Теоретическая механика (лекции)

Статика

Статика- это раздел теор.мех., в которой изучаются условия равновесия матер.точек, тв.тел., мех.систем, при условии действия на них со стороны других тел сил и моментов сил.

Сила- это векторная величина, а Þ как для любой векторной вел-ны для силы важным явл-ся точка приложения, направление и величина силы.

[F]=1H=1(кг´м)/с² . Р=mg-сила тяжести.

Аксиомы статики:

1.Система 2^х сил, равных по величине, противоположно направленных и лежащих на одной прямой эквивалентна 0. {F₁ , F₂ }~0 – это означает, что силы уравновешены.

Следствие: Если тело под действием 2^х сил находится в равновесии, то обязательно эти силы = по величине , противоположны по направлению и лежат на одной прямой.

2.Если к системе сил добавить или отнять систему сил эквивалентных нулю, то состояние системы не изменится.

Следствие: сила-вектор скользящий. F₁ =F₂ =F₂ ^’ =0, {F₁ , }~{F₁ =F₂ ^’ =F₂ }~{F₂ ^’ }, {F1;F2}~0.

3.Связи, наложенные на тело можно отбросить, заменив их действия реакциями.

Основные виды связи и их реакции.

Абсолютно гладкая поверхность.

Реакция абсолютно гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям.

Реакция в подвижном шарнире направлена ^ к направлению его возможного перемещения.

Жесткость заделки не дает двинуть ни по х, ни по у, ни повернуть.

4.Силы складываются по правилу параллелограмма.

Следствие: теорема косинусов.

5.Любое действие вызывает равное и противоположное по направлению противодействие (III Ньютона).

6.Принцып отвердевания. Равновесие тела от наложения на него дополнительных связей.

Некоторые понятия статики.

Равнодействующая систем сил мы будем называть силу, действие которой эквивалентно действию системы сил.

R^* ~{F₁ ;F₂ ;F₃ ;…;F_n } тогда мы можем сказать, что система сил вида ~{F₁ ;F₂ ;F₃ ;…;F_n -R^* }эквивалентна нулю. Такая система сил наз-ся уравновешенной или равновесной.

Алгебраический момент силы относительно точки. Алг.моментом силы отн-но точки будем называть произведение силы на плечо, взятое со знаком + или -. Плечо-это кратчайшее растояние от моментной точки до линии действия силы, измеряемое перпендикуляром.

М(F)=±Fh. + берем в том случае, если сила вращает тело против часовой стрелки, - по ходу часовой стрелки.

Алгебраический момент силы относительно точки =0, если линия действия силы проходит через точку. М(F)=±Fh=2S_{D OAB}

Векторный момент силы относительно точки –наз-ся векторное произведение r на F.

М(F)=[r´F].

Векторн.момент направлен ^ плоскости, в которой лежат вектора r и F в ту сторону, что с конца этого вектора вращение, производимое силой кажется видно против часовой стрелки.

Численно векторный момент равен ½М₀ (F)½= ½F½´ ½r½´sin(r; F); ½М₀ (F)½= ½F½´ h=2S_{D OAB} .

Момент-вектор свободный, т.е.его можно переносить параллельно самому себе.

Сходящиеся силы –такие силы, линия действия которых пересекаются в одной точке (их всегда можно сложить и получить равнодействующую силу сходящихся сил). R^* =åF_k .

Для того, чтобы система сход.сил находилась в рановесии необходимо и достаточно, чтобы R^* =0 (геометрическое условие равновесия сход.сил).

åF_kх =0 – аналитическое условие равновесия системы сходящихся сил.

åF_kу =0

åF_kz =0

Проекция силы на ось . По определению проекция силы на ось – это есть скалярная алгебраическая вел-на определяемая по ф-ле: F_x =Fcosa, где a-угол между направлением силы и осью.

Для равновесия системы сход.сил на плоскости необходимо и достаточно 2 ур-я: åF_kх =0 ; åF_kу =0 если все силы с плоскости хоу: F₁ , F₂ ,…, F_n , Îхоу.

Теорема о тех силах. Если тело под действием 3-х сил находится в равновесии, причем линии действия двух из них пересекаются, то линия действия 3-й силы пройдет через точку пересечения первых двух сил и все силы лежат в одной плоскости.

{F₁ ;F₂ ;F₃ }~{R, F₃ }~0

Теорема об n силах. Если тело находится в равновесии под действием n сил, причем n-1 из них пересекаются в одной точке, то лииня действия n-ой силы обязательно пройдет через точку пересечения n-1 силы.

Момент силы отн-но оси. Моментом силы отн-но оси наз-ся алгебраический момент проекции силы на пл-ть, ^ оси относительно точки пересечения оси с пл-тью.

М_z (F)=±F^’ h=±2S_{D OA’B’}

Момент силы относительно оси =0, если сила ½½ оси или линия действия силы пересекает ось. Момент силы относительно оси =0, если сила и ось в одной плоскости.

М_z (F)=½М₀ ( F)½cosa

Момент силы отн-но оси – это есть проекция вектора момента силы отн-но любой точки оси на эту ось.

S_{D OA’B’} =S_{D OAB} cosa.

Произведение площади проецир.фигуры на cos угла между фигурой и осью равно площади проекции фигуры.

1/2 М_z (F)=1/2½М₀ ( F)½cosaÞ М_z (F)=½М₀ ( F)½cosa=½М_{0 1} ( F)½cosa₁

М₀ ( F)=[r´F]= i j k

x y z

F_x F_y F_z = (yF_z – zF_y )i+(zF_x -xF_z )j+(xF_y -yF_x )k

М_x ( F)= yF_z – zF_y ; M_y (F)=zF_x -xF_z ; M_z =xF_y -yF_x .

М_z (F)=±F^’ h=±2S_{D OA’B’}

Пара сил.

Парой сил наз-ся 2 силы равные по вел-не, противоположно направленные и не лежащие на одной прямой.

F₁ =F₁ ’=F, d-плечо пары . Пара сил эквивалентна моменту. Момент пары сил ^-ый плоскости пары направлен в ту сторону, что с конца этого вектора вращение, производимое парой кажется видным против часовой стрелки. Численно вектор момент равен произведению сил на плечо. пары .

½М₁ ( F₁ , F₁ ’)½=Fd=S_{ð OABC} . М_мо (F₁ )=[r₁ F₁ ]; М_мо (F₁ ’)=[r₂ F₁ ’]= М_мо (F₁ ’)+ М_мо (F₁ )=[r₁ F₁ ]+[r₂ F₁ ]= [(r₁ - r₂ )F₁ ]=[BO F₁ ]; М₁ ( F₁ , F₁ ’) =[BO F₁ ].

Пара сил не имеет равнодействующей, но она эквивалентна моменту.

Момент пары сил равен векторному моменту одной силы пары относительно любой точки, лежащей на линии действия другой силы пары.

Отонсительно любой точки сумма момента пары равна моменту пары.

Очевидно, что поскольку момент пары сил определяется вектором моментом, то 2 пары сил мы будем называть эквивалентными если у них одинаковы векторы моменты. Отсюда следует, что пару сил в плоскости действия пары можно поворачивать как угодно, изменять растояние между силами, сохраняя при этом величину вектора момента, оставаясь при этом в плоскости действия пары. Все это эквивалентные преобразования пар сил.

Пару сил можно переносить параллельно самой себе, при этом эквивалентные пары сил будут сохраняться.

Если на тело действует пара сил и тело находится в равновесии, то условие равновесия под действием пары сил имеет вид: åМ ( F_к , F_к ’)=0.

Две пары сил можно сложить, при этом векторный момент пары сил эквивалентны двум складываемым парам, равен сумме моментов пары сил. М=М₁ +М₂ .

åМ_х ( F_к , F_к ’)=0

åМ_у ( F_к , F_к ’)=0

åМ_z ( F_к , F_к ’)=0 –аналитические условия равновесия для пар сил.

Приведение системы сил к заданному центру.

Вспомогательные теоремы:

При переносе силы в заданный центр возникает момент, равный векторному моменту силы относительно заданного центра.

F=F₁ =F₁ ’

(F₁ ;F₁ ’)=M_o (F),

{F}~{F;F₁ ;F₁ ’}~{L_o ;F₁ }

Основная теорема статики (теор. Пуансо):

При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил и главный момент М_о , равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения.

R=åF_k

L_o =åM_o (F_k )

Условия равновесия для произвольной простр.системы сил, а также следствия из этих уравнений.

R=0 и L_o =0 –ур-я равновесия. Им соотв-ют 6 скалярных алгебраических ур-1 равновесия для простр.системы сил:

åF_kх =0 åF_kу =0 åF_kz =0 åМ_х (Fk)=0 åМу(Fk)=0 åМz(F_k )=0 – аналитическое условие равновесия для произвольной системы сил.

Пусть все силы Î пл-ти хоу, тогда: åF_kх =0 åF_kу =0 åМо(Fk)=0 условие равновесия для произвольной плоской системы сил.

Условие равновесия для плоской системы параллельных сил.

Пустьсилы ôô оси оу, тогда åF_kх =0 åМо(Fk)=0

Условие равновесия для пространственной системы параллельных сил.

F₁ , F₂ , F₃ ,…,F_n ôô оси оz, тогда: åF_kz =0 åМ_х (Fk)=0 åМу(Fk)=0

Вторая форма условия равновесия для пороизвольной плоской системы сил:

åМ_А (Fk)=0 åМ_В (Fk)=0 åМ_С (F_k )=0 – причем т.А, т,В, т.С Ï одной прямой.

- Докажем необходимость этих условий:

Допустим, система сил нах-ся в равновесии. Тогда очевидно, что å моментов всех сил относительно любой точки пл-ти=0, т.е. выполняются эти 3 условия.

- Докажем достаточность этих условий:

Доказать достоточность – это значит доказать, что при выполнении этих усл-й система нах-ся в равновесии. Доказывать будем методом от противного, поэтому предположим, что эти усл-я выполняются, но система не нах-ся в равновесии, т.е. существует R*¹0 эквив.данной сист.сил.

Рассмотрим усл-е первое и 2-е: для того, чтобы они выполнялись необходимо, чтобы R* проходил через т.А и т.В. Согласно третьему условию hR=0. Поскольку т.С Ï прямой АВ это может выполняться только в случае R*=0, т.е. наше предположение не верно и система действительно нах-ся в равновесии.

Третья форма усл-я равновесия для произвольной плоской системы сил.

åF_kz =0 åМ_А (Fk)=0 åМ_В (Fk)=0 – причем ось ох не перпендикулярна АВ.

- Необходимость этого усл-я очевидна, т.к.если система нах-ся в равновесии, то главный вектор и главный момент =0 относительно любой точки.

- Докажем достаточность этих условий:

Предположим, что система не нах-ся в равновесии и сущ-ет, т.е. сущ-ет R* и R* ¹0 является равнодействующей данной системы сил. Для того, чтобы выполнялось усл-е 2 и 3 необходимо, чтобы R* проходил через АВ.

Потребуем выполнения усл-я R*cosa=0, поскольку х не перпендикулярна АВ , то R* должно быть равно 0, т.о. мы доказали, что эти усл-я достаточны для того чтобы система находилась в равновесии.

На основании двух изложенных форм ур-й равновесия для плоской системы параллельных сил можно записать еще один вид ур-я равновесия для плоской системы параллельных сил:

åМ_А (Fk)=0 åМ_В (Fk)=0, АВ не параллельна F₁ , F₂ , F₃ ,…,F_n

Теорема Вариньона:

Момент равнодействующей отн-но кокой-либо точки равен сумме моментов, составляющих данную равнод.сил относит-но того же центра.

{F₁ ,F₂ ,…, F_n }~R*, {F₁ ,F₂ ,…, F_n , -R*}~0, åМ_о (Fk)= М_о (R*)

Произволь.плоская система сил. Частный случай приведения произволь.плоской сист.сил.

Плоск.сист.сил хар-ся тем, что гл.вектор и гл.момент перпендикулярны др.другу: Lo^R.

Частные случаи:

1.Гл.момент Lo=0; R¹0 – в этом случае система сил приводится к равнодействующей, причем R*=R. Если центр приведения лежит на линии действия силы R, то ситуация не изменится и сист.сил опять будет приводится к равнодействующей.

2.Пусть Lo¹0; R¹0. Покажем, что в этом случае сист.сил можно привести к равнодействующей.

R=R₁ =R₁ ’; [L_o ] ~{R₁ ;R₁ ’}; {R₁ ;R₁ ’}~0; причем повернем эту пару сил так, чтобы R и R₁ лежали на одной прямой, тогда видим, что сист.сил {R₁ ;R₁ ’}~0

{R;L_o }~ {R=R₁ =R₁ ’}~{R₁ ’}. D=L_o /R.

3.Пусть R=0, L_o ¹0. В этом случае система сил приводится к паре. Причем вне зависимости от вцыбора центра приведения система сил будет приводится к одной и той же паре сил с моментом L_o . Т.к.главный вектор не зависит от выбора центра приведения.

Статически определимые и стат.неопределимые задачи.

Задачи наз-ся стат.определимыми и соответств.этой задаче мех.система наз-ся стат.определимой, если число неизвесных реакций связи не превышает числа ур-й статики, которые можно составить для решения этой задачи.

Задачи наз-ся стат.неопределимыми, если число неизвестных реакций связей превышает число ур-й статики. В теор.механике рассм-ся и решаются только статически определимые задачи.

Ужно заменить неподвижный шарнир на подвижный.

Составные конструкции.

1.Х_А -F₁ cosa+X_C =0

2.-X_C ’+F₂ +X_B =0

Х_А - F₁ cosa+ F₂ +X_B =0

R_c =R_C ’; M_C =M_C ’

В РГР: после составления 6 ур-й равновесия проверить правильность найденных реакций связи при помощи ур-я, которое не участвовало в решении.

Распределенная нагрузка

Q=[н/м], l=[м]. Q=òqdx=qòdx=ql

Q(x)=(q/l)x, Q=òq(x)dx=(q/l)òxdx=(q/l)(x² /2)½= (ql)/2.

dQ=q(x)dx, [(ql)/2]b=òq(x) xdx=(q/l) ò x² dx=(q/l)(x³ /3)½= (ql)/3.

[(ql)/2]b= (ql)/3Þb=(2/3)l.

Вывод: в общем случае вел-на сосредоточенной силы равна площади распределенной на оси и приложена она в центре тяжести.(Все это касается распределенной нагрузки параллельн.между собой силам).

Сила трения скольжения . Законы Кулона для F_{тр.ск .} :

1)Сила трения скольжения лежит в интервале 0£ F_тр £ F_мах ;

2) Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся тел, а зависит лишь от силы давления этого тела на поверхность

3)Сила тр.скольжения опр-ся по ф-ле: F_тр =fN, N-сила реакции опоры =Р, f-коэф-т трения скольжения

4)Коэф-т трения скольжения завис.от шероховатостей пов-тей трущихся тел, от температуры, от физич.состояния материала.

Момент трения качения .

N=P.

М_тр.кач. =dN, d-коэф.трения качения

В динамических ур-ях сила трения скольженич и момент трения качения входят в правые части ур-я. Правило со знаком -.

Конус трения.

Угол a образуется между силой R и N, причем сила R-это равнодействующая силы N и максимальной силы трения.

tga= F_тр /N=f-коэф.трения

Конус, построенный на силе R с углом a наз-ся конусом трения.

Если сила R_А оказывается внутри конуса, то тело нах-ся в равновесии.

Т.о. если какая-то активная сила нах-ся внутри конуса и лежит на его образующей, то тогда тело нахся в равновесии. Если сила R_А нах-ся вне конуса трения, то тогда тело нге может находится в равновесии.

Взаимодействие трения качения и трения скольжения.

Тело нах-ся в равновесии:

dР= М_тр.кач. =rQ,

fP= F_тр =Q

Если Q<(d/r)P (1) , (2) то тоже тело нах-ся в равновесии

1 )Q<(d/r)P,d/r£f тело нах-ся в равновесии

2) Q> (d/r)P , Q>fP в этом случае происходит качение, но без скольжения

3) Q> (d/r)P , Q<fP в этом случае происходит качение со скольжением

4) Q< (d/r)P , Q>fP чистое скольжение

Поскольку в основном выполняется условие 1, то качение наступает быстрее, чем скольжение и поэтому подшипники намного эффективнее, чем скользящие приспособления.

Аналогично моменту трения качения можно ввести момент трения верчения, Коэф-т трения верчения меньше, чем коэя-т трения качения.

Произвольная простр.система сил Частный случай приведения произвольной простр.системы сил. Инвариантная система сил.

Представим себе, что мы привели систему к какому-либо центру 0, что произойдет с сист.сил, если изменить центр приведения на некий новый центр О₁ .

L_o -векто свободный

{R’’, R’}~0

R=R’=R’’

M_O1 =[O₁ O ´R]

L_O1 =L_O +[O₁ O ´R]= L_O -[O₁ O ´R’]

При перемене центра приведения главный вектор сохраняется, а гл.момент меняется на вел-ну момента силы отн-но нового центра приведения.

Инвариантом наз-сятакая вел-на, кот-я не меняется при изменении центра приведения.

Т.о. мы обнаружили 1-й инвариант-это главный вектор.

(L_O1 ´R)=(( L_O +[O₁ O ´R] )R)

(L_O1 ´R)=( L_O ´R)+( [O₁ O ´R] R)

(L_O1 ´R)=( L_O ´R)

L_O1 ´cosa₁ = L_O ´ cosa -эта запись второго инварианта в др.форме: Проекция главного момента на направление главного вектора величина неизменная.

L_1x R_x + L_1y R_y + L_1z R_z = L_x R_x + L_y R_y + L_z R_z

Частный случай приведения произвольной плоской системы сил.

1)Приведение системы сил к паре сил

В этом случае L_O ¹0, R=0. При изменении центра приведения главный момент не меняется.

2)Система сил приводится к равнодействующей

а)R*=R; L_O =0

Относительно любой точки, лежащей на линии действия равнодействующей система сил всегда будет приводится к равнодействующей R, но отн-но какого-либо др.центра приведения сист.сил уже не будет приводиться к равнодействующей.

Б) L_O ¹0 R¹0, L_O ^ R.

Покажем, что в этом случае сист.сил приводится к равнодействующей.

R=R’=R*

{R, L_O }~{ R=R’=R*}~{R*}

L_O =Rd

{R, R’}~0

В этом случае сист.приводится к равнодействующей, кот.лежит на растоянии d от линии дей-я силы R , определяемое по ф-ле: d=L_o /R

3)Система сил приводится к Динамо. Это когда гл.вектор и гл.момент лежат на одной прямой.

Случай, когда сист.сил приводится к Динамо

L_O ¹0 R¹0, причем L_O не^ R.

L_O1 =L_O cosa;

L_O2 =L_O sina; d=L_O2 /R

Уравнение динамической оси.

L_О1x /Rx= L_О1y /Ry= L_О1z /Rz-ур-е прямой в простанств.сист.координат

L_О1 = L_О +[O₁ O ´R]

L_О1 = L_О +[OO₁ ´R’]

[L_Оx +(y Rz -z Rx]/ Rx=[L_Оy +(z Rx -x Rz]/ Ry=[L_Оz +(x Ry -y Rx]/ Rz –уравнение динамической линии(ур-е прямой на которой выполняется динамо)

[L_Оx +(y Rz -z Ry]/ Rx=[L_Оy +(-x Rz +z Rx]/ Ry=[L_Оz +(x Ry -y Rx]/ Rz

i j k

x y z

Rx Ry Rz

[L_Оx -(y Rz’ -z Ry’]/ Rx=[L_Оy -(z Rx’ -x Rz’]/ Ry=[L_Оz -(x Ry’ -y Rx’]/ Rz

Равнодействующая 2-х параллельных сил,направл-х в одну сторону

R*=F₁ +F₂

F₁ /F₂ =а/в, F₁ ´а= F₂ ´в

М_R* (F₁ )=- М_R* (F₂ ); L_O -гл.момент

При пирведении сист.сил к какому-либо центру у нас появляется гл.вектор = сумме всех сил и гл.момент = сумме моментов всех сил отн-но того же центра. Поэтому равнодействующая 2-х параллельных сил, напр-х в одну сторону (лежит) и проходит между этими силами, по вел-не равна сумме этих сил и приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части обратно пропорциональные силам.

Равнодействующая 2-х параллельныхсил, напр-х в разные стороны

F₂ > F₁ , R*= F₂ - F₁ , F₁ /F₂ = а/в, F₁ /а= F₂ /в=( F₂ - F) /в-а, F₁ ´в= F₂ ´а, М_с (F₂ )= Мс(F₁ );

Равнод-я 2-х парал-х сил, напр-х в разные стороны, лежит за линией действия большей силы, равна по модулю разности двух этих сил и приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части, обратно пропорциональные силам внешним образом.

Очень важно, что силы не равны между собой.

Центр параллельных сил.

Т.С –центр парал-х сил.

R*=låF_i ,

На основании теоремы Вариньона запишем: момент равнодействующей относит.какого-либо центра равен сумме моментов всех сил относит.того же центра

М_о (R*)= åМ_о F_к ,

[r_c ´R*]= å[r_к ´F_к ]

[r_c ´(åF_i )l] - å[r_к ´F_к l]=0

[(åF_i r_c - åF_k r_k ) ´l]=0

Т.к. вектор l отличен от 0, то из этого соотношения следует, поскольку вектор l выбирают произвольно, то r_c åF_к - åF_k r_k =0 Þ r_c =(åF_k r_k )/ åF_к формула нахождения центра тяжести.

Нахождение центров тяжести

r_c =(åР_k r_k )/ åР_к –ф-ла нах-я ц.т.

Р₁ =m₁ g; P_k =m_k g; P_n =m_n g.

r_c =(åm_k r_k )/ M–ф-ла нах-я ц.т.

M=åm_k

x_c =(åm_k x_k )/ M; y_c =(åm_k y_k )/ M; z_c =(åm_k z_k )/ M

Для сплошного однородного тела имеем след.ф-лу для нах-я центра масс.

x_c =(òх dV)/V; y_c =(òу dV)/V; z_c =(òz dV)/V; V=òdV

Для тел, масса кот-х распределена по пов-ти небольшой толщины имеем след-е ф-лы:

x_c =(òх


29-04-2015, 01:39