждениям, то это означает, что ни один гриб не может быть одновременно ядовитым и неядовитым. Здесь, разумеется, не учитываются такие ситуации, когда вполне съедобные грибы при некоторой невоздержанности в употреблении могут вызвать легкое недомогание, или весьма редкие случаи аллергии на неядовитые грибы, но в данном случае такими частностями можно пренебречь.

Применением экзистенциальных суждений есть парадокса «Лжец». Этот парадокс был открыт древнегреческим философом Эвбулидом (IV век до н. э.). Суть его заключается в следующем. Критянин Эпименид сказал: «Все критяне лжецы». Нужно, используя только логический анализ, определить, солгал ли Эпименид или сказал истину.

Рассмотрим сначала этот парадокс на содержательном уровне. Если он сказал истину, то выходит, что все критяне лжецы, а поскольку Эпименид критянин, то он не мог сказать истину. Предположим теперь, что Эпименид солгал. Тогда получается, что все критяне не лжецы, а раз так, то Эпименид, будучи критянином, не мог солгать. Так что оказывается, что любое предположение приводит к противоречию.

Посмотрим, что получится, если использовать для анализа этого парадокса E‑структуру. Выберем в качестве универсума множество людей. Среди этих людей встречаются критяне (К) и не критяне (), лжецы (Л) и правдивые (). В число этих людей входит также критянин Эпименид (Э) и все остальные люди (). Сформулируем теперь исходные суждения для ситуации, когда Эпименид сказал неправду. В этом случае можно считать Эпименида лжецом, а суждение «Все критяне лжецы», которое он высказал, необходимо заменить на его антитезу «Все критяне не лжецы». Тогда получим:

Э®(К, Л) – Эпименид – критянин и лжец;

К® – Все критяне не лжецы.

Одним из следствий наших исходных посылок оказалось суждение Э®, т.е. коллизия парадокса. Из этого получается, что множество «Эпименид» является пустым множеством, т.е. Эпименид в данной системе посылок не может существовать. Посмотрим теперь, что получится, если мы в качестве антитезы ложному суждению Эпименида возьмем не общее, а частное суждение «Некоторые критяне не лжецы». Как мы уже знаем, это суждение является контрадикцией к суждению «Все критяне лжецы» и при совмещении с ним вызывает коллизию парадокса. Отсюда, если принять, что «Все критяне лжецы» – ложное суждение, то истинным суждением будет его антитеза: «Некоторые критяне не лжецы». Оказывается, что при подстановке именно этого суждения в структуру парадокса не возникает. Чтобы проверить это, построим для этой системы суждений соответствующую E‑структуру.

Э®(К, Л) – Эпименид критянин и лжец;

W®(К,) – Некоторые критяне не лжецы.

Нетрудно убедиться, что коллизии парадокса не появилось. Критянин Эпименид лжец и он включен в состав тех, которые не являются «некоторыми» правдивыми критянами (следствие Э®).

Рассмотрим известный тип силлогизма (в Аристотелевской силлогистике – это модус EAO 4-й фигуры категорического силлогизма), в котором из двух общих суждений можно вывести только частное суждение.

1-я посылка: Ни одно млекопитающее не есть рыба.

2-я посылка: Все рыбы дышат жабрами.

Заключение: Некоторые из тех, кто дышит жабрами, не являются млекопитающими.

Из биологии нам известно, что все дышащие жабрами не относятся к классу млекопитающих. В заключении же говорится только о некоторых из них. Но в данном случае мы не имеем права говорить о всех дышащих жабрами, потому что при логическом выводе мы должны исходить не из наших знаний или заблуждений, а только из того, что нам дано в посылках. А из наших посылок по правилам Аристотелевской силлогистики можно вывести только частное суждение. Посмотрим, что получится, если воспользоваться E-структурами.

Обозначим М – млекопитающие, Р – рыбы, Ж – дышащие жабрами. Тогда посылки можно представить в виде таких формул:

М ® ; Р ® Ж.

Здесь нужно сделать одно пояснение. Суждение типа «Ни одно A не есть B» в традиционной логике означает то же самое, что и суждение типа «Каждое A не есть B» и в алгебре множеств соответствует включению соответствующего множества A в дополнение множества B. Наличие двух отрицаний в одном суждении в данном случае обусловлено не двумя фактическими отрицаниями, а некоторыми нелогичными особенностями синтаксиса русского языка. Например, в английском языке суждение «Ни одно A не есть B» формулируется как «No A is B», т.е. в этом языке в отличие от русского используется только одно отрицание. На диаграммах Эйлера соотношения, выраженные этими суждениями, изображаются в виде пары непересекающихся множеств A и B, из чего следует справедливость включения AÍ.

Рассмотрим простой метод построения экзистенциальных суждений для произвольной E‑структуры. Здесь нужно учесть, что граф E-структуры – это граф частично упорядоченного множества, в котором определяющим отношением является отношение включения множеств. В каждой E-структуре можно выделить наибольший и наименьший элементы – это пустое множество (Æ) и универсум (U); на схемах мы их не показываем – они просто подразумеваются. Кроме подразумеваемых наибольшего и наименьшего элементов в E‑структурах имеются так же минимальные и максимальные элементы – на схемах их присутствие обязательно. Если руководствоваться схемным представлением, то их определение очень просто.

Минимальные элементы E-структуры – это элементы, в которые не входит ни одна дуга. На рисунке 31 мы можем распознать таким образом 3 минимальных элемента (М, Р и ).

Максимальные элементы E-структуры – это элементы, из которых не исходит ни одна дуга. На рисунке 31 мы можем распознать таким образом 3 максимальных элемента (, и Ж).

Чтобы построить в E-структуре множество возможных экзистенциальных (частных) суждений, достаточно вычислить верхние конусы всех минимальных элементов.

Используя для этого граф на рисунке 31, получим

МD = {М, }; РD = {Р, Ж, }; D = {, }.

Тогда экзистенциальные суждения данной структуры формируются в следующей последовательности:

выбирается любой верхний конус (например, {Р, Ж, });

из выбранного на шаге 1 множества литералов формируется некоторое его подмножество (например, {Ж, });

формируется экзистенциальное суждение, в правой части которого содержится выбранное на предыдущем шаге подмножество литералов.

В нашем примере таким экзистенциальным суждением будет, в частности,

W®( Ж, ),

которое при переводе на естественный язык ("Некоторые, дышащие жабрами, не являются млекопитающими") совпадает с заключением, полученным по правилам Аристотелевой силлогистики.

Верхние конусы минимальных элементов называются максимальными верхними конусами данной E-структуры. Максимальными они являются потому, что верхний конус любого элемента, не являющегося минимальным, обязательно является подмножеством какого-либо максимального верхнего конуса.

Рассмотренный метод построения экзистенциальных суждений с помощью максимальных верхних конусов, позволяет вывести все правильные силлогизмы, содержащие в качестве заключений частные суждения, а также построить такие частные заключения, которые не предусмотрены в силлогистике Аристотеля. Эти частные суждения обладают тем свойством, что они при добавлении в структуру не вызывают коллизий не только в исходной структуре, но и в структуре, которая получается из исходной за счет добавления в нее новых суждений или терминов. При этом, разумеется, должно выполняться условие: при расширении структура должна оставаться корректной. Поэтому частные суждения, полученные этим методом (с помощью максимальных верхних конусов), мы будем называть безусловными экзистенциальными суждениями (в прежних работах на эту тему такие суждения назывались Аристотелевыми частными суждениями).

Свойство безусловных экзистенциальных суждений сохранять свою корректность при любом корректном расширении структуры обусловлено следующей закономерностью: при любом корректном расширении исходной структуры верхние конусы всех элементов исходной структуры являются подмножествами верхних конусов тех же элементов в расширенной структуре.

Эта закономерность может быть строго доказана, но здесь мы это доказательство не будем рассматривать.

Но, оказывается, имеется другой метод построения корректных экзистенциальных суждений и соответственно другой класс экзистенциальных суждений. Предположим, что мы выбираем литералы для правой части экзистенциального суждения, но при этом потребуем выполнения только одного условия: это суждение в данной структуре должно быть корректным. Тогда появляется возможность построить такие корректные экзистенциальные суждения, у которых в правой части множество литералов не является подмножеством литералов какого-либо максимального верхнего конуса структуры. Чтобы такой выбор не производился вслепую, можно воспользоваться следующей теоремой. Предположим, что в структуре выбрано некоторое множество литералов M = {L1, L2, ... Lk}, при этом условие, что M включено в один из максимальных верхних конусов структуры, не обязательно. Тогда справедлива следующая теорема.

Список литературы

1. Кэрролл Л. История с узелками. - М.: Мир, 1973.

2. Кулик Б.А. Моделирование рассуждений на основе законов алгебры множеств // Труды V национальной конференции по искусственному интеллекту. Казань, 7-12 октября 2006 г. Т.1. С. 58-61.

3. Кулик Б.А. Основные принципы философии здравого смысла (познавательный аспект) // Новости искусственного интеллекта, 2006, No 3, с. 7-92.