До Пуанкаре полагалось, что все динамические системы являются интегрируемыми. Однако в 1889 г. Пуанкаре показал, что в общем случае невозможно получит каноническое преобразование, сохраняющее вид гамильтоновых уравнений, которое приводило бы к циклическим переменным. Например, система двух тел (Земля – Солнце) интегрируема, а вот система трёх тел (Земля – Солнце – Юпитер) неинтегрируема. Короче говоря, подавляющее большинство динамических систем неинтегрируемы.
Данная работа не посвящена анализу математических методов, которыми Пуанкаре доказывал свою теорему. Отметим только, что он сформулировал свой вопрос в терминах теории возмущений, то есть пытался для гамильтониана вида
H(J, a ) = H0 (J)+ l V(J, a )
определить новые переменные действия J' вида J' = J + l J1 + l 2 J2 + ... , аналитически переходящие в исходные при стремлении константы связи l (параметра, определяющего интенсивность взаимодействия) к нулю. Если такая замена возможна, то мы можем исключить потенциальную энергию возмущённой системы и ввести новый гамильтониан, зависящий только от J' . Интегрирование возмущённой системы было бы в этом случае столь ж простым, так как новые переменные действия были бы постоянными движения. Однако Пуанкаре показал, что такая замена возможна далеко не всегда.
Предположим, что Пуанкаре удалось бы доказать интегрируемость всех динамических систем. Это означало бы, что все динамические движения изоморфны движению свободных (не взаимодействующих) частиц. Разумеется, такая модель не оставляет никакого места для возможности макропроцессов, которые мы наблюдаем ежеминутно. В интегрируемом мире не нашлось бы места ни для самоорганизации, ни для когерентности (в случае, например, диссипативного хаоса).
Пуанкаре не только доказал неинтегрируемость, но и указал на её причину, а именно – на существование резонансов между степенями свободы системы. Именно резонансы сильно связывают степени свободы и не дают возможность исключить взаимодействие. В качестве примера рассмотрим систему с двумя степенями свободы, гамильтониан которой имеет вид
H = H0 (J1 ,J2 )+ l V(J1 ,J2 , a 1 , a 2 ),
представимый в виде суммы невозмущённого интегрируемого гамильтониана и малого возмущения l V . Как показал Пуанкаре, теория возмущений неизбежно приводит к появлению членов с "оласными" знаменателями вида 1/(n1 w 1 +n2 w 2 ) . Если частоты соизмеримы и существуют резонансы, то члены ряда теории возмущений расходятся, и им приходится приписывать значение, равное бесконечности. Но это означает, что в физике описания что-то "не так"!
Проблема малых знаменателей была известна ещё астрономам в XIX в. Теорема Пуанкаре показала, что основная трудность – появление расходимостей в решении задач динамики – не может быть устранена и делает невозможным введение циклических переменных для большинства динамических проблем, начиная с проблемы трёх тел.
Открытие неинтегрируемости вызвало определённый пессимизм и недоумение в рядах многих физиков. Макс Борн, например, заметил: "Было бы весьма странно, если бы Природа укрылась от дальнейшего прогресса познания за аналитическими трудностями проблемы многих тел". Только с появлением работ Колмогорова, продолженных Арнольдом и Мозером (так называемой теории КАМ), проблему неинтегрируемости перестали оценивать как сопротивление Природы прогрессу знания, а начали рассматривать как новый отправной пункт дальнейшего развития динамики.
Теория КАМ рассматривает влияние резонансов на траектории. Простой случай гармонического осциллятора с постоянной частотой, не зависящей от переменных действия J, является исключением: частоты, вообще говоря, зависят от значений, принимаемых переменными действия. А посему в одних точках фазового пространства динамической системы резонанс может существовать, а в других – нет. Резонансы соответствуют рациональным соотношениям между частотами, классический же результат теории чисел говорит, что мера рациональных чисел по сравнению с мерой иррациональных равна нулю. Это означает, что резонансы встречаются крайне редко. Кроме того, в отсутствие возмущений, как было сказано выше, резонансы приводят к периодическому движению, а в общем случае мы имеем квазипериодическое движение (нерезонансные торы). Резюмируя, можно сказать, что периодические движения – не правило, а исключение.
(Интересно было бы предположить, какими путями развивалась бы эволюция жизни на Земле, если бы движение Земли вокруг Солнца не носило периодического характера. Возможна ли, например, жизнь в условиях планетной системы двойной звезды? Автор реферата полагает, что если "крайние" условия, в которые попадала бы такая планета, не были слишком уж жёсткими, то жизнь нашла бы возможность приспособиться и эволюция была бы всё-таки возможна. Однако все эти рассуждения основаны лишь на оптимизме автора и его вере в глубокую приспособляемость всего живого к внешним условиям, и имеют крайне мало отношения к объявленной в заглавии теме работы).
При введении возмущений характер движения на резонансных торах резко изменяется (по теореме Пуанкаре), в то время как квазипериодическое движение изменяется незначительно, по крайней мере, при малом параметре возмущения l . Основной результат теории КАМ состоит в том, что теперь мы имеем два совершенно различных типа траекторий: слегка изменившиеся квазипериодические траектории и стохастические траектории, возникшие при разрушении резонансных торов. Появление стохастических траекторий подтверждается численными экспериментами [1, c.127].
Теория КАМ не приводит к динамической теории хаоса. Её главный вклад в другом: она показала, что при малых значениях параметра l мы имеем промежуточный режим, в котором сосуществуют траектории двух типов – регулярные и стохастические. В дальнейшем нас будет в основном интересовать то, что происходит в предельном случае, когда снова останется только один тип траекторий. Эта ситуация соответствует так называемым большим системам Пуанкаре (БСП) , к рассмотрению которых мы и переходим.
При рассмотрении предложенной Пуанкаре классификации динамических систем на интегрируемые и неинтегрируемы мы отметили, что резонансы встречаются редко. При переходе к БСП ситуация радикально изменяется: в БСП резонансы играют главную роль.
Рассмотрим в качестве примера взаимодействие между какой-нибудь частицей и полем. Поле можно рассматривать как суперпозицию осцилляторов с континуумом частот. В отличие от поля, частица совершает колебания с одной фиксированной частотой w 1 . Перед нами – пример неинтегрируемой системы Пуанкаре. Резонансы будут возникать всякий раз, когда w 1 = w k . Испускание излучения обусловлено именно такими резонансными взаимодействиями между заряженной частицей и полем. Испускание излучения представляет собой необратимый процесс, связанный с резонансами Пуанкаре.
Новая особенность состоит в том, что частота w k есть непрерывная функция индекса k , соответствующая длинам волн осциллятора поля. Такова специфическая особенность больших систем Пуанкаре, то есть хаотических систем, у которых нет регулярных траекторий, сосуществующих с хаотическими траекториями. БСП соответствуют в действительности большинству физических ситуаций, с которыми мы сталкиваемся в природе. Но БСП позволяют также исключить расходимости Пуанкаре, то есть устранить основное препятствие на пути к интегрированию уравнений движения. Этот результат, заметно приумножающий мощь динамического описания, разрушает отождествление ньютоновской или гамильтоновой механики и обратимого по времени детерминизма в духе Лапласа. Уравнения для больших систем Пуанкаре в общем случае приводят к принципиально вероятностной эволюции с нарушенной симметрией во времени. Более подробно вопросы необратимости времени рассмотрим в следующем разделе.
1.3 Статистическое описание. Диссипативный хаос
Можно описывать мир в терминах траекторий (в классической физике) или волновых функций (в квантовой механике). Почти сто лет назад Гиббс и Эйнштейн ввели ещё один тип описания – статистическое описание в терминах ансамблей. Описание отдельной динамической системы заменяется описанием ансамбля систем, которые все соответствуют одному и тому же гамильтониану и различаются только начальными условиями эволюции. Для введения ансамблевой точки зрения были две основные причины. Во-первых, описание в терминах ансамбля позволило удобно вычислять средние значения. Во-вторых, понятие ансамбля стало необходимым для описания системы, достигшей термодинамического равновесия. Оказалось, что термодинамические свойства можно понять только в терминах ансамблей, но отнюдь не в терминах отдельных траекторий или волновых функций. Ансамблевый подход применим ко всем динамическим системам, интегрируемым и неинтегрируемым, устойчивым и неустойчивым.
Основной величиной в ансамблевом подходе становится распределение вероятностей. Однако ничто не мешает вернуться как к предельному случаю. Подход Гиббса–Эйнштейна – альтернативный, но эквивалентный способ представления законов физики, он является сводимым статистическим описанием.
Концепцию несводимых статистических описаний, развиваемую школой И.Пригожина, мы подробнее рассмотрим в третьем разделе. Пока что вкратце обратимся к классическому диссипативному хаосу, для которого статистическое описание является единственно возможным подходом. Введём также некоторые понятия, необходимые для дальнейших рассуждений о статистическом описании. (Подробнее – см. [4]).
Как и прежде, каждому состоянию системы соответствует точка в фазовом пространстве. Но в теории ансамблей Гиббса система как целое представима лишь "облаком" точек в фазовом пространстве. Это "облако" описывается непрерывным распределением плотности вероятности r (q1 ,...,qs ,p1 ,...,ps ) в фазовом пространстве. Каждая точка фазового пространства движется во времени по своей динамической траектории, которые никогда не пересекаются. Две первоначально различные точки навсегда остаются различными. Это фундаментальное свойство приводит к теореме Лиувилля, которая уже упоминалась при описании преобразования пекаря. Эта теорема утверждает, что плотность r ведёт себя как несжимаемая жидкость: для любой динамической системы объём области, занятой представляющими точками в фазовом пространстве, сохраняется в ходе эволюции. Однако теорема Лиувилля отнюдь не исключает изменения формы области, занятой представляющими точками.
Вернёмся к хаосу. Примеры хаотически ведущих себя динамических систем, описанные выше, относительно новы и, как уже упоминалось, не всегда "физичны". Термодинамика же и статистическая физика примерно на сто лет раньше столкнулись с проблемой хаотического поведения систем.
За примерами далеко ходить не следует – окружающая нас атмосфера ведёт себя вполне хаотически, предсказание прогноза погоды на сколько-нибудь большой срок – задача огромной сложности (хотя в принципе и небезнадёжная).
Однако даже в атмосфере встречаются относительно устойчивые образования и на некотором уровне описанияповедение атмосферы не совсем хаотично. Другим примером того, что (термодинамический) хаос и беспорядок – в физике не синонимы, являются широко известные ячейки Бенара (настолько известные, что автор почему-то совершенно не желает в очередной раз давать описание этого явления – см., например, [1, с.68]). И ячейки Бенара, и атмосферные вихри, и многие другие подобные явления относятся к так называемым диссипативным структурам – структурам, существование которых напрямую обусловлено наличием в системе процессов диссипации энергии и производства энтропии.
Таким образом, простое и сложное, детерминированное и хаотическое поведение сосуществуют в современной физике рядом. Закончим этот очень краткий обзор словами И.Пригожина [1, с.59]: "...хотелось бы подчеркнуть замечательный дуализм, который мы обнаруживаем в природе, – сосуществование равновесных ситуаций типа излучения абсолютно чёрного тела и высокоорганизованных объектов, одним из наиболее замечательных среди которых, по-видимому, является человеческий мозг с его 1011 связанных между собой нейронами. Порядок и беспорядок не могут быть поняты в терминах Больцмана: порядок как менее вероятное состояние, беспорядок как более вероятное состояние. И порядок, и беспорядок являются неотъемлемыми составными частями и продуктами коррелированных эволюционных процессов".
2. НЕОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ
Меж тем вот палец твой, он на пульсе. А вот часы,
Они идут, и довольно быстро – я проверял...
М.Щербаков, "Фармацевт"
2.1 Обратимость времени в классической и квантовой механике
Центральная тема размышлений И.Пригожина и направление размышлений "брюссельской школы" состоит в решении дилеммы: отрицание – неотрицание стрелы времени. Выражение "стрела времени" было введено в 1928 г. Эддингтоном в его книге "Природа физического мира". В этой книге Эддингтон предсказывал конец господства в физике "первичных" (детерминистических) законов и наступление эры "вторичных" (статистических) законов, описывающих необратимые процессы.
В том виде, в каком время входит в фундаментальные законы физики от классической динамики до теории относительности и квантовой физики, время не содержит в себе различия между прошлым и будущим. Для многих физиков это уже почти вопрос веры: до тех пор и поскольку речь идёт о фундаментальном уровне описания, "стрелы времени" не существует.
Но на макроуровне, в мире объектов, с которыми мы имеем дело ежедневно, на уровне живых организмов необратимость времени сомнений ни у кого не вызывает. Процессы старения, распада, рассеяния энергии неизбежны. Как сказано в пародии на известную песню, "фарш невозможно провернуть назад". Стрела времени на самом деле присутствует и во всех физических теориях, описывающих реальный мир. Но присутствует она там не в виде членов в уравнениях, а в виде примечаний и комментариев к этим уравнениям, представляя собой высказывания типа: "...Из этих двух решений мы должны выбрать первое, поскольку оно соответствует прямому направлению хода времени" или "...В формуле (...) первый член отвечает за прямое, а второй – за обратное рассеяние, в реальности не наблюдающееся, поэтому мы будем рассматривать только решения вида (...)".
В более явном виде стрела времени появляется в термодинамике, в различных формулировках её второго начала и в H-теореме Больцмана. Удивительным оказывается то, что при попытке анализировать такие процессы, как диффузия или вязкость – вполне макроскопически необратимые – физика успешно их описывает с помощью обратимых во времени микропроцессов.
В основе классической механики (исторически, даже если и не логически) лежит закон Ньютона. Он обратим во времени и детерминистичен. Закон Ньютона можно рассматривать как прототип некоего Универсального Закона Природы.
Понятие закона природы заслуживает некоторого отступления. Мы настолько привыкли к нему, что оно воспринимается как нечто само собой разумеющееся. Однако в других взглядах на мир (не всегда вполне научных – с нынешней точки зрения) такая концепция "закона природы" отсутствует. По Аристотелю, живые существа не подчиняются никаким законам, их деятельность обусловлена их собственными внутренними причинами. Каждое существо стремится к достижению своей собственной истины. В Китае господствовали взгляды о спонтанной гармонии космоса, своего рода статистическом равновесии, связывающем воедино природу, общество и небеса. Примеры можно множить и множить...
Идея о том, что в мире могут действовать законы, вызрела в недрах западной мысли. Отчасти она восходит к стоикам, несмотря на ту роль, которую они отводили року. Немаловажную роль, вероятно, сыграли и иудеохристианские представления о Боге как абсолютном Вседержителе, устанавливающем законы для всего сущего. Так или иначе, открытие неизменяющихся детерминистических законов как бы сближало человеческое знание с божественной, вневременной точкой зрения.
Намеченная программа оказалась необычайно успешной. Однако на протяжении всей истории западной мысли неоднократно возникал один и тот же вопрос: как следует понимать новое, играющее центральную роль, в мире, управляемом детерминистическими законами?
Впервые этот вопрос возник задолго до рождения современной науки. Ещё Платон связывал разум и истину с доступом к "бытию", неизменной реальностью, стоящей за "становлением". Становление, поток воспринимаемых нами явлений, относится к сфере "чистого мнения". Однако Платон сознавал парадоксальность такой позиции, поскольку она принижала жизнь и мысль, которые представали как неотделимые от процесса становления. В "Софисте" Платон приходит к заключению, что нам необходимы и бытие, и становление.
С той же трудностью столкнулись и атомисты. Чтобы допустить возникновение нового, Лукрецию пришлось ввести "клинамен", возмущающий детерминистическое падение атомов в пустоте. Обращение к клинамену часто подвергалось критике как введение чужеродного элемента в схему атомистического описания. Но и через два тысячелетия мы встречаем аналогичное утверждение в работе Эйнштейна, посвящённой самопроизвольному испусканию света возбуждённым атомом, где говорится, что "время и направление элементарных процессов определены случайным образом" [6, с.386]
И клинамен, и спонтанное испускание света относятся к событиям, соответствующим вероятностному описанию. События и вероятности требуются и для эволюционного описания, будь то дарвиновская теория эволюции или история человечества. Встаёт вопрос: можно ли пойти дальше, чем Лукреций и Эйнштейн, "добавившие" события к детерминистическим законам? Можно ли видоизменить само понятие физических законов так, чтобы включить в фундаментальное описание природы необратимость, события и стрелу времени?
Для ответа на этот вопрос обратимся сначала к той области физики, которая имеет дело с "наиболее необратимыми" из встречающихся в повседневной жизни системами – а именно, к термодинамике и статистической физике.
2.2 Роль необратимости в статистической механике. Потоки корреляций
Теория ансамблей Гиббса и Эйнштейна предназначалась главным образом для достижения лучшего понимания равновесной термодинамики в терминах равновесных ансамблей. Коль скоро равновесное распределение задано, мы можем вычислить все термодинамические свойства: давление, удельную теплоёмкость и т.д. Мы можем даже выйти за рамки микроскопической термодинамики, поскольку ничто не мешает нам вычислять флуктуации равновесных величин. По общему мнению, в обширной области равновесной "статистической" термодинамики не осталось каких-либо концептуальных трудностей, вычислительные же легко снимаются численным моделированием. Таким образом, применение теории ансамблей к равновесным распределениям оказалось весьма успешным.
Но термодинамические величины, "соответствующие" необратимому характеру времени – такие, как энтропия – обладают фундаментально важными свойствами и вне равновесия. Встаёт вопрос: как можно понять в терминах теории ансамблей приближение к равновесию?
При описании равновесного состояния основной величиной является распределение скоростей f(v,t) . Микроскопическим аналогом энтропии Больцман объявил знаменитую H- функцию:
Больцман показал, что для разрежённых газов распределение скоростей эволюционирует до тех пор, пока не достигает равновесного распределения скоростей Максвелла-Больцмана, при этом H(t) монотонно убывает.
Компьютерное моделирование и численные эксперименты подтверждают утверждение Больцмана [1, с.167], то есть наличие необратимых процессов на микроскопическом уровне. Однако такая проверка не может нас полностью удовлетворить: всегда можно списать появляющуюся необратимость на счёт неточности вычислений (аналогично потере информации при сдвиге Бернулли, рассмотренном выше).
Теорема Больцмана подвергалась критике (в частности, со стороны Лошмидта) на том основании, что она противоречит обратимым во времени законам динамики. Лошмидт выдвинул возражение, основанное на том, что обращение
29-04-2015, 01:58