И вот, прежде всего надо определить, в скольких значениях говорится о бесконечном. В одном значении - это то, что не может быть пройдено вследствие невозможности по природе сделать это, подобно тому как нельзя видеть голоса; в другом же [значении] - то, прохождение чего не может быть завершено - потому ли, что это едва ли выполнимо, или потому, что, будучи по природе проходимым, оно не имеет конца прохождения или предела. Затем все бесконечное [может быть таковым] или в допущении прибавления, или в отношении деления, или в обоих [отношениях].
Далее, как возможно бесконечному быть чем-то, что существует само по себе, если не существуют сама по себе число и величина, которым бесконечное присуще как некое состояние? Ведь ему меньше необходимости существовать самому по себе, чем числу или величине. Следовательно, оно не имеет частей и неделимо. Однако невозможно бесконечному существовать в действительности, ведь в этом случае ему необходимо быть неким количеством. Бесконечное, следовательно, существует как свойство.
А что много невозможного получается, если вообще отрицать существование бесконечного, - [это тоже] очевидно. Тогда и для времени будет какое-то начало и конец, и величины не [смогут быть] делимы на величины, и численный ряд не будет бесконечным. Когда при таком положении дела начинает казаться, что ни одно [из решений] неприемлемо, возникает нужда в третейском судье, и [в конце концов] становится очевидным, что в каком-то смысле [бесконечное] существует, а в другом же нет.
В самом деле, о бытии можно говорить либо в возможности, либо в действительности, а бесконечное получается либо прибавлением, либо отнятием. Что величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть [беспредельно] делимой (так как нетрудно опровергнуть [учение] о неделимых линиях); остается, таким образом, бесконечное в возможности.
Бесконечное путем прибавления в некотором смысле есть то же самое, что и [бесконечное] путем деления, а именно: путем прибавления с конечной величиной происходит обратное: в какой мере она при делении очевидным образом идет к бесконечности, в такой же при прибавлении она будет казаться идущей к определенной [величине]. Если, взявши от конечной величины определенную часть, прибавлять [к ней дальнейшие части, находящиеся друг к другу] в одинаковом отношении, но [только] не прибавлять повторно ту же самую часть целого, то [исходную] конечную величину нельзя будет пройти [до конца]; если же настолько увеличить отношение, чтобы прибавлять все время одну и ту же величину, то пройти можно, так как всякую конечную величину [всегда] можно исчерпать любой определенной величиной. Иным образом бесконечного нет; оно существует лишь так - в возможности и при уменьшении. И бесконечное путем прибавления, которое мы назвали в некотором смысле тождественным бесконечному путем деления, существует в возможности таким же образом, так как вне его всегда можно что-нибудь взять. Однако оно не превзойдет любой определенной величины, как превосходит бесконечное путем деления всякую определенную величину, меньше которой оно всегда [в конце концов] будет. Таким образом, превзойти всякую величину путем прибавления нельзя даже в возможности, если только не существует бесконечного в действительности в смысле свойства [какого-то тела].
Надо признать основательным, что бесконечное путем прибавления не представляется таким, чтобы оно превосходило всякую величину, а бесконечное при делении именно таково. Ибо поскольку нечто может существовать в возможности, постольку оно допустимо и в действительности. Таким образом, так как ни одна чувственно-воспринимаемая величина не бесконечна, нет возможности превзойти любую определенную величину.
Вообще же очевидно, что невозможно говорить о существовании бесконечного тела и одновременно об определенном месте для тел, если всякое чувственно-воспринимаемое тело имеет или тяжесть, или легкость, и если оно тяжелое, то по природе перемещается к центру, если же легкое - вверх: необходимо ведь, чтобы [то же было] и с бесконечным, но ему всему невозможно испытывать какое-либо из этих двух [перемещений], а его половинкам и то и другое, ибо как его разделишь? Далее, всякое чувственно-воспринимаемое тело находится в [каком-нибудь] месте, виды же и различия места - вверху и внизу, спереди и сзади, справа и слева определены и в самом целом. В бесконечном же [теле] такие различия невозможны. А вообще, если невозможно существование бесконечного места, а всякое тело находится в каком-то месте, то невозможно и существование какого-либо бесконечного тела. Следовательно, если никакое количество не может быть бесконечным, так как количество есть нечто определенное, например [длиной] в два локтя или три локтя (ведь это означает количество), то таким же образом [бесконечным не будет] то, что [находится] в месте, потому что оно "где-нибудь", а это значит вверху, или внизу, или в каком-либо ином из шести направлений, а каждое из них есть некоторый предел. Итак, что не может быть актуально бесконечного тела, ясно из сказанного.
Наше рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в отношении увеличения, как не проходимого до конца, не отнимает у математиков их исследования; ведь они теперь не нуждаются в таком бесконечном и не пользуются им: [математикам] надо только, чтобы ограниченная линия была такой величины, как им желательно, а в том же отношении, в каком делится самая большая величина, можно разделить какую угодно другую. Таким образом, для доказательств бесконечное не принесет им никакой пользы, а бытие будет найдено в [реально] существующих величинах".
Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальное бесконечное он сопоставлял с актуально бесконечным телом и не признавал. Но признавал потенциальную. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, причем этот процесс изменения может продолжаться как угодно долго. "Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным". Разделение актуальной и потенциальной бесконечности есть главная заслуга Аристотеля в этой области, которое поддерживалось всеми последующими философами.
Николай Кузанский о бесконечном
Одним из характерных представителей ренессансной философии был Николай Кузанский (1401-1464). Как и большинство философов его времени, он ориентировался на традицию неоплатонизма. Однако при этом он переосмыслил учение неоплатоников, начиная с центрального для них понятия единого. Он заявляет, что "единому ничто не противоположно", а отсюда делает характерный вывод: "единое есть все" - формула, звучащая пантеистически. Вот тут и появляется новый, возрожденческий подход к проблемам онтологии. Из утверждения, что единое не имеет противоположности, Кузанский делает вывод, что единое тождественно беспредельному, бесконечному.
В представлении Н. Кузанского Бог не является некоей персонифицированной личностью. Он есть Абсолют, Единое, которое находится вне всяких противопоставлений. Философ ищет понятие, которое могло бы описать единство противоположностей; так как понятия, для которых можно всегда найти им противоположные, конечны. Поэтому искомое понятие (для описания Бога) должно быть неконечным: "приступающий к Тебе должен возвыситься над всяким пределом и концом, над всем конечным" [7, c.45]. Бога он уподобляет пределу, в котором сходятся бесконечно большое и бесконечно малое.
Бесконечное - это то, больше чего ничего не может быть, Кузанский поэтому называет его "максимумом"; единое же - это "минимум". Николай Кузанский, таким образом, открыл принцип совпадения противоположностей - максимума и минимума. Актуальная бесконечность и есть совмещение противоположностей - единого и беспредельного.
"Когда исследование проводится в рамках вещей конечных, мы их можем сопоставить с чем-то знакомым для нас, и суждение о познаваемом вынести нетрудно. Но не так обстоят дела, когда исследование касается бесконечного. Бесконечность выходит за пределы всякой соразмерности, сходства и различия, ее нам не с чем сравнить, и поэтому она остается для нас неизвестной. Наш конечный разум, двигаясь путем уподоблений, не может постичь истину вещей. Ведь истина не бывает ни больше, ни меньше и не может быть измерена ничем, кроме как самой истиной.
Только благодаря непрерывному усилию познать Бога мы приходим к пониманию, что он непознаваем. Истина неуловима и непостижима в своей чистоте, но, несмотря на это, чем больше ученость в "незнании истины", тем ближе мы к ней подходим. Разум движется к истине, и этот процесс бесконечен, подобно тому, как вписанный в круг многоугольник при бесконечном увеличении числа сторон приближается к кругу, но кругом не становится. Так и разум никогда не сможет постичь истину до конца, хотя бесконечно будет приближаться к ней" [7, c.55-57].
"В математике все конечно, иначе там даже воображением представить было бы ничего нельзя. Если мы хотим воспользоваться конечным как примером для восхождения к максимуму просто, то надо, во-первых, рассмотреть конечные математические фигуры вместе с претерпеваемыми ими изменениями; потом перенести эти основания соответственно на такие же фигуры, доведенные до бесконечности; в-третьих, возвести эти основания бесконечных фигур еще выше, до простой бесконечности, абсолютно отрешенной уже от всякой фигуры. Только тогда наше незнание непостижимо осознает, как нам, блуждающим среди загадок, надлежит правильнее и истиннее думать о наивысшем.
Итак, я утверждаю, что если бы существовала бесконечная линия, она была бы прямой, она была бы треугольником, она была бы кругом, и она была бы шаром; равным образом, если бы существовал бесконечный шар, он был бы кругом, треугольником и линией; и то же самое надо говорить о бесконечном треугольнике и бесконечном круге.
Во-первых, что бесконечная линия будет прямой, очевидно: диаметр круга есть прямая линия, а окружность - кривая линия, большая диаметра; если эта кривая тем меньше в своей кривизне, чем большего круга окружностью она является, то окружность максимального круга, больше которого не может быть, минимально крива, а стало быть, максимально пряма. Минимум совпадает таким образом с максимумом. Даже на глаз видно, что максимальная линия с необходимостью максимально пряма и минимально крива. Так мы видим, что максимальная и бесконечная линия по необходимости совершенно прямая и кривизна ей не противоположна; мало того, кривизна в этой максимальной линии есть прямизна. Это первое, что требовалось доказать.
Во-вторых, как сказано, бесконечная линия есть максимальный треугольник, круг и шар. В самом деле, уже доказано, что максимальным и бесконечным может быть только одно. Ясно также, раз всякие две стороны любого треугольника в сумме не могут быть меньше третьей, что если у треугольника одна из сторон бесконечна, две другие будут не меньше. Потом, поскольку любая часть бесконечности бесконечна, у треугольника с одной бесконечной стороной другие тоже обязательно будут бесконечными. Но нескольких бесконечностей не бывает, и за пределами воображения ты трансцендентно понимаешь, что бесконечный треугольник не может состоять из нескольких линий, хоть этот максимальный, не составной и простейший треугольник есть истиннейший треугольник, обязательно имеющий три линии, и, значит, единственная бесконечная линия с необходимостью оказывается в нем тремя, а три - одной, простейшей. То же в отношении углов: в нем будет только один бесконечный угол, и этот угол - три угла, а три угла - один. Не будет этот максимальный треугольник и состоять из сторон и углов, но бесконечная линия и угол в нем - одно и то же, так что линия есть и угол, раз весь треугольник - линия.
Понять это тебе поможет еще восхождение от количественного треугольника к неколичественному. Всякий количественный треугольник, как известно, имеет три угла, равные двум прямым, и чем больше один угол, тем меньше другие. Хотя каждый угол треугольника может увеличиваться только до двух прямых исключительно, а не максимально, в соответствии с нашим первым принципом, однако допустим, что он увеличивается максимально до двух прямых включительно, оставаясь при этом треугольником. Toгда окажется, что у треугольника один угол, который есть три, и три образуют один. Точно так же ты сможешь убедиться, что треугольник есть линия.
Любые две стороны количественного тpeyгольника в сумме настолько длиннее третьей, насколько образуемый ими угол меньше двух прямых; например, поскольку угол ВАС много меньше двух прямых, линии ВА и АС в сумме много длиннее ВС. Значит, чем больше этот угол, например угол ВDС, тем меньше линии BD и DC превышают линию ВС и тем меньше поверхность. Если допустить, что этот угол приравняется двум прямым, весь треугольник разрешится в простую линию. Таким допущением, у количественных треугольников невозможным, пользуйся для восхождения к не-количественным, у которых, как видишь, невозможное для количественных становится совершенно необходимым. Отсюда тоже ясно, что бесконечная линия есть максимальный треугольник, как и требовалось доказать.
Теперь покажем яснее, что треугольник есть круг. Допустим, что треугольник АВС образован вращением линии АВ вокруг неподвижного А до совпадения В с, С. Нет никакого сомнения, что если бы линия АВ была бесконечной и В описало полный круг, вернувшись к началу, то получился бы максимальный круг, частью которого является ВС. Но поскольку ВС есть часть бесконечной дуги, ВС есть прямая линия; а так как всякая часть бесконечности бесконечна, то ВС не меньше всей дуги бесконечной окружности. Таким образом ВС будет не только частью, но и совершенно всей окружностью, и, значит, треугольник АВС с необходимостью есть максимальный круг. Причем окружность ВС как прямая линия не длиннее бесконечной АВ , раз больше бесконечности ничего не может быть; не будут ВС и АВ и двумя [отдельными] линиями, потому что не может быть двух бесконечностей. Стало быть, бесконечная линия, являясь треугольником, есть также круг, что и надо было установить.
Наконец, что бесконечная линия есть шар, обнаруживается так. Линия АВ есть окружность максимального круга и, больше того, сама круг, как уже доказано. Согласно вышеизложенному, она проведена в треугольнике от В до С. Но ВС - бесконечная линия, как тоже только что доказано; поэтому АВ возвращается в С, совершая полный оборот вокруг себя самой. Когда это происходит, из обращения круга вокруг себя с необходимостью возникает шар.
Итак, если выше доказано, что АВС есть круг, треугольник и линия, то теперь мы доказали, что АВС есть также шар. Это мы и ставили целью разыскания.
Поскольку, таким образом, в возможности конечной линии заключены все эти фигуры, а бесконечная линия есть действительным образом все то, возможность чего представляет конечная, то, следовательно, бесконечная линия есть и треугольник, и круг, и шар, что и следовало доказать.
Если рассмотреть два угла - один тупой, другой острый, то по мере увеличения одного из них другой будет уменьшаться.
Когда один будет максимальным, другой - минимальным, они оба сольются с прямой. Каким назвать такой угол?"Он есть абсолютно острый и абсолютно тупой и в то же время и не острый, и не тупой". Таким образом, этот угол соединяет в себе максимум с минимумом, он является причиной всех углов.
И вот, перенесем наше умозрение - а мы его вывели из того, что бесконечная кривизна есть бесконечная прямизна, - на простейшую и бесконечную сущность максимума. Она есть простейшая сущность всех сущностей; все сущности настоящих, прошлых и будущих вещей всегда и вечно пребывают актуально в этой сущности, так что все сущности - это как бы сама же всеобщая сущность; сущность всех вещей есть любая другая сущность таким образом, что она есть одновременно и все они, и ни одна в отдельности; и как бесконечная линия есть точнейшая мера всех линий, так максимальная сущность есть точнейшая мера всех сущностей. Ведь максимум, которому не противоположен минимум, с необходимостью есть точнейшая мера всего - не больше любой вещи, поскольку минимум, и не меньше ее, поскольку максимум, - а все измеримое оказывается между максимумом и минимумом, так что бесконечная сущность есть вернейшая и точнейшая мера всего.
И чтобы увидеть это еще яснее, подумай, что если бы одна бесконечная линия состояла из бесконечного числа отрезков в пядь, а другая - из бесконечного числа отрезков в две пяди, они все-таки с необходимостью были бы равны, поскольку бесконечность не может быть больше бесконечности. Соответственно как одна пядь в бесконечной линии не меньше, чем две пяди, так бесконечная линия не становится по прибавлении двух пядей больше, чем по прибавлении одной. Мало того: поскольку любая часть бесконечности - тоже бесконечность, одна пядь бесконечной линии так же превращается во всю бесконечную линию, как две пяди. Точно так же, раз всякая сущность в максимальной сущности есть
11-09-2015, 00:43