Êðèòèêà, êîòîðîé ïîäâåðãàëèñü ìåòîäîëîãèÿ è ìèðîâîççðåí÷åñêàÿ ñèñòåìà Ïëàòîíà ñî ñòîðîíû ìàòåìàòèêîâ, ïðè âñåé ñâîåé âàæíîñòè íå çàòðàãèâàëà ñàìè îñíîâû èäåàëèñòè÷åñêîé êîíöåïöèè. Äëÿ çàìåíû ðàçðàáîòàííîé Ïëàòîíîì ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòèêè áîëåå ïðîäóêòèâíîé ñèñòåìîé íóæíî áûëî ïîäâåðãíóòü êðèòè÷åñêîìó ðàçáîðó åãî ó÷åíèå îá èäåÿõ, îñíîâíûå ðàçäåëû åãî ôèëîñîôèè è êàê ñëåäñòâèå ýòîãî - åãî âîççðåíèå íà ìàòåìàòèêó. Ýòà ìèññèÿ âûïàëà íà äîëþ ó÷åíèêà Ïëàòîíà - Àðèñòîòåëÿ.
Ãëàâà 7
ÑÈÑÒÅÌÀ ÔÈËÎÑÎÔÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ ÀÐÈÑÒÎÒÅËß
Ê.Ìàðêñ íàçâàë Àðèñòîòåëÿ (384-322 ãã. äî í.ý.) “âåëè÷àéøèì ôèëîñîôîì äðåâíîñòè”. Îñíîâíûå âîïðîñû ôèëîñîôèè, ëîãèêè, ïñèõîëîãèè, åñòåñòâîçíàíèÿ, òåõíèêè, ïîëèòèêè, ýòèêè è ýñòåòèêè, ïîñòàâëåííûå â íàóêå Äðåâíåé Ãðåöèè, ïîëó÷èëè ó Àðèñòîòåëÿ ïîëíîå è âñåñòîðîííåå îñâåùåíèå.  ìàòåìàòèêå îí, ïî-âèäèìîìó, íå ïðîâîäèë êîíêðåòíûõ èññëåäîâàíèé, îäíàêî âàæíåéøèå ñòîðîíû ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ áûëè ïîäâåðãíóòû èì ãëóáîêîìó ôèëîñîôñêîìó àíàëèçó, ïîñëóæèâøåìó ìåòîäîëîãè÷åñêîé îñíîâîé äåÿòåëüíîñòè ìíîãèõ ïîêîëåíèé ìàòåìàòèêîâ.
Êî âðåìåíè Àðèñòîòåëÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà ïðîøëà çíà÷èòåëüíûé ïóòü è äîñòèãëà âûñîêîãî óðîâíÿ ðàçâèòèÿ. Ïðîäîëæàÿ òðàäèöèþ ôèëîñîôñêîãî àíàëèçà ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ, Àðèñòîòåëü ïîñòàâèë âîïðîñ î íåîáõîäèìîñòè óïîðÿäî÷èâàíèÿ ñàìîãî çíàíèÿ î ñïîñîáàõ óñâîåíèÿ íàóêè, î öåëåíàïðàâëåííîé ðàçðàáîòêå èñêóññòâà âåäåíèÿ ïîçíàâàòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè, âêëþ÷àþùåãî äâà îñíîâíûõ ðàçäåëà: “îáðàçîâàííîñòü” è “íàó÷íîå çíàíèå äåëà”. Ñðåäè èçâåñòíûõ ñî÷èíåíèé Àðèñòîòåëÿ íåò ñïåöèàëüíî ïîñâÿùåííûõ èçëîæåíèþ ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïðîáëåì ìàòåìàòèêè. Íî ïî îòäåëüíûì âûñêàçûâàíèÿì, ïî èñïîëüçîâàíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèé îáùèõ ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïîëîæåíèé ìîæíî ñîñòàâèòü ïðåäñòàâëåíèå î òîì, êàêîâ áûë åãî èäåàë ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé.
Èñõîäíûì ýòàïîì ïîçíàâàòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè, ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ, ÿâëÿåòñÿ îáó÷åíèå, êîòîðîå “îñíîâàíî íà (íåêîòîðîì) óæå ðàíåå èìåþùåìñÿ çíàíèè... Êàê ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè, òàê è êàæäîå èç ïðî÷èõ èñêóññòâ ïðèîáðåòàåòñÿ (èìåííî) òàêèì ñïîñîáîì”. Äëÿ îòäåëåíèÿ çíàíèÿ îò íåçíàíèÿ Àðèñòîòåëü ïðåäëàãàåò ïðîàíàëèçèðîâàòü “âñå òå ìíåíèÿ, êîòîðûå ïî-ñâîåìó âûñêàçûâàëè â ýòîé îáëàñòè íåêîòîðûå ìûñëèòåëè” è îáäóìàòü âîçíèêøèå ïðè ýòîì çàòðóäíåíèÿ. Àíàëèç ñëåäóåò ïðîâîäèòü ñ öåëüþ âûÿñíåíèÿ ÷åòûðåõ âîïðîñîâ: “÷òî (âåùü) åñòü, ïî÷åìó (îíà) åñòü, åñòü ëè (îíà) è ÷òî (îíà) åñòü”.
Îñíîâíûì ïðèíöèïîì, îïðåäåëÿþùèì âñþ ñòðóêòóðó “íàó÷íîãî çíàíèÿ äåëà”, ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï ñâåäåíèÿ âñåãî ê íà÷àëàì è âîñïðîèçâåäåíèÿ âñåãî èç íà÷àë. Óíèâåðñàëüíûì ïðîöåññîì ïðîèçâîäñòâà çíàíèé èç íà÷àë, ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ, âûñòóïàåò äîêàçàòåëüñòâî. “Äîêàçàòåëüñòâîì æå ÿ íàçûâàþ ñèëëîãèçì, - ïèøåò îí, - êîòîðûé äàåò çíàíèÿ”. Èçëîæåíèþ òåîðèè äîêàçàòåëüíîãî çíàíèÿ ïîëíîñòüþ ïîñâÿùåí “Îðãàíîí” Àðèñòîòåëÿ. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ýòîé òåîðèè ìîæíî ñãðóïïèðîâàòü â ðàçäåëû, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàñêðûâàåò îäíó èç òðåõ îñíîâíûõ ñòîðîí ìàòåìàòèêè êàê äîêàçûâàþùåé íàóêè: “òî, îòíîñèòåëüíî ÷åãî äîêàçûâàåòñÿ, òî, ÷òî äîêàçûâàåòñÿ è òî, íà îñíîâàíèè ÷åãî äîêàçûâàåòñÿ”. Òàêèì îáðàçîì, Àðèñòîòåëü äèôôåðåíöèðîâàííî ïîäõîäèë ê îáúåêòó, ïðåäìåòó è ñðåäñòâàì äîêàçàòåëüñòâà.
Ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ ïðèçíàâàëîñü çàäîëãî äî Àðèñòîòåëÿ, îäíàêî ïèôàãîðåéöû, íàïðèìåð, ïðåäïîëàãàëè, ÷òî îíè íàõîäÿòñÿ â ÷óâñòâåííûõ âåùàõ, ïëàòîíèêè æå, íàîáîðîò, ñ÷èòàëè èõ ñóùåñòâóþùèìè îòäåëüíî. Ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ:
1.  ÷óâñòâåííûõ âåùàõ ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû íå ñóùåñòâóþò, òàê êàê “íàõîäèòüñÿ â òîì æå ñàìîì ìåñòå äâà òåëà íå â ñîñòîÿíèè”;
2. “Íåâîçìîæíî è òî, ÷òîáû òàêèå ðåàëüíîñòè ñóùåñòâîâàëè îáîñîáëåííî”.
Àðèñòîòåëü ñ÷èòàë ïðåäìåòîì ìàòåìàòèêè “êîëè÷åñòâåííóþ îïðåäåëåííîñòü è íåïðåðûâíîñòü”.  åãî òðàêòîâêå “êîëè÷åñòâîì íàçûâàåòñÿ òî, ÷òî ìîæåò áûòü ðàçäåëåíî íà ñîñòàâíûå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ...ÿâëÿåòñÿ ÷åì-òî îäíèì, äàííûì íàëèöî. Òî èëè äðóãîå êîëè÷åñòâî åñòü ìíîæåñòâî, åñëè åãî ìîæíî ñ÷åñòü, ýòî âåëè÷èíà, åñëè åãî ìîæíî èçìåðèòü”. Ìíîæåñòâîì ïðè ýòîì íàçûâàåòñÿ òî, “÷òî â âîçìîæíîñòè (ïîòåíöèàëüíî) äåëèòñÿ íà ÷àñòè íå íåïðåðûâíûå, âåëè÷èíîþ òî, ÷òî äåëèòñÿ íà ÷àñòè íåïðåðûâíûå”. Ïðåæäå ÷åì äàòü îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè, Àðèñòîòåëü ðàññìàòðèâàåò ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîãî, òàê êàê “îíî îòíîñèòñÿ ê êàòåãîðèè êîëè÷åñòâà” è ïðîÿâëÿåòñÿ ïðåæäå âñåãî â íåïðåðûâíîì. “×òî áåñêîíå÷íîå ñóùåñòâóåò, óâåðåííîñòü â ýòîì âîçíèêàåò ó èññëåäîâàòåëåé èç ïÿòè îñíîâàíèé: èç âðåìåíè (èáî îíî áåñêîíå÷íî); èç ðàçäåëåíèÿ âåëè÷èí..; äàëåå, òîëüêî òàêèì îáðàçîì íå èññÿêíóò âîçíèêíîâåíèå è óíè÷òîæåíèå, åñëè áóäåò áåñêîíå÷íîå, îòêóäà áåðåòñÿ âîçíèêàþùåå.
Äàëåå, èç òîãî, ÷òî êîíå÷íîå âñåãäà ãðàíè÷èò ñ ÷åì-íèáóäü, òàê êàê íåîáõîäèìî, ÷òîáû îäíî âñåãäà ãðàíè÷èëî ñ äðóãèì. Íî áîëüøå âñåãî -...íà òîì îñíîâàíèè, ÷òî ìûøëåíèå íå îñòàíàâëèâàåòñÿ: è ÷èñëî êàæåòñÿ áåñêîíå÷íûì, è ìàòåìàòè÷åñêèå âåëè÷èíû”. Ñóùåñòâóåò ëè áåñêîíå÷íîå êàê îòäåëüíàÿ ñóùíîñòü èëè îíî ÿâëÿåòñÿ àêöèäåíöèåé âåëè÷èíû èëè ìíîæåñòâà? Àðèñòîòåëü ïðèíèìàåò âòîðîé âàðèàíò, òàê êàê “åñëè áåñêîíå÷íîå íå åñòü íè âåëè÷èíà, íè ìíîæåñòâî, à ñàìî ÿâëÿåòñÿ ñóùíîñòüþ..., òî îíî áóäåò íåäåëèìî, òàê êàê äåëèìîå áóäåò èëè âåëè÷èíîé, èëè ìíîæåñòâîì. Åñëè æå îíî íå äåëèìî, îíî íå áåñêîíå÷íî â ñìûñëå íåïðîõîäèìîãî äî êîíöà”. Íåâîçìîæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî áåñêîíå÷íîãî êàê íåäåëèìîãî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò - îòâëå÷åíèå îò ôèçè÷åñêîãî òåëà, à “àêòóàëüíî íåäåëèìîå áåñêîíå÷íîå òåëî íå ñóùåñòâóåò”. ×èñëî “êàê ÷òî-òî îòäåëüíîå è â òî æå âðåìÿ áåñêîíå÷íîå” íå ñóùåñòâóåò, âåäü “...åñëè âîçìîæíî ïåðåñ÷èòàòü ñ÷èñëèìîå, òî áóäåò âîçìîæíîñòü ïðîéòè äî êîíöà è áåñêîíå÷íîå”. Òàêèì îáðàçîì, áåñêîíå÷íîñòü çäåñü â ïîòåíöèè ñóùåñòâóåò, àêòóàëüíî æå - íåò.
Îïèðàÿñü íà èçëîæåííîå âûøå ïîíèìàíèå áåñêîíå÷íîãî, Àðèñòîòåëü îïðåäåëÿåò íåïðåðûâíîñòü è ïðåðûâíîñòü. Òàê, “íåïðåðûâíîå åñòü ñàìî ïî ñåáå íå÷òî ñìåæíîå. Ñìåæíîå åñòü òî, ÷òî, ñëåäóÿ çà äðóãèì, êàñàåòñÿ åãî”. ×èñëî êàê òèïè÷íî ïðåðûâíîå (äèñêðåòíîå) îáðàçîâàíèå ôîðìèðóåòñÿ ñîåäèíåíèåì äèñêðåòíûõ, äàëåå íåäåëèìûõ ýëåìåíòîâ - åäèíèö. Ãåîìåòðè÷åñêèì àíàëîãîì åäèíèöû ÿâëÿåòñÿ òî÷êà; ïðè ýòîì ñîåäèíåíèå òî÷åê íå ìîæåò îáðàçîâàòü ëèíèþ, òàê êàê “òî÷êàì, èç êîòîðûõ áûëî áû ñîñòàâëåíî íåïðåðûâíîå, íåîáõîäèìî èëè áûòü íåïðåðûâíûìè, èëè êàñàòüñÿ äðóã äðóãà”. Íî íåïðåðûâíûìè îíè íå áóäóò: “âåäü êðàÿ òî÷åê íå îáðàçóþò ÷åãî-íèáóäü åäèíîãî, òàê êàê ó íåäåëèìîãî íåò íè êðàÿ, íè äðóãîé ÷àñòè”. Òî÷êè íå ìîãóò è êàñàòüñÿ äðóã äðóãà, ïîñêîëüêó êàñàþòñÿ “âñå ïðåäìåòû èëè êàê öåëîå öåëîãî, èëè ñâîèìè ÷àñòÿìè, èëè êàê öåëîå ÷àñòè. Íî òàê êàê íåäåëèìîå íå èìååò ÷àñòåé, èì íåîáõîäèìî êàñàòüñÿ öåëèêîì, íî êàñàþùååñÿ öåëèêîì íå îáðàçóåò íåïðåðûâíîãî”.
Íåâîçìîæíîñòü ñîñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíîãî èç íåäåëèìûõ è íåáõîäèìîñòü åãî äåëåíèÿ íà âñåãäà äåëèìûå ÷àñòè, óñòàíîâëåííûå äëÿ âåëè÷èíû, Àðèñòîòåëü ðàñïðîñòðàíÿåò íà äâèæåíèå, ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ, îáîñíîâûâàÿ (íàïðèìåð, â “Ôèçèêå”) ïðàâîìåðíîñòü ýòîãî øàãà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îí ïðèõîäèò ê âûâîäó, ÷òî ïðèçíàíèå íåäåëèìûõ âåëè÷èí ïðîòèâîðå÷èò îñíîâíûì ñâîéñòâàì äâèæåíèÿ. Âûäåëåíèå íåïðåðûâíîãî è ïðåðûâíîãî êàê ðàçíûõ ðîäîâ áûòèÿ ïîñëóæèëî îñíîâîé äëÿ ðàçìåæåâàíèÿ â ëîãèêî-ãíîñåîëîãè÷åñêîé îáëàñòè, äëÿ ðåçêîãî îòìåæåâàíèÿ àðèôìåòèêè îò ãåîìåòðèè.
“Íà÷àëàìè... â êàæäîì ðîäå ÿ íàçûâàþ òî, îòíîñèòåëüíî ÷åãî íå ìîæåò áûòü äîêàçàíî, ÷òî îíî åñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, òî, ÷òî îáîçíà÷àåò ïåðâè÷íîå è èç íåãî âûòåêàþùåå, ïðèíèìàåòñÿ. Ñóùåñòâîâàíèå íà÷àë íåîáõîäèìî ïðèíÿòü, äðóãîå - ñëåäóåò äîêàçàòü. Íàïðèìåð, ÷òî òàêîå åäèíèöà èëè ÷òî òàêîå ïðÿìîå èëè ÷òî òàêîå òðåóãîëüíèê (ñëåäóåò ïðèíÿòü); ÷òî åäèíèöà è âåëè÷èíà ñóùåñòâóåò, òàêæå ñëåäóåò ïðèíÿòü, äðóãîå - äîêàçàòü”.  âîïðîñå î ïîÿâëåíèè ó ëþäåé ñïîñîáíîñòè ïîçíàíèÿ íà÷àë Àðèñòîòåëü íå ñîãëàøàåòñÿ ñ òî÷êîé çðåíèÿ Ïëàòîíà î âðîæäåííîñòè òàêèõ ñïîñîáíîñòåé, íî è íå äîïóñêàåò âîçìîæíîñòè ïðèîáðåòåíèÿ èõ; çäåñü îí ïðåäëàãàåò ñëåäóþùåå ðåøåíèå: “íåîáõîäèìî îáëàäàòü íåêîòîðîé âîçìîæíîñòüþ, îäíàêî íå òàêîé, êîòîðàÿ ïðåâîñõîäèëà áû ýòè ñïîñîáíîñòè â îòíîøåíèè òî÷íîñòè”. Íî òàêàÿ âîçìîæíîñòü, î÷åâèäíî, ïðèñóùà âñåì æèâûì ñóùåñòâàì; â ñàìîì äåëå, îíè îáëàäàþò ïðèðîæäåííîé ñïîñîáíîñòüþ ðàçáèðàòüñÿ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ÷óâñòâåííûì âîñïðèÿòèåì. Ôîðìèðîâàíèå íà÷àë èäåò “îò ïðåäøåñòâóþùåãî è áîëåå èçâåñòíîãî äëÿ íàñ”, òî åñòü îò òîãî, ÷òî áëèæå ê ÷óâñòâåííîìó âîñïðèÿòèþ ê “ïðåäøåñòâóþùåìó è áîëåå èçâåñòíîìó áåçóñëîâíî” (òàêèì ÿâëÿåòñÿ îáùåå). Àðèñòîòåëü äàåò ðàçâåðíóòóþ êëàññèôèêàöèþ íà÷àë, èñõîäÿ èç ðàçíûõ ïðèçíàêîâ.
Âî-ïåðâûõ, îí âûäåëÿåò “íà÷àëà, èç êîòîðûõ (÷òî-ëèáî) äîêàçûâàåòñÿ, è òàêèå, î êîòîðûõ (äîêàçûâàåòñÿ)”. Ïåðâûå “ñóòü îáùèå (âñåì íà÷àëà)”, âòîðûå - “ñâîéñòâåííûå (ëèøü äàííîé íàóêå), íàïðèìåð, ÷èñëî, âåëè÷èíà”.  ñèñòåìå íà÷àë îáùèå çàíèìàþò âåäóùåå ìåñòî, íî èõ íåäîñòàòî÷íî, òàê êàê “ñðåäè îáùèõ íà÷àë íå ìîæåò áûòü òàêèõ, èç êîòîðûõ ìîæíî áûëî áû äîêàçàòü âñå”. Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ, ÷òî ñðåäè íà÷àë äîëæíû áûòü “îäíè ñâîéñòâåííû êàæäîé íàóêå â îòäåëüíîñòè, äðóãèå - îáùèå âñåì”. Âî-âòîðûõ, íà÷àëà äåëÿòñÿ íà äâå ãðóïïû â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷òî îíè ðàñêðûâàþò: ñóùåñòâîâàíèå îáúåêòà èëè íàëè÷èå ó íåãî íåêîòîðûõ ñâîéñòâ. Â-òðåòüèõ, êîìïëåêñ íà÷àë äîêàçûâàþùåé íàóêè äåëèòñÿ íà àêñèîìû, ïðåäïîëîæåíèÿ, ïîñòóëàòû, èñõîäíûå îïðåäåëåíèÿ.
Âûáîð íà÷àë ó Àðèñòîòåëÿ âûñòóïàåò îïðåäåëÿþùèì ìîìåíòîì ïîñòðîåíèÿ äîêàçûâàþùåé íàóêè; èìåííî íà÷àëà õàðàêòåðèçóþò íàóêó êàê äàííóþ, âûäåëÿþò åå èç ðÿäà äðóãèõ íàóê. “Òî, ÷òî äîêàçûâàåòñÿ”, ìîæíî òðàêòîâàòü î÷åíü øèðîêî. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî ýëåìåíòàðíûé äîêàçûâàþùèé ñèëëîãèçì è åãî çàêëþ÷åíèÿ. Èç ýòèõ ýëåìåíòàðíûõ ïðîöåññîâ ñòðîèòñÿ çäàíèå äîêàçûâàþùåé íàóêè â âèäå îòäåëüíî âçÿòîé òåîðèè. Èç íèõ æå ñîçäàåòñÿ è íàóêà êàê ñèñòåìà òåîðèé. Îäíàêî íå âñÿêèé íàáîð äîêàçàòåëüñòâ îáðàçóåò òåîðèþ. Äëÿ ýòîãî îí äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì, îõâàòûâàþùèì êàê ñîäåðæàíèå äîêàçûâàåìûõ ïðåäëîæåíèé, òàê è ñâÿçè ìåæäó íèìè.  ïðåäåëàõ æå íàó÷íîé òåîðèè íåîáõîäèìî èìååò ìåñòî ðÿä âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèé, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ïåðâè÷íûìè, íî ñëóæàò äëÿ ðàñêðûòèÿ ïðåäìåòà òåîðèè.
Õîòÿ âîïðîñû ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ è íå áûëè èçëîæåíû Àðèñòîòåëåì â êàêîé-òî îòäåëüíîé ðàáîòå, íî ïî ñîäåðæàíèþ â ñîâîêóïíîñòè îíè îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó.  îñíîâå ôèëîñîôèè ìàòåìàòèêè Àðèñòîòåëÿ ëåæèò ïîíèìàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé êàê îòðàæåíèÿ îáúåêòèâíîãî ìèðà. Ýòà óñòàíîâêà ñûãðàëà âàæíóþ ðîëü â áîðüáå Àðèñòîòåëÿ ñ ïëàòîíîâûì èäåàëèçìîì; âåäü “åñëè â ÿâëåíèÿõ ÷óâñòâåííîãî ìèðà íå íàõîäèòñÿ âîâñå ìàòåìàòè÷åñêîå, òî êàêèì îáðàçîì âîçìîæíî, ÷òî ê íèì ïðèëàãàþòñÿ åãî ñâîéñòâà?” - ïèñàë îí. Ðàçóìååòñÿ, ìàòåðèàëèçì Àðèñòîòåëÿ áûë íåïîñëåäîâàòåëüíûì, â öåëîì åãî âîççðåíèÿ â áîëüøåé ñòåïåíè ñîîòâåòñòâîâàëè ïîòðåáíîñòÿì ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ, ñåì âçãëÿäû Ïëàòîíà.  ñâîþ î÷åðåäü ìàòåìàòèêà áûëà äëÿ Àðèñòîòåëÿ îäíèì èç èñòî÷íèêîâ ôîðìèðîâàíèÿ ðÿäà ðàçäåëîâ åãî ôèëîñîôñêîé ñèñòåìû.
×ÀÑÒÜ ÂÒÎÐÀß.
ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÀß ÃÀÐÌÎÍÈß ÏÎÄÎÁÈß
Ãëàâà 1
ÁÅÑÑÈËÈÅ ÏÐßÌÎÉ
 êà÷åñòâå ââåäåíèÿ êî âòîðîé ÷àñòè ìíå áû õîòåëîñü ïðèâåñòè ñëîâà Ôðèäåíñðàéõà Õóíäåðòâàññåðà, îäíîãî èç òåõ çàìå÷àòåëüíûõ ëþäåé ñèëàìè êîòîðûõ ñîâðåìåííàÿ íàóêà ñòàíîâèòñÿ âñå áëèæå ê èñêóññòâó, à èñêóññòâî ïîëó÷àåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü âåñü àðñåíàë ñðåäñòâ, ïðåäîñòàâëÿåìûõ ñåãîäíÿøíåé íàóêîé äëÿ âûðàæåíèÿ èäåé è õóäîæåñòâåííûõ çàìûñëîâ:
 1953 ãîäó ÿ ïîíÿë, ÷òî ïðÿìàÿ ëèíèÿ âåäåò ÷åëîâå÷åñòâî ê óïàäêó. Òèðàíèÿ ïðÿìîé ñòàëà àáñîëþòíîé. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ - ýòî íå÷òî òðóñëèâîå, ïðî÷åð÷åííîå ïî ëèíåéêå, áåç ýìîöèé è ðàçìûøëåíèé; ýòî ëèíèÿ, íå ñóùåñòâóþùàÿ â ïðèðîäå. È íà ýòîì íàñêâîçü ïðîãíèâøåì ôóíäàìåíòå ïîñòðîåíà íàøà îáðå÷åííàÿ öèâèëèçàöèÿ. Åñëè äàæå è âîçíèêàåò ãäå-òî ìûñëü, ÷òî ïðÿìàÿ ëèíèÿ íàïðÿìèê âåäåò ê ãèáåëè, åå êóðñó âñå ðàâíî ïðîäîëæàþò ñëåäîâàòü äàëüøå... Ëþáîé äèçàéí, îñíîâàííûé íà ïðÿìîé ëèíèè, áóäåò ìåðòâîðîæäåííûì. Ñåãîäíÿ ìû ÿâëÿåìñÿ ñâèäåòåëÿìè òðèóìôà ðàöèîíàëèñòè÷åñêèõ çíàíèé è îäíîâðåìåííî îáíàðóæèâàåì, ÷òî îêàçàëèñü â ïóñòîòå. Ýñòåòè÷åñêèé âàêóóì, ïóñòûíÿ îäíîîáðàçèÿ, ïðåñòóïíîå áåñïëîäèå, óòðàòà ñîçèäàòåëüíûõ âîçìîæíîñòåé.
Ñòàíäàðòèçèðóåòñÿ äàæå òâîð÷åñòâî. Ìû ñòàëè áåññèëüíûìè. Ìû áîëüøå íå ñïîñîáíû òâîðèòü.  ýòîì íàøå íåâåæåñòâî.
Ôðàêòàëû âîêðóã íàñ ïîâñþäó, è â î÷åðòàíèÿõ ãîð, è â èçâèëèñòîé ëèíèè ìîðñêîãî áåðåãà. Íåêîòîðûå èç ôðàêòàëîâ íåïðåðûâíî ìåíÿþòñÿ, ïîäîáíî äâèæóùèìñÿ îáëàêàì èëè ìåðöàþùåìó ïëàìåíè, â òî âðåìÿ êàê äðóãèå, ïîäîáíî äåðåâüÿì èëè íàøèì ñîñóäèñòûì ñèñòåìàì, ñîõðàíÿþò ñòðóêòóðó, ïðèîáðåòåííóþ â ïðîöåññå ýâîëþöèè. ×åëîâåêó, íå ñâÿçàííîìó ñ íàóêîé, ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñòðàííûì òî, ÷òî òàêèå ïðèâû÷íûå âñåì âåùè ñ íåäàâíèõ ïîð îêàçàëèñü â ôîêóñå èíòåíñèâíûõ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Íî ïðèâû÷íîñòü êàêîãî-ëèáî ÿâëåíèÿ ñîâñåì íå îçíà÷àåò, ÷òî ó÷åíûå ìîãóò ïðàâèëüíî åãî îáúÿñíèòü. Ðåáåíêó òîæå ïðèâû÷íû è åãî ãîëóáàÿ êîëûáåëü, è ãîëóáîå íåáî çàäîëãî äî òîãî, êàê îí îñîçíàåò, ÷òî ãîëóáîé öâåò åñòü îáùåå êà÷åñòâî ñîâñåì ðàçíûõ âåùåé.  åãî ïîçíàâàòåëüíîì ðàçâèòèè íàñòóïèò ìîìåíò, êîãäà îí óæå ñìîæåò âîñïðèíÿòü ïîíÿòèå öâåòà; îí ñëûøèò, ÷òî íåáî ÿâëÿåòñÿ ãîëóáûì è âäðóã “îòêðûâàåò”, ÷òî è íåêîòîðûå äðóãèå âåùè òîæå ÿâëÿþòñÿ ãîëóáûìè.
Ðàçâèòèå íàøåãî íàó÷íîãî ïîíèìàíèÿ ìèðà ïðîèñõîäèò ïî òàêîé æå ñõåìå. Äà, ìíîãèå ôðàêòàëû íàì çíàêîìû, íî äî ñàìîãî ïîñëåäíåãî âðåìåíè â íàøåì íàó÷íîì ïðåäñòàâëåíèè î ìèðå èì íå íàõîäèëîñü ìåñòà. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå âîñõîäèò åùå ê Ãàëèëåî Ãàëèëåþ, ÷üå ìàñòåðñòâî âëàäåíèÿ àáñòðàêöèåé, âñòóïàþùåé â ïðîòèâîðå÷èå ñ èíòóèöèåé, äàåò ïðèìåð ñîâðåìåííîãî íàó÷íîãî ðàññóæäåíèÿ. Åãî êðåäî, ñôîðìóëèðîâàííîå èì ñàìèì â 1623 ãîäó, ãëàñèò:
Âñÿ íàóêà çàïèñàíà à ýòîé âåëèêîé êíèãå - ÿ èìåþ â âèäó Âñåëåííóþ, - êîòîðàÿ âñåãäà îòêðûòà äëÿ íàñ, íî êîòîðóþ íåëüçÿ ïîíÿòü, íå íàó÷èâøèñü ïîíèìàòü ÿçûê, íà êîòîðîì îíà íàïèñàíà. À íàïèñàíà îíà íà ÿçûêå ìàòåìàòèêè, è åå áóêâàìè ÿâëÿþòñÿ òðåóãîëüíèêè, îêðóæíîñòè è äðóãèå ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû, áåç êîòîðûõ ÷åëîâåêó íåâîçìîæíî ðàçîáðàòü íè îäíîãî åå ñëîâà; áåç íèõ îí ïîäîáåí áëóæäàþùåìó âî òüìå. Ïîíàäîáèëîñü ïî÷òè 350 ëåò, ÷òîáû âûéòè çà ðàìêè ãàëèëååâñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ - äî òåõ ïîð, ïîêà Áåíóà Ìàíäåëüáðîò íå ðàçðàáîòàë ïîíÿòèå ôðàêòàëà. Áðîñàÿ âçãëÿä â ïðîøëîå, îí ðàçìûøëÿë â 1984 ãîäó:
Ïî÷åìó ãåîìåòðèþ ÷àñòî íàçûâàþò õîëîäíîé è ñóõîé? Îäíà èç ïðè÷èí çàêëþ÷àåòñÿ â åå íåñïîñîáíîñòè îïèñàòü ôîðìó îáëàêà, ãîðû, äåðåâà èëè áåðåãà ìîðÿ. Îáëàêà - ýòî íå ñôåðû, ãîðû - ýòî íå êîíóñû, ëèíèè áåðåãà - ýòî íå îêðóæíîñòè, è êîðà íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé, è ìîëíèÿ íå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî ïðÿìîé... Ïðèðîäà äåìîíñòðèðóåò íàì íå ïðîñòî áîëåå âûñîêóþ ñòåïåíü, à ñîâñåì äðóãîé óðîâåíü ñëîæíîñòè. ×èñëî ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáîâ äëèí â ñòðóêòóðàõ âñåãäà áåñêîíå÷íî.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå ôðàêòàëà âûäåëÿåò îáúåêòû, îáëàäàþùèå ñòðóêòóðàìè ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáîâ, êàê áîëüøèõ, òàê è ìàëûõ, è, òàêèì îáðàçîì, îòðàæàåò èåðàðõè÷åñêèé ïðèíöèï îðãàíèçàöèè.  îñíîâå ýòîãî ïîíÿòèÿ ñîäåðæèòñÿ îäíà âàæíàÿ èäåàëèçàöèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè: ôðàêòàëüíûå îáúåêòû ñàìîïîäîáíû, ò. å. èõ âèä íå ïðåòåðïåâàåò ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé ïðè ðàçãëÿäûâàíèè èõ ÷åðåç ìèêðîñêîï ñ ëþáûì óâåëè÷åíèåì. Õîòÿ ýòà èäåàëèçàöèÿ è ìîæåò îêàçàòüñÿ ñëèøêîì áîëüøèì óïðîùåíèåì äåéñòâèòåëüíîñòè, îíà íà ïîðÿäîê óâåëè÷èâàåò ãëóáèíó íàøåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïðèðîäû. Èññëåäîâàíèÿ Ìàíäåëüáðîòà ïîëó÷èëè øèðîêóþ èçâåñòíîñòü ïîñëå îòêðûòèÿ èì â 1980 ãîäó ìíîæåñòâà, íîñÿùåãî òåïåðü åãî èìÿ. Îí îáíàðóæèë ïðèíöèï, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî íåñêîëüêî íåîæèäàííûì ïóòåì îáðàçóåòñÿ öåëûé ìèð ñàìîïîäîáíûõ ñòðóêòóð.
Ýòà ïðè÷óäëèâàÿ ôîðìà (ñì. ðèñ.1) ìîæåò îêàçàòüñÿ îäíèì èç êëþ÷åâûõ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé íîâîé “íàòóðàëüíîé” ìàòåìàòèêè, òàê æå, êàê ïðÿìàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè.
Âîçìîæíî, íàèáîëåå óáåäèòåëüíûé àðãóìåíò â ïîëüçó èçó÷åíèÿ ôðàêòàëîâ - ýòî èõ áðîñàþùàÿñÿ â ãëàçà êðàñîòà.
Ãëàâà 2
ÌÛØËÅÍÈÅ Â ÎÁÐÀÇÀÕ
Ðàññìàòðèâàåìûå çäåñü ïðîöåññû âîçíèêàþò â ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ. Âñå îíè èìåþò îäíî îáøåå - ýòî êîíêóðåíöèþ íåñêîëüêèõ öåíòðîâ çà äîìèíèðîâàíèå íà ïëîñêîñòè. Ïðîñòûå ãðàíèöû ìåæäó òåððèòîðèÿìè â ðåçóëüòàòå òàêîãî ñîïåðíè÷åñòâà âîçíèêàþò ðåäêî. ×àøå èìååò ìåñòî íåñêîí÷àåìîå ôèëèãðàííîå ïåðåïëåòåíèå è íåïðåêðàùàþùàÿñÿ áîðüáà äàæå çà ñàìûå ìàëûå ó÷àñòêè.
Èìåííî â ýòîé ïîãðàíè÷íîé îáëàñòè ïðîèñõîäèò ïåðåõîä îò îäíîé ôîðìû ñóùåñòâîâàíèÿ ê äðóãîé: îò ïîðÿäêà ê áåñïîðÿäêó, îò íàìàãíè÷åííîãî ñîñòîÿíèÿ ê íåíàìàãíè÷åííîìó â çàâèñèìîñòè îò èíòåðïðåòàöèè òåõ ñóùíîñòåé, êîòîðûå ïðèìûêàþò ê ãðàíèöå. Ïîãðàíè÷íûå îáëàñòè â áîëüøåé èëè ìåíüøåé ìåðå çàìûñëîâàòî çàâèñÿò îò óñëîâèé, õàðàêòåðèçóþùèõ èçó÷àåìûé ïðîöåññ. Ïîðîé âîçíèêàåò òðåòèé êîíêóðåíò, êîòîðûé ïîëüçóåòñÿ ðàçíîãëàñèÿìè äâóõ äðóãèõ è íàñàæäàåò ñâîþ îáëàñòü âëèÿíèÿ. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî îäèí öåíòð çàõâàòèò âñþ ïëîñêîñòü, íî è åãî âëàñòü èìååò “ãðàíèöû” â âèäå èçîëèðîâàííûõ òî÷åê, êîòîðûå íåïîäâëàñòíû åãî ïðèòÿæåíèþ. Ýòî, òàê ñêàçàòü, “äèññèäåíòû”, íå æåëàþùèå “ïðèíàäëåæàòü”.
|
Ðèñóíêè ïðåäñòàâëÿþò ïðîöåññû, ÿâëÿþùèåñÿ, êîíå÷íî, âåñüìà óïðîøåííîé èäåàëèçàöèåé äåéñòâèòåëüíîñòè. Îíè ïðåóâåëè÷èâàþò íåêîòîðûå ñâîéñòâà, ÷òîáû ñäåëàòü èõ áîëåå ÿñíûìè. Íàïðèìåð, íåò íè îäíîé ðåàëüíîé ñòðóêòóðû, êîòîðóþ ìîæíî áûëî áû ïîñëåäîâàòåëüíî óâåëè÷èâàòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç è êîòîðàÿ âûãëÿäåëà áû ïðè ýòîì íåèçìåííîé. Òåì íå ìåíåå ïðèíöèï ñàìîïîäîáèÿ â ïðèáëèæåííîì âèäå èìååòñÿ â ïðèðîäå: â ëèíèÿõ áåðåãîâ ìîðåé è ðåê, â î÷åðòàíèÿõ îáëàêîâ è äåðåâüåâ, â òóðáóëåíòíîì ïîòîêå æèäêîñòè è â èåðàðõè÷åñêîé îðãàíèçàöèè æèâûõ ñèñòåì. À îòêðûë íàì ãëàçà íà ýòó ôðàêòàëüíóþ ãåîìåòðèþ ïðèðîäû Áåíóà Á. Ìàíäåëüáðîò. Íà ñàìîì äåëå ïðîöåññû, ïîðîæäàþùèå òàêèå ñòðóêòóðû, äîâîëüíî äàâíî èçó÷àþòñÿ â ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Ýòî îáû÷íûå ïðîöåññû ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, â êîòîðûõ îäíà è òà æå îïåðàöèÿ âûïîëíÿåòñÿ ñíîâà è ñíîâà, êîãäà ðåçóëüòàò îäíîé èòåðàöèè ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì äëÿ ñëåäóþùåé:
 C |
 |
 |
 |
| - |
| - |
Åäèíñòâåííîå, ÷òî ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ - íåëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ðåçóëüòàòîì è íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì, ò. å. äèíàìè÷åñêèé
çàêîí 
äîëæåí áûòü áîëåå ñëîæíûì, ÷åì ïðîñòàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü 
. Ñõåìàòè÷åñêàÿ äèàãðàììà óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ïðàâèëî
çàâèñèò îò ïàðàìåòðà c, âëèÿíèå êîòîðîãî áóäåò îáñóæäàòüñÿ íèæå.
Åñëè íà÷àòü èòåðàöèîííûé ïðîöåññ óêàçàííîãî âèäà ñ íåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ 
, òî åãî ðåçóëüòàòîì áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
, ïîâåäåíèå êîòîðîé ïî èñòå÷åíèè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ïåðèîäà âðåìåíè è áóäåò ñîñòàâëÿòü ïðåäìåò íàøåãî èíòåðåñà. Áóäåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòüñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ Õ, ñòðåìÿñü ê ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ?
10-09-2015, 22:30