Конечная линия делима, а бесконечная неделима, потому что у бесконечности, где максимум совпадает с минимумом, нет частей. Но поскольку в величинах, как показано выше, нельзя прийти к минимуму, меньше которого ничего не может быть, конечная линия не делима на нелинии, таким образом, что основание конечной линии - бесконечная линия! Так и максимум просто - основание всех вещей. Как бесконечная линия, основание конечной линии, неделима и, следовательно, неизменна и постоянна, так и основание всех вещей, бог благословенный, вечно и неизменно.

Мы обнаруживаем у бесконечного шара три сходящиеся в центре максимальные линии длины, ширины и глубины. Но центр максимального шара равен диаметру и окружности, и, значит, центр у него равен этим трем линиям; вернее, центр и есть все эти линии, то есть длина, ширина и глубина. Таким же образом простейший и бесконечный максимум будет всякой длиной, шириной и глубиной, которые в нем суть единая и простейшая максимальная неделимость. Как центр он предшествует всякой ширине, длине и глубине, и он же их конец и середина, поскольку в бесконечном шаре центр, ширина и окружность тождественны. Как бесконечный шар всецело действителен⁶² и совершенно прост, так максимум совершенным и простейшим образом актуален, и как шар есть действительность линии, треугольника и круга, так максимум - актуальность всего: всякое действительное существование от него получает всю свою актуальность и всякое существование существует действительным образом ровно настолько, насколько пребывает в его бесконечном акте. Поэтому максимум есть форма форм и форма бытия, или максимальное актуальное бытие.

Николай Кузанский различает два вида бесконечного: негативно бесконечное и привативно бесконечное. "Только абсолютный максимум негативно бесконечен, только он есть то, чем может быть во всей потенции. Наоборот, Вселенная, охватывая все, что не есть Бог, не может быть негативно бесконечной, хотя она не имеет предела и тем самым привативно бесконечна". Негативная бесконечность Бога - это бесконечность актуальная, то, что Николай Кузанский чаще всего называет абсолютным максимумом. Привативная же бесконечность скорее соответствует тому, что мы сегодня называем потенциальной бесконечностью. И в самом деле, Вселенная привативно бесконечна, так как, по словам Николая Кузанского, она "не имеет предела". Такого рода потенциально бесконечное - это то, что всегда может быть актуально больше, но это как раз признак конечности, ибо актуальная бесконечность не может становиться больше или меньше от прибавления к ней или отнятия от нее какой бы то ни было величины.

Конечная величина не может стать бесконечной путем постепенного возрастания. Вот такого рода конечностью, могущей возрастать без предела, но никогда не могущей превратиться в актуальную бесконечность, есть потенциальная бесконечность. Она может возрастать без предела, потому что не имеет предела создавшее ее бесконечное всемогущество Бога.

Николай Кузанский разработал теорию о бесконечном и доказал ее математически. Он выявил, что свойство бесконечного числа к беспредельному увеличению превращает геометрические фигуры в бесконечную линию. То есть в бесконечности многообразие геометрических фигур есть единое. Бесконечное - это то, больше чего ничего не может быть, Кузанский поэтому называет его "максимумом"; единое же - это "минимум". Актуальная бесконечность и есть совмещение противоположностей - единого и беспредельного. Конечная линия делима, а бесконечная неделима, потому что у бесконечности, где максимум совпадает с минимумом, нет частей.

Николай Кузанский возвращает нас к Зенону с его парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в парадоксах орудие разрушения ложного знания, а Кузанский - средство созидания знания истинного. Правда, само это знание имеет особый характер - оно есть "умудренное неведение".

Больцано "Парадоксы бесконечного"

В1851 году была посмертно опубликована книга чешского математика и философа Б. Больцано "Парадоксы бесконечного", в которой он сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности.

Б. Больцано признавал существование бесконечной величины, изучал ее и пришел к выводу: "Само название показывает, что бесконечное противопоставляется всему конечному. То обстоятельство, что мы выводим название бесконечного из названия конечного указывает, что мы представляем себе понятие бесконечного происходящим из понятия конечного вследствие присоединения к нему новой составной части (такой частью является понятие о простом отрицании). Оба эти понятия относятся к многообразиям, к количествам (т.е. к многообразиям единиц), а потому и к величинам, этого нельзя отрицать уже по той причине, что именно в математике, т.е. в науке о величинах, мы и говорим чаще всего о бесконечном, рассматривая конечные и бесконечные множества и делая предметом нашего исследования и даже вычисления, наряду с конечными, не только бесконечно большие, но даже и бесконечно малые величины. Я буду называть бесконечным количеством количество большее, чем каждое конечное, т.е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его. Величина, которая больше, чем любое число тех которые приняты за единицу, называется бесконечно большой. А величина столь малая, что каждое кратное ее оказывается меньше единицы, называется бесконечно малой. Кроме этих двух родов бесконечного и кроме выводимых из них родов бесконечно больших и бесконечно малых величин высшего порядка, которые вытекают все из того же понятия, не существует для него ничего бесконечного.

Это, столь известное математикам, понятие о бесконечном не удовлетворяет однако некоторых философов, особенно философов новейшего времени, как Гегеля и его последователей. Они называют его презрительно плохим бесконечным и думают, что знают несравненно более высокое, истинное, качественное бесконечное, которое они находят только в Боге и вообще в абсолюте. Если они, как Гегель, Эрдман и другие, представляют себе математическую бесконечность только как величину, которая изменяется и не имеет границ в своем возрастании (что принимается некоторыми математиками за определение этого понятия), - то я охотно присоединяюсь к ним в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности. Действительная бесконечная величина, например, длина целой прямой, неограниченной с обеих сторон (т.е. величина протяжения, заключающего все точки, которые определяются только выражаемым в понятиях отношением к двум данным точкам), не должна быть переменной, чего и нет на самом деле в приведенном здесь примере.

Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой либо предмет, которому он был бы вправе приписать свою бесконечность, как качество, не обнаружив раньше в этом предмете, в каком-либо отношении, бесконечной величины или бесконечного количества. Если я могу доказать, что даже говоря о Боге, которого мы рассматриваем как всесовершенно единое, можно указать такие точки зрения, с которых мы видим в нем бесконечное количество, и что эти-то точки зрения и позволяют приписывать ему бесконечность, то вряд ли нужно доказывать дальше, что подобные соображения лежат также в основе всех остальных случаев, где правильно употребляется понятие о бесконечности. Я же говорю: мы называем Бога бесконечным, потому что мы должны признать, что он владеет силами более, чем одного рода, имеющими бесконечную величину.

Математик позволяет себе прибавлять к каждой величине, также и к бесконечно большой, еще другие величины, и не только конечные, но даже и бесконечные; он даже повторяет бесконечную величину бесконечное число раз и т.д. Если некоторые и спорят еще о том, законно ли это, то какой математик - если только он не отрицает все бесконечное - откажется признать, что длина прямой, ограниченной с одной стороны, но простирающейся в бесконечность с другой, бесконечна, и может быть, несмотря на это, увеличена прибавлениями с первой стороны.

"Если каждое число", можно сказать, "по самому понятию о числе, есть лишь простое конечное множество, то каким образом может быть бесконечным множество всех чисел?

Когда мы рассматриваем ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

то мы замечаем, что множество чисел, которое содержит этот ряд, начиная с первого (единицы), до какого-нибудь другого, например, до числа 6, выражается всегда этим последним числом. Поэтому множество всех чисел должно быть именно так велико, как последнее из них и, следовательно, само должно быть числом, а не бесконечностью. Обманчивость этого вывода исчезает тотчас же, как только мы вспомним, что во множестве всех чисел в натуральном ряду нет последнего числа, что таким образом понятие о последнем (высшем) числе - понятие беспредметное, потому что содержит противоречие. Ибо, по закону образования этого ряда, данном в его определении, каждый член ряда имеет последующий. Одним этим замечанием разрешается уже этот парадокс.

Мы говорим о бесконечно больших и бесконечно малых величинах, если под бесконечно большой величиной подразумевается лишь такая величина, которая при раз положенной в основание единице является целым, по отношению к которому каждое конечное множество этих единиц составляет только часть; а под бесконечно малой величиной подразумевается такая, по отношению к которой сама единица является целым, частью которого будет каждое конечное множество этих величин. Множество всех чисел является неоспоримым примером бесконечно большой величины. Я говорю: величины, а не бесконечно большого числа, потому что, как мы уже заметили в предыдущем параграфе, никак нельзя назвать числом это бесконечно большое множество. Если же величину, бесконечно большую по сравнению с другой величиной, взятой за единицу, мы примем за единицу и станем ею измерять ту величину, которую мы прежде принимали за единицу, то эта последняя представится нам бесконечно малой.

И что не следует считать равными между собой все бесконечные многообразия в отношении их множественности? Напротив, некоторые из них больше, другие меньше, т.е. одно бесконечное многообразие может заключать в себе другое, как часть (или, наоборот, может само составлять часть другого). Для кого, например, не будет ясно, что длина прямой, простирающейся безгранично в направлении aR, бесконечна, но что прямая bR, из точки b идущая в том же направлении, больше, чем aR на отрезке ba? и, наконец, что прямая, идущая неограниченно в обоих направлениях aR и aS, должна быть названа большей на величину, которая сама бесконечна, и т.д.

Два бесконечных многообразия могут быть в таком отношении одно к другому, что, с одной стороны, возможно соединить каждую вещь одного многообразия с некоторой вещью другого в пару таким образом, что не останется в обоих многообразиях ни одной вещи, не соединенной в пару, и ни одна вещь не будет входить в две или несколько пар. С другой стороны, возможно при этом, что одно из этих многообразий заключает в себе другое просто как часть, так что множества, которые они представляют, если рассматривать составляющие их вещи как равные, т.е. как единицы, имеют между собой самые разнообразные отношения.

Я обращаюсь теперь к утверждению, что существует бесконечное не только среди вещей, не имеющих действительности, но также и в самой области действительного. Есть существо бесконечное не в одном только отношении, в своем ведении, в своей воле, в своем внешнем воздействии, т.е. могуществе. Это такое существо, которое бесконечно много знает (совокупность всех истин), бесконечно многого желает (сумму всего в себе возможного добра), и все, чего только хочет, силою внешнего воздействия осуществляет в действительности. Из этого последнего свойства Бога вытекает дальнейшее следствие, что, кроме него, существует существа созданные, которые мы назовем, в противоположность ему, существами конечными, в которых, однако, можно усмотреть нечто бесконечное. В самом деле, уже самое многообразие этих существ должно быть бесконечным; точно так же многообразие состояний, испытываемых каждым из этих существ в отдельности, хотя бы в самое короткое время, должно быть бесконечно (потому что каждый промежуток времени содержит в себе бесконечно много мгновений) и т.д. Итак, и в области действительного мы встречаем везде бесконечное.

Уже само понятие исчисления бесконечности, я признаю это, кажется заключающим в себе противоречие. Действительно, исчислить - значит попытаться определить с помощью чисел. Но как же возможно пытаться определить с помощью чисел бесконечное, то бесконечное, которое, по нашему собственному определению, должно представлять из себя нечто, состоящее из бесконечно многих частей, т.е. такое многообразие, которое больше всякого числа, и которое, поэтому, не может быть определено никаким числом? Это сомнение исчезнет однако, как только мы сообразим, что правильное исчисление бесконечного имеет целью не вычисление того, что в бесконечности неопределимо никаким числом (а именно, не вычисление бесконечного множества самого в себе): целью этого исчисления является определение отношения между одним бесконечным и другим, что выполнимо. Кто признает существование бесконечных множеств, а следовательно, и бесконечных величин вообще, тот не станет оспаривать существование бесконечных величин, очень различных по размерам. Эти немногие примеры показали уже в достаточной степени, что существует исчисление бесконечно большого; точно также существует и исчисление бесконечно малого.

Итак, если мы не желаем впадать в заблуждение в наших вычислениях бесконечного, то мы не должны никогда позволять себе считать, что две бесконечно большие величины, происшедшие от сложения членов двух бесконечных рядов, равны или что одна больше или меньше другой на том только основании, что каждый член одного ряда соответственно равен, больше или меньше некоторого члена другого ряда. Столь же мало мы имеем право считать одну сумму большей только потому, что она заключает все члены другой суммы и, кроме того, еще много, даже бесконечно много, других (положительных) членов, которых нет в другой сумме. Несмотря на все это, первая сумма может быть меньше, даже в бесконечное число раз меньше, чем вторая. Пример этого представит нам очень известная сумма квадратов всех натуральных чисел.

Каждое бесконечное многообразие, не только многообразие точек, образующих линию, может быть разложено на части, которые сами заключают бесконечные многообразия, даже на бесконечное число таких частей. Действительно, если означает бесконечное многообразие, то /2, /4, /8. также будут бесконечными многообразиями. Это заключается в понятии бесконечного.

При рассмотрении поверхностей, которые при постоянной длине можно уменьшить сколь угодно, уменьшая ширину, а также в случае тел, которые, при той же длине и ширине, могут быть сколь угодно уменьшены путем уменьшения их высоты, наблюдается конечное значение их площадей.

Хочется обратить внимание читателя на то, что множество точек, которое заключает в себе хотя бы самая короткая прямая az , должно быть рассматриваемо, как множество, которое в безконечно большое число раз больше бесконечного же множества, получаемого из первого следующим образом: начиная с одного из концов, с точки a, берем в надлежащем расстоянии вторую точку b , за нею, в меньшем расстоянии, третью точку c , и так продолжаем без конца, уменьшая эти расстояния по такому закону, чтобы бесконечное их множество в сумме было равно или меньше расстояния az. Прямой, простирающейся бесконечно в обе стороны, мы должны приписать бесконечную длину и множество точек, которое будет в бесконечное число раз больше, чем множество точек прямой, принятой за единицу и равной E .

Мы должны признать также, что все такие прямые имеют равную длину и равное множество точек, так как определяющие их части, с помощью которых могут быть определены для двух таких прямых две точки, через которые они проходят (если мы возьмем одинаковое расстояние между этими точками), будут не только подобны друг другу, но и (геометрически) равны.

Прямая, простирающаяся неограниченно в обе стороны, совсем не имеет середины, то есть не имеет такой точки, которая могла бы быть определена только с помощью выражаемого в понятиях отношения ее к этой линии. Плоской поверхности, которую заключают между собою две параллельные прямые, неограниченные с обеих сторон (т.е. совокупности всех тех точек, которые содержат перпендикуляры, опущенные из каждой точки одной из этих параллельных прямых на другую), мы должны приписать бесконечно большую площадь и множество точек, которое в бесконечное число раз больше множества точек в квадрате, равном E ² и принятом за единицу площадей. Всем подобным полосам, ограниченным параллельными прямыми, если они имеют одинаковую ширину (длина перпендикуляра), мы должны приписать равную величину и равное множество точек.

Пространство, которое заключают между собою две параллельные безграничные плоскости (т.е. совокупность всех тех точек, которые находятся на всех перпендикулярах, опущенных из каждой точки одной плоскости на другую), этот (если его так можно назвать) безграничный телесный слой, мы должны считать, во всяком случае, бесконечно большим, какова бы ни была его ширина (т.е. длина такого перпендикуляра)" [2, c.15-149].

Таким образом философ и математик Больцано впервые разработал теорию бесконечных величин, дал бесконечной величине определение, указал на возможность ее исчисления, применил бесконечную величину в геометрии, разработал ее свойства и привел доказательства своих взглядов. Больцано называл бесконечую величину бесконечным множеством, так как


11-09-2015, 00:43