Говорячи інакше, ентелехія – це “програма” зміни. Якщо для тіл, створюваних мистецтвом, ціль і “програма” лежать поза змінюваною річчю і вносяться в неї майстром, то в природних речах вони присутні в ній у тій мірі, у якій річ має в собі “початок руху”, тобто здатна до саморуху.

5 Система філософії математики Аристотеля

К.Маркс назвав Аристотеля "найбільшим філософом стародавності". Основні питання філософії, логіки, психології, природознавства, техніки, політики, етики й естетики, поставлені в науці Древньої Греції, одержали в Аристотеля повне і всебічне освітлення. У математиці він, очевидно, не проводив конкретних досліджень, проте найважливіші сторони математичного пізнання були піддані ним глибокому філософському аналізу, що послужило методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків.

До часів Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель порушив питання про необхідність впорядкування самого знання, про засоби засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основних поділи: "освіченість" і "наукове знання справи". Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладу методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу в якості ілюстрацій загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, який був його ідеал побудови системи математичних знань.

Вихідним етапом пізнавальної діяльності, відповідно до Аристотеля, є навчання, що "засноване на (деякому) вже раніше наявному знанні... Як математичні науки, так і кожне з інших мистецтв набувається (саме) таким способом". Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати "усі ті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі" і обміркувати виниклі при цьому утруднення. Аналіз варто проводити з метою з'ясовування чотирьох питань: "що (річ) є, чому (вона) є, чи є (вона) і що (вона) є".

Основним принципом, що визначає всю структуру "наукового знання справи", є принцип зведення усього до початків і відтворення усього з початків. Універсальним процесом виробництва знань із початків, відповідно до Аристотелеві, виступає доказ. "Доказом же я називаю силогізм, – пише він, – який дає знання". Викладу теорії доказового знання цілком присвячений "Органон" Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати розділи, кожний із який розкриває одну з трьох основних сторін математики як науки, що доказує: "те, щодо чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться". Таким чином, Аристотель диференційовано підходив до об'єкта, предмету і засобам доказу.

Існування математичних об'єктів признавалося задовго до Аристотеля, проте піфагорійці, наприклад, припускали, що вони знаходяться в почуттєвих речах, платоніки ж, навпаки, вважали їх існуючими окремо. Відповідно до Аристотеля:

1. У почуттєвих речах математичні об'єкти не існують, тому що "знаходитися в тому ж самому місці два тіла не в змозі";

2. "Неможливо і те, щоб такі реальності існували окремо".

Аристотель вважав предметом математики "кількісну визначеність і безперервність". У його трактуванні "кількістю називається те, що може бути розділене на складові частини, кожна з яких являється чимось одним, даним у наявності. Та або інша кількість є множина, якщо її можна рахувати, це розмір, якщо його можна виміряти". Множиною при цьому називається те, "що в можливості (потенційно) ділиться на частини не безупинні, величиною те, що ділиться на частині безупинні". Перед тим, як дати визначення безперервності, Аристотель розглядає поняття безкінечного, тому що "воно ставиться до категорії кількості" і виявляється насамперед у безупинному. "Що безкінечне існує, впевненість у цьому виникає в дослідників із п'ятьох основ: із часу (тому що воно нескінченно); із поділу розмірів…; далі, тільки в такий спосіб не вичерпуються виникнення і знищення, якщо буде безкінечне, відкіля береться виникаюче. Далі, із того, що кінцеве завжди граничить із чим-небудь, тому що необхідно, щоб одне завжди граничило з іншим. Але більше усього -...на тій підставі, що мислення не зупиняється: і число здається безкінечним, і математичні розміри". Чи існує безкінечне як окрема сутність або воно є акциденцією розміру або множини? Аристотель приймає другий варіант, тому що "якщо безкінечне не є ні розмір, ні множина, а саме є сутністю..., то воно буде неподільне, тому що ділене буде або розміром, або множиною. Якщо ж воно не неподільне, воно не нескінченно в змісті непрохідного до кінця". Неможливість математичного безкінечного як неподільного випливає з того, що математичний об'єкт - відволікання від фізичного тіла, а "актуально неподільне безкінечне тіло не існує". Число "як щось окреме й у той же час безкінечне" не існує, адже "...якщо можливо перерахувати численне, то буде можливість пройти до кінця і безкінечне". Таким чином, безкраїсть тут у потенції існує, актуально ж – немає.

Спираючись на викладене вище розуміння безкінечного, Аристотель визначає безперервність і переривчастість. Так, "безупинне є саме по собі щось суміжне. Суміжне є те, що, наслідуючи за іншим, стосується його". Число як типово перериване (дискретне) утворення формується з'єднанням дискретних, далі неподільних елементів – одиниць. Геометричним аналогом одиниці є точка; при цьому з'єднання точок не може утворити лінію, тому що "точкам, із яких було б складене безупинне, необхідно або бути безупинними, або торкатись один одного". Але безупинними вони не будуть: "адже краю точок не утворюють чого-небудь єдиного, тому що в неподільного немає ні краю, ні іншої частини". Точки не можуть і торкатись одна одної, оскільки торкаються "всі предмети або як ціле цілого, або своїми частинами, або як ціле частини. Але тому що неподільне не має частин, їм необхідно торкатись цілком, але те що торкається цілком не утворить безупинного".

Неможливість упорядкування безупинного з неподільних і необхідність його розподілу на завжди подільні частини, установлені для розміру, Аристотель поширює на рух, простір і час, обґрунтовуючи (наприклад, у "Фізиці") правомірність цього кроку. З іншого боку, він дійде висновку, що визнання неподільних розмірів суперечить основним властивостям руху. Виділення безупинного і перериваного як різних родів буття послужило основою для розмежування в логіко-гносеологічній області, для різкого відмежування арифметики від геометрії.

"Початками... у кожному роді я називаю те, відносно чого не може бути доведено, що воно є. Отже, те, що позначає первинне і з нього що випливає, приймається. Існування початків необхідно прийняти, інше - варто довести. Наприклад, що таке одиниця або що таке пряма або що таке трикутник (варто прийняти); що одиниця і розмір існує, також варто прийняти, інше - довести". У питанні про появу в людей спроможності пізнання початків Аристотель не погоджується з точкою зору Платона про уродженість таких спроможностей, але і не припускає можливості придбання їх; тут він пропонує таке рішення: "необхідно володіти деякою можливістю, проте не такою, що перевершувала б ці спроможності у відношенні точності". Але така можливість, очевидно, властива всім живим істотам; справді, вони мають природжену спроможність розбиратися, що називається почуттєвим сприйняттям. Формування початків йде "від попереднього і більш відомого для нас", тобто від того, що ближче до почуттєвого сприйняття до "попереднього і більш відомого безумовно" (таким є загальне). Аристотель дає розгорнуту класифікацію початків, виходячи з різних ознак.

По-перше, він виділяє "початки, з котрих (що-небудь) доводиться, і такі, про котрі (доводиться)". Перші "суть загальні (всім початки)", другі – "властиві (лише даній науці), наприклад, число, розмір". У системі початків загальні займають головне місце, але їх недостатньо, тому що "серед загальних початків не може бути таких, із яких можна було б довести усе". Цим і пояснюється, що серед початків повинні бути "одні властиві кожній науці окремо, інші – загальні всім". По-друге, початки діляться на дві групи в залежності від того, що вони розкривають: існування об'єкта або наявність у нього деяких властивостей. По-третє, комплекс початків науки, що доказує, ділиться на аксіоми, припущення, постулати, вихідні визначення.

Вибір початків в Аристотеля виступає визначальним моментом побудови науки, що доказує; саме початки характеризують науку як дану, виділяють її з ряду інших наук. "Те, що доводиться", можна трактувати дуже широко. З одного боку, це елементарний силогізм, що доказує, і його висновки. З цих елементарних процесів будується будинок науки, що доказує, у виді окремо взятої теорії. З них же створюється і наука як система теорій. Проте не всякий набір доказів утворить теорію. Для цього він повинний задовольняти визначеним вимогам, що охоплюють як утримання доказуваних пропозицій, так і зв'язку між ними. У межах же наукової теорії необхідно має місце ряд допоміжних визначень, що не є первинними, але служать для розкриття предмета теорії.

Хоча питання методології математичного пізнання і не були викладені Аристотелем у якійсь окремій роботі, але по утриманню в сукупності вони утворять повну систему. У основі філософії математики Аристотеля лежить розуміння математичних знань як відбитка об'єктивного світу. Ця установка зіграла важливу роль у боротьбі Аристотеля з платоновим ідеалізмом; адже "якщо в явищах почуттєвого світу не знаходиться зовсім математичне, то яким чином можливо, що до них додаються його властивості?" - писав він. Зрозуміло, матеріалізм Аристотеля був непослідовним, у цілому його погляди в більшому ступені відповідали потребам математичного пізнання, ніж погляди Платона. У свою чергу математика була для Аристотеля одним із джерел формування ряду поділів його філософської системи.

Список використаної літератур и

1. А.Ф.Лосев, А.А.Тахо-Годи «Платон. Аристотель». Серия ЖЗЛ. М.: «Молодая гвардия», 1993

2. Князєв В.М. Філософія. – К.: МАУП,1997.

3. Луканин Р.К. «Органон» Аристотеля /Отв. ред. В.В. Соколов. – М.: Наука, 1984.

4. Сократ. Платон. Аристотель. Ю.М. Шопенгауер: Биографические повествования. – Урал, 1995. – (Жизнь замечательных людей. Биографическая библиотека Ф. Павленкова).

5. Спиркин А.Г. Основы философии. Учебное пособие. –М.: Политиздат, 1988.

6. Татаркевич В. Історія філософії. – Львів: Свічадо. 1997.

7. Туган – Барановский М.И. К лучшему будущему. – М.: РОССПЗН, 1996. – (Научная философия).

8. Філософія : Навч. посібник / І.Ф.Надольний, В.П.Андрущенко, І.В.Бойченко, В.П.Розумний та ін.; За ред. І.Ф.Надольного. – К.: Вікар, 1997.

9. Філософія. Курс лекцій: Навч. посібник / Бичко І.В., Табачковський В.Г., Горак Г.І. та ін. – 2-е вид. – К.: Либідь, 1994.