Общие положения теории относительности

Миньковский сформулировал постоянство скорости света следую­щим образом.

При координатном преобразовании остается неизменным расстоя­ние между двумя точками, например путь, пройденный движущейся частицей. Чтобы вычислить это расстояние - путь, пройденный час­тицей, - нужно взять квадраты приращений трех координат, т.е. квадраты разностей между новыми и старыми значениями координат. Согласно соотношениям геометрии Евклида, сумма этих трех квадра­тов будет равна квадрату расстояния между точками.

Теперь мы прибавим к трем приращениям пространственных коор­динат приращение времени - время, прошедшее от момента пребывания частицы в первой точке до момента пребывания ее во второй точке. Эту четвертую величину мы также берем в квадрате. Нам ничто не мешает назвать сумму четырех квадратов квадратом "расстояния", но уже не трехмерного, а четырехмерного. При этом речь идет не о расстоянии между пространственными точками, а об интервале между пребыванием частицы в определенный момент в одной точке и и пре­быванием частицы в другой момент в другой точке. Точка смещается и в пространстве и во времени. Из постоянства скорости света вы­текает, как показал Миньковский, что при определенных условиях (время нужно измерять особыми единицами) четырехмерный пространс­твенно-временной интервал будет неизменным, в какой бы системе отсчета мы ни измеряли положения точек и время пребывания частицы в этих точках.

Само по себе четырехмерное представление движения частицы может быть легко усвоено, оно кажется почти очевидным и, в сущ­ности привычным. Всем известно, что реальные события определяются четырьмя числами: тремя пространственными координатами и време­нем, прошедшим до события с начала летосчисления, или с начала года, или от начала суток. Будем откладывать на листе бумаги по горизонтальной прямой место какого-либо события - расстояние это­го места от начального пункта, например расстояние до точки, дос­тигнутой поездом, от станции отправления. По вертикальной оси от­ложим время, когда поезд достиг этой точки, измеряя его с начала суток или с момента выхода поезда со станции отправления. Тогда мы получим график движения поезда в двумерном пространстве, на географической карте, лежащей на столе, а время показывать верти­калями над картой. Тогда мы не обойдемся чертежом, пнадобится трехмерная модель, например проволока, укрепленная над картой. Она будет трехмерным графиком движения: высота проволоки в каждой точке над лежащей картой будет изображать время, а на самой карте проекция проволоки изобразит движение поезда по местности.

Изобразим теперь не только перемещение поезда на плоскости, но и его подъемы и спуски, т.е. его движение в трехмерном прост­ранстве. Тогда вертикали уже не могут изобразить время, они будут означать высоту поезда над уровнем моря. Где е откладывать время

- четвертое измерение? Четырехмерный график нельзя построить и даже нельзя представить себе. Но математика уже давно умеет нахо­дить подобные геометрические величины, пользуясь аналитическим методом, производя вычисления. В формулы и вычисления наряду с тремя пространственными измерениями можно ввести четвертое - вре­мя и, отказавшись от наглядности, создать таким образом четырех­мерную геометрию.

Если бы существовала мгновенная передача импульсов и вообще сигналов, то мы могли бы говорить о двух событиях, происшедших одновременно, т.е. отличающихся только пространственными коорди­натами. Связь между событиями была бы физическим прообразом чисто пространственных трехмерных геометрических соотношений. Но, как уже говорилось, Эйнштейн в 1905 г. отказался от понятий абсолют­ной одновременности и абсолютного, независимого от течения време­ни. Теория Эйнштейна исходит из ограниченности и относительности трехмерного, чисто пространственного представления о мире и вво­дит более точное пространственно-временное представление. С точки зрения теории относительности в картине мира должны фигурировать четыре координаты и ей должна соответствовать четырехмерная гео­метрия.

В 1908 г. Миньковский представил теорию относительности в форме четырехмерной геометрии. Он назвал пребывание частицы в точке, определенной четырьмя координатами, "событием", так как под событием в механике следует понимать нечто определенное в пространстве и во времени - пребывание частицы в определенной пространственной точке в определенный момент. Далее он назвал со­вокупность событий - пространственно-временное многообразие - "миром", так как действительный мир развертывается в пространстве и во времени. Линию, изображающую движение частицы, т.е. четырех­мерную линию,каждая точка которой определяется четырьмя координа­тами, Миньковский назвал "мировой линией".

Длина отрезка "мировой линии" инвариантна при переходе от одной системы отсчета к другой, прямолинейно и равномерно движу­щейся по отношению к первой. В этом и состоит исходное утвержде­ние теории относительности, из него можно получить все ее соотно­шения.

Следует подчеркнуть, что геометрические соотношения, с по­мощью которых Миньковский изложил теорию относительности, подчи­няются Евклидовой геометрии. Мы можем получить соотношения теории относительности, предположив, что четырехмерное "расстояние" вы­ражается таким же образом через четыре разности - три разности пространственных координат и время, прошедшее между событиями, - как и трехмерное расстояние выражается в евклидовой геометрии че­рез разности пространственных координат. Для этого, как уже гово­рилось, необходимо только выразить время в особых единицах. Длина отрезка мировой линии определяется по правилам евклидовой геомет­рии, только не трехмерной, а четырехмерной. Ее квадрат равен сум­ме четырех квадратов приращений пространственных координат и вре­мени. Иными словами, это - геометрическая сумма приращений четы­рех координат, из которых три - пространственные, а четвертая - время, измеренное особыми единицами. Мы можем назвать теорию от­носительности учением об инвариантах четырехмерной евклидовой ге­ометрии. Поскольку время измеряется особыми единицами, то говорят о псевдоевклидовой четырехмерной геометрии.

Сумма квадратов четырех приращений - квадрат четырехмерного расстояния между событиями, квадрат длины отрезка мировой линии - не меняется при переходе от системы K к движущейся по отношению к ней системе K'. Четырехмерное "расстояние"является инвариантом преобразований четырехмерной геометрии, соответствующих переходу от одной системы отсчета K к другой системе K', движущейся отно­сительно первой прямолинейно и равномерно. Инвариантность следует из неизменности скорости света при переходе от K к K'.

В этой инвариантности выражается однородность четырехмерного мира. Выше говорилось, что в инвариантности длины трехмерного от­резка при переносе начала координат выражается однородность трех­мерного пространства. Теперь мы можем инвариантность четырехмер­ного отрезка мировой линии рассматривать как45 выражение однород­ности и изотропности четырехмерного пространства-времени.

Однородность пространства выражается в сохранении импульса, а однородность времени - в сохранении энергии. Можно ожидать, что в четырехмерной формулировке закон сохранении импульса и закон сохранения энергии сливаются в один закон сохранения энергии и импульса. Действительно, в теории относительности фигурирует та­кой объединенный закон импульса.

Однородность пространства-времени означает, что в природе нет выделенных пространственно-временных мировых точек. Нет собы­тия, которое было бы абсолютным началом четырехмерной, пространс­твенно-временной системы отсчета. В свете идей, изложенных Эйн­штейном в 1905 г., четырехмерное расстояние между мировыми точка­ми, т.е. пространственно-временной интервал не будет меняться при совместном переносе этих точек вдоль мировой линии. Это значит, что пространственно-временная связь двух событий не зависит от того, какая мировая точка выбрана в качестве начала отсчета, и что любая мировая точка может играть роль подобного начала.

Однородность пространства стала исходной идеей науки после того, как Галилей и Декарт, сформулировав принцип инерции и прин­цип сохранения импульса, показали, что в мировом пространстве нет выделенной точки - начала привилегированной системы отсчета, что расстояния между телами и их взаимодействия не зависят от движе­ния состоящей из этих тел материальной системы. Однородность вре­мени стала исходной идеей науки после того, как физика XIX века, сформулировав принцип сохранения энергии, показала независимость процессов природы от их смещения во времени и отсутствие абсолют­ного начала отсчета времени. Теперь исходной идеей науки стано­вится однородность пространства-времени.

Таким образом, идея однородности является стержневой идеей науки XVII-XX вв. Она последовательно обобщается, переносится с пространства на время, и далее, на пространство-время.

В отличие от известной классической физике однородности пространства и времени, взятых порознь, однородность пространс­тва-времени была бы нарушена, если бы в некоторой области проис­ходила мгновенная передача сигнала. Примером могла бы служить аб­солютно твердая частица, целиком заполняющая занятый ею объем пространства и неспособная к деформации. Через занятое такой час­тицей пространство импульс передавался бы мгновенно, и мы, таким образом, столкнулись бы с физическим эквивалентом трехмерной гео­метрии, с пространством, существующим независимо от времени.

В 1911-1916 гг. Эйнштейн создал общую теорию относительнос­ти. Теория, созданная в 1905 г., называется специальной теорией относительности, так как она справедлива лишь для специального случая, прямолинейного и равномерного движения. Распространение света, как и вообще, все механические и электродинамические про­цессы, протекает неизменным образом, если перейти от покоящейся системы K к к системе K', движущейся по отношению к К прямолиней­но и равномерно. Поэтому, не выходя за пределы движущейся системы нельзя зарегистрировать ее прямолинейное и равномерное движение, ни механическим, ни оптическими (электродинамическими) опытами. В системе, движущейся прямолинейно и равномерно, движение не вызы­вает внутренних эффектов. В поезде, движущемся без ускорения, не происходит ничего, что продемонстрировало бы пассажирам его дви­жение. Это движение имеет относительный смысл, поезд движется от­носительно Земли и находящихся на Земле неподвижных предметов. С тем же правом можно сказать, что Земля движется относительно по­езда; нельзя найти такие явления в поезде, которые указывают на неравноценность этих двух утверждений. Иное дело - ускоренное движение. В связи с ньютоновым понятием абсолютного движения уже говорилось, что пассажир убеждается в ускорении поезда, ощущая толчок, вызванный силой инерции и направленный назад, когда поезд набирает скорость, и вперед, когда машинист начинает торможение и поезд теряет скорость. Таким образом, ускоренное движение создает внутренние эффекты в движущейся системе.

В этом случае уже как будто нельзя говорить о равномерности движущихся систем. Если движение поезда относить к Земле, т.е. считать Землю неподвижной, то ускорение поезда приводит к толчку; если же считать неподвижным поезд и считать, что поверхность Зем­ли с ускорением движется относительно поезда, то находящийся в поезде пассажир не почувствует толчка. Таким образом, фраза "по­езд движется относительно Земли" и фраза "Земля движется относи­тельно поезда" в случае ускоренного движения имеют различный фи­зический смысл: они описывают различные ситуации, сопровождающие­ся различными эффектами. Поэтому принцип относительности применим лишь к равномерному и прямолинейному движению, движению по инер­ции. Ускоренное движение не подчинено этому принципу, в силу чего теория относительности, выдвинутая Эйнштейном в 1905 г., и назы­вается специальной теорией относительности.

Долгие годы у Эйнштейна созревала мысль о подчинении уско­ренного движения принципу относительности и создании общей теории относительности, рассматривающей не только инерционные, но и все­возможные движения. Является ли толчок при ускорении или замедле­нии поезда, иными словами - сила инерции, действующая на пассажи­ра, абсолютным признаком движения? Не может ли возникнуть в не­подвижном поезде сила, которую нельзя отличить от силы инерции?

Сила инерции действует единообразно на все предметы, находя­щиеся в поезде. Когда локомотив придаст поезду резкое ускорение, все находящиеся в поезде предметы с одним и тем же ускорением, обязанным силе инерции, будут стремиться в сторону, противополож­ную движению поезда.Существует сила, которая также действует еди­нообразно на все тела. Это - сила тяжести.

Если бы дорога имела очень крутые подъемы, мы не смогли бы определить, что именно толкает назад пассажиров и их вещи - сила тяжести, действующая на них, когда поезд, движущийся равномерно по полотну дороги,поднимается в гору, или сила инерции, действую­щая на поезд, испытывающий в этот момент ускорение на равнине. Обе они действуют единообразно, поскольку инертная масса тела пропорциональна его весу.

Эйнштейн говорил не о поезде, а о кабине лифта. Представим себе, что кабина поднимается с ускорением вверх, причем сила тя­жести в это время не действует на кабину.

Сила инерции будет толкать людей в сторону, противоположную ускорению кабины, т.е. вниз, и будет прижимать подошвы людей к полу кабины. Сила инерции толкнет по направлению к полу подвешен­ные к потолку кабины грузы и потянет нити, на которых эти грузы подвешены. Но является ли это доказательством ускоренного движе­ния кабины? Нет, в неподвижной кабине, испытывающей действие зем­ного тяготения, те же эффекты производятся силой тяжести.

Эйнштейн назвал принципом эквивалентности утверждение о рав­ноценности силы тяжести, действующей на систему, и силы инерции, проявляющейся при ускоренном движении. Этот принцип позволяет рассматривать ускоренное движение как относительное. В самом де­ле, проявления ускоренного движения (силы инерции) ничем не отли­чаются от сил тяжести в неподвижной системе. Значит, нет внутрен­него критерия движения, и о движении можно судить лишь по отноше­нию к внешни телам. Движение, в том числе ускоренное движение те­ла A, состоит в изменении расстояния от некоторого тела отсчета B, причем мы с тем же правом можем утверждать, что B движется от­носительно A.

Но чтобы принцип эквивалентности позволил рассматривать ус­коренное движение как относительное, необходима одна чрезвычайно важная физическая предпосылка. Пусть кабину лифта пересекает све­товой луч. Когда кабина поднимается, свет, попав в кабину через боковое окошечко, достигает противоположной стены несколько ниже: пока свет пересечет кабину, она уйдет вверх. Когда кабина непод­вижна и находится в поле тяготения, подобный эффект будет иметь место, если тяготение действует и на свет, т.е. если свет облада­ет тяжелой массой.

Этот вывод был очень важным моментом в развитии теории отно­сительности. Математические расчеты и условные картины привели к заключению, которое могло быть проверено экспериментом. В истории физики известен опыт "взвешивания света" - наблюдение искривления светового луча вблизи Солнца. Задолго до этой проверки Эйнштейну пришлось решить другую теоретическую проблему.

Дело в том, что действующие на систему тяготение и ускорение системы вызывает один и тот же эффект только тогда, когда силы тяжести увлекают тела в одном и том же направлении, по параллель­ным линиям. Но лишь в очень малых областях направления силы тя­жести можно считать параллельными. В больших областях силы тяжес­ти действуют по различным направлениям, и это создает существен­ное различие между эффектом тяжести и эффектом ускорения системы. Вернемся к кабине лифта. При ее ускоренном подъеме нити, натяну­тые подвешенными грузами, будут параллельны. Тяжесть же натянет их по направлениям, строго говоря, не параллельным, а пересекаю­щимся в центре Земли. В кабине лифта этим различием можно пренеб­речь. Но если бы кабина лифта имела в поперечнике несколько сотен километров, различие стало бы заметным. Тем самым была бы наруше­на эквивалентность тяготения и ускорения и мы получили бы абсо­лютный критерий ускоренного движения в виде параллельного движе­ния нитей.

Как же распространить принцип относительности на ускоренные движения в больших областях? В поисках ответа на этот вопрос Эйн­штейн пришел к идее, которая резко отличается по своему характеру от классических идей. Она отличается от них не только по содержа­нию, по физическому смыслу, по лежащему в ее основе представлению о мире.Общая теория относительности открыла собой новую полосу в истории науки еще и потому, что она изменила соотношение между геометрическими и собственно физическими построениями. Раньше, до Эйнштейна, эти построения не сливались в единую теорию. Под гео­метрией когда-то подразумевали совокупность раз навсегда данных абсолютно бесспорных и непоколебимых теорем, выводимых из аксиом и постулатов, сформулированных в древности Евклидом. Потом узнали о возможности иных, неевклидовых геометрий, допускающих неравенс­тво суммы углов треугольника двум прямым углам, пересечение пер­пендикуляров, восстановленных из двух точек на одной и той же прямой, расхождение перпендикуляров к одной и той же прямой и другие соотношения, противоречащие евклидовой геометрии. Уже Ло­бачевский, как мы знаем, предполагал, что физические процессы в пространстве могут придать ему неевклидовы геометрические свойс­тва.

Эйнштейн отождествил тяготение, искривляющее мировые линии движущихся тел, с искривлением пространства-времени. Эта идея всегда будет образцом смелости и глубины физической мысли и вмес­те с тем образцом нового характера научного мышления, находящего реальные физические эквиваленты евклидовых и неевклидовых геомет­рических соотношений.

Тело, предоставленное самому себе, движется по прямой в трехмерном пространстве. Оно движется по прямой в четырехмерном пространственно-временном мире, так как на графике "пространс­тво-время" каждый сдвиг по оси времени (каждое приращение време­ни) сопровождается одним и тем же приращением пройденного прост­ранственного расстояния. Таким образом, движениям по инерции со­ответствуют прямые мировые линии, т.е. прямые четырехмерного пространства-времени. ускоренным движениям соответствуют кривые мировые линиичетырехмерного пространственно-временного мира.

Тяготение сообщает телам одно и то же ускорение. Оно сообща­ет такое же ускорение и свету. Следовательно, тяготение искривля­ет мировые линии. Если бы прямые, начерченные на плоскости, вдруг оказались кривыми, причем обрели бы одну и ту же кривизну, мы предположили бы, что плоскость искривилась, стала искривленной поверхностью, например поверхностью шара.Быть может, тяготение, единообразно искривляющее мировые линии, означает, что пространс­тво-время в данной мировой точке (в данном пространственном пунк­те и в данный момент времени) приобрело определенную кривизну. Изменение сил тяготения, изменение интенсивности и направления тяжести, можно тогда рассматривать как изменение кривизны прост­ранства-времени.

Кривизна линии не требует пояснения. Кривизна поверхности также вполне наглядное представление. Мы знаем, что на кривой по­верхности, например поверхности земного шара, теоремы евклидовой геометрии на плоскости перестают быть справедливыми. Вместо пря­мых кратчайшими линиями становятся иные геодезические линии, нап­ример в случае поверхности шара дуги большого круга: чтобы чтобы проехать кратчайшим путем с севера на юг, нужно двигаться по дуге меридиана. На геодезическую линию, заменяющую собой прямую, из одной точки можно опустить множество различных перпендикуляров, например из полюса на экватор. Мы не


10-09-2015, 22:57