Для тел, масса кот-х распределена по длине (типа проволоки):
xc =(òх dl)/L; yc =(òу dl)/L; zc =(òz dl)/L; L=òdl
Свойства центров масс
Если тело имеет ось симметрии, плоскость симметрии, то центр масс обязательно располагается на них.
Метод отрицательных масс.
S1 -вся площадь
S2 - площадь выреза
С –центр масс тела без выреза площади S2
xc =[(S1 -S2 )xc *+ S2 xc2 ]/S1
xc *= (xc S1 - xc2 S2 )/( S1 - S2 )
c*-центр масс тела с вырезом
Из этой ф-лы следует, что если надо опр-ть центр масс тела, у кот-х есть вырез, то надо считать, что в вырезе сосредоточена отрицательная масса.
Цент тяжести некоторых простейших тел.
Разбиение на ¥
ВД-медиана
ВС*/С*Д=2/1
Центр тяжести в точке пересечения медиан.
Центр тяжести дуги.
Ус =0, хс =òхdl/L
L=2ar
х=rcosj; dl=rdj;
хc =(1/2ar) òr2 cosj dj =(r/2a)sinj ½= (r/2a)2sina= (r sina)/a;
Ц.т.кругового сектора
хс =(2/3) (r sina)/a);
Ц.т.кругового сегмента
хс =[S2 xc2 – S1 xc1 ]/(S2 – S1 )
S2 =a r2
S1 =(1/2)r2 sin 2a
2p - p r2 , 2a - x, x=(2a/2p)p r2 ,
xc ={[(a r2 )(2/3)r (sin a/a)]-[(1/2) r2 sin 2a][(2/3) rcosa]} /[(a r2 )-[(1/2) r2 sin 2a]
=(2/3)r[sin3 a /(2a- sin2a]
Кинематика
Это раздел механики, в котором изучается движение материальной точки, твердых тел, механических систем, без учета сил, вызывающих это движение
Кинематика точки
Сущ-ет 3 способа задания дв-я точки: векторный, координатный, естественный.
При векторном способе задания точки откладываются векторы из одной точки.
Задается r, как ф-ция от времени r=r(t)
Кривая, которую вычерчивает конец вектора, отложенный из одной общей точки наз-ся гадографом.
Гадограф радиуса вектора точки – это траектория точки.
V=lim(Dr/Dt)=dr/dt –скорость
Отсюда вывод-скорость направлена по касательной к траектории точки.
W= lim(Dv/Dt)=dv/dt – ускорение
При коорд.способе задания точки берем коорд.сетку: оси x, y, z
x=f1 (t)
y= f2 (t)
z= f3 (t)
Vx =x=d f1 /Dt Wx =x=
Vy =y=d f2 /Dt Wy =y=
Vz =z=d f3 /Dt Wz =z=
V=ÖVx 2 + Vy 2 + Vz 2
W=ÖWx 2 + Wy 2 + Wz 2
cos(V,x)= Vx /V
cos(V,y)= Vy /V
cos(V,z)= Vz /V
Естественный способ задания дв-я точки.
При естеств.способе задания дв-я точки д.б.задано: 1)траектория дв-я точки, 2)начало отсчета на траектории, 3)положительное и отрицательное направление отсчета, 4)дуговая абсцисса д.б.задана как ф-ция от времени S=f(t)
Введем единичный орт касательный t. Вектор t направлен в сторону возрастания дуговой абсциссы, модуль êtê=1
Вектор скорости V опр-ся: V=s t.
Если s>0, то скорость направлена в сторону возрастания дуговой абсциссы по вектору t, а если s<0, то вектор скорости напрвлен в сторону убывания дуговой абсциссы.
V=s- алгебраическое зн-е скорости.
Введем элементы диф.геометрии.
Предельное положение пл-ти t1 М1 t2 ’ при стремлении М2 к М1 наз-ся соприкасающейся пл-тью.
В каждой точке кривой введем нормальную пл-ть, как пл-ть ^ вектору t.
Пересечение нормальной пл-ти с соприкасающейся пл-тью дает направление главной нормали. Поэтому введем едиинчный орт направления главной нормали n направлена по напр-ю гл.нормали., т.е.по отношению к кривой мы имеем:
Введем 3-й вектор –вектор бинормали в, так что вектора t, n и в составляли правую тройку векторов. Эти три вектора определяют оси естественного трехгранника. С каждой точкой кривой связаны 3 взаимно ^ оси t, n, в
V=dr/dt=(dr/ds)/(ds/dt)=st
ïdr/dsï=ïdrï/ïdsï=1
t направлен в сторону возрастания дуговой абсциссы
Определение ускорения при естественном способе задания дв-я точки
Ускорение W=dv/dt=d(st)/dt=st+s(ds/dt)
Кривизна кривой в данной точке
К=lim(Dj/Ds)=dj/ds
r=1/k=ds/dj-радиус кривизны в пределах при D s®0, вектор dt направлен по направлению нормали.
(tt) =1. Произв.по времени: 2[t (dt/dt)]=0 Þ ^ dt/dt
Вектор dt/dt направлен по нап-ю нормали
çdt/dtç=çdtç/çdtç= dj/ dt= (dj/ ds)( ds/ dt)= s(1/r)
вектор dt/dt= s/r
s(dt/dt)= s 2 / r= v2 /r
W= st+ (s 2 /r), где st= Wt -касат.составляющая ускорения
s 2 /r= Wn –норм.сост.ускорения
W=Wt + Wn
W=ÖWt 2 + Wn 2
Wt -хар-ет изменение скорости по вел-не,
Wn -хар-ет изменение скорости по направлению
Wt направлена по вектору t если s>0 и противоположно вектору t если s<0
Численное зн-е нормального ускорения Wn всегда >0, и оно всегда направлено внутрь области кривой в каждой ее точке.
Если точка движется по прямой, то норм.ускорение точки =0.
Пусть точка движется по окружности с пост.по величине скоростью, чему равно ускорение точки?
V=const
Wt =dv/dt=0
Wn =v2 /R
Любую кривую можно представлять в виде совокупности дуг различного радиуса.
Связь между естеств.и коорд.способами задания дв-я.
Ds=Öx2 +y2 +z2 dt
S=òÖx2 +y2 +z2 dt
Wt =dv/dt=d(Öx2 +y2 +z2 )/dt=[Vx Wx +Vy Wy +Vz Wz ]/V/
x=f1 (t)
y= f2 (t)
z= f3 (t)
t=j1 (x) –цилиндр.пов-ть образ.параллель.оси у
y=f2 (j1 (x)) - цилиндр.пов-ть образ.кот параллель.оси z.
z=f3 (j1 (x))
Частный случай дв-я точки
1.Равномерное дв-е
v=const, S=So +vt
2.равноускоренное дв-е
Wt =const, V=Vo + Wt t, S=Vo t+ Wt (t2 /2)
V2 –Vo 2 =2 Wt S
dV/dt= Wt ,
òdV=ò Wt dt, V –Vo = Wt t
Кинематика твердого тела
В теор.механике рассм.только тверд.тела
Абс.тв.тела-это такие тела, раст.между двумя любыми точками не меняются за все время движения
Поступательное дв-е твердого тела
Поступательн.дв-ем тв.тела наз-ся такое дв-е
Тела, при кот.любая прямая, проведенная в нем остается параллельной самой себе за все время дв-я (самолет, летящий прямолинейно, дв-е поршня в двигателе автомоб., дв-е колеса обозрения)
Теорема : При поступ.движении тв.тела траектории дв-я всех точек тела конгруэнтны, а скорость и ускорение равны.
rв = rА +АВ
Поскольку это вып-ся в люб.момент времени, то получается, что траектория т.В можно определить смещением вектора АВ в каждой точке из траектории т.А возм.произв.по времени (АВ=const)
drв /dt= drA /dt+d(AB)/dt
VB =VA . WB =WA .
Вращат.дв-е твердого тела .
Вращат.наз-ся такое дв-е тв.тела, при кот-м хотя бы 2 точки тела остаются неподвижными за все время вращенияя, через эти 2 точки проходит ось вращения, все остальные точки движутся по окружностям в плоскостях перпендик-х оси вращения.
Фермы
Начинаем искать усилия стержней, рассматривая узлы.
Метод Риттера(проверка)
При нахождении усилий стержней плоской фермы методом выфрезания узлов полезно знать:
1)если в незагруженном узле плоск.фермы сходятся 2 стержня. То усилие в этих стержнях =0
2)если в незагруженном узле плоск.фермы сходятся 3 стержня, из кот-х 2 расоложены на одной прямой, то усилие в 3-м стержне =0, а усилие в первых 2-х равны между собой.
Вращат.дв-е-это такое дв-е, при кот-м ось остается неподвижной, а все др..тела движутся в плоскости перпендикулярной оси вращения.
Введем угол поворота j -как угол между неподв.пл-тью и плоскостью, связанной с телом
[j]=рад
j=2pn
[N]- число оборотов
Угловая скорость w=dj/dt, [wj]=рад/c=c-1
j=f(t)
Вектор угл.скорости w лежит на оси вращения и направлен в сторону, что с конца этого вектора вращение кажется видимым против часовой стрелки.
Угловое ускорение e опр-ся по ф-ле:
e =dW/dt=d2 j/dt2 , [Помилка! Помилка зв'язку. ]= рад/c2 =c-2 .
Вектор углового ускорения e также лежит на оси вращения и направлен по вектору w, если вращение ускорено и противоположен ему, если вращение замедлено.
[n]-число оборотов в мин.=об/мин, тогда w=pn/30/
Частный случай вращат.дв-я:
1)равномерное вращение.. j=wt
2)равнопеременное вращение: e=const. j=wо t+et2 /2;
w=wо +et
dw/dt=e
dw=e dt
ò dw=òe dt
w-wо =eò dt
w2 -wо 2 =2ej
dj/dt=wо +et
ò dj=òwо dt+òetdt
j-jo =wо òdt+eòtdt
j-jo =w о t+e(t2 /2)
Определение линейной скорости и лин.ускорения при вращат.движении твердого тела
S=hj
ds/dt=h(dj/dt)
V=hw, dv/dt=h(dw/dt)
Wt =he
Wn =v2 /h=(w2 h2 )/h=w2 h
Полное ускорение W=Ö Wn 2 + Wt 2 =hÖw2 +e2
tga=ïWt ï/ Wn =ïeï/w2
Вывод: при вращ.дв-ии тв.тела линейная скорость касательная нормальной и полное ускорение пропорциональны растоянию точки от оси вращения.
Векторные ф-лы для опр-я скорости и ускорения при вращат.движении.
v=[w´r]-ф-ла Эйлера
v=w´r´sin(w,r)
v=w´h
Wt =[e´r], Wt =e´r´sin[e´r]=he,
Wn =[w[w´ r]]=[ w´v]
Wn =w´v´ sin(w´v)= w´v=w2 h
Производ.от вектора пост.по модулю под скалярным аргументом
ïвï=const=в
dв/dt, (вв)=в2 , 2[в(dв/dt)]=0 Þ dв/dt ^в.
ïdв/dtï=ïdвï/dt=в(dj/dt)=w в.
dв /dt=[w в]
Производная от времени, причем ïвï=const, равна векторному произведению угловой скорости вращения этого вектора на сам этот вектор.
dτ/dt= (dτ ds)/(ds dt)= (dτ/dφ)( dφ/dt)
ïdτ/dφï=1
dτ/dt=w n
dτ/dt=[wτ]
Теорема о проекциях скоростей
При любом движении твердого тела проекция скоростей 2-х точек этого тела на прямую их соединяющих равны.
VA cosα= VB cosβ
Поскольку точки выбираем произвольно, то проекции скоростей любой точки прямой на эту прямую равны.
rв =rA +AB
rв -rA =AB
(rв -rA )2 =(AB)2 =R2 =const (l=│AB│)
2(rв -rA )[(d rв /dt)- (d rA /dt)]=0
(VB -VA )AB=0, AB= VA AB
VB cosβ AB= VA cosα AB
VB cosβ = VA cosα –смысл этой теоремы заключ.в том, что рассм.дв-е абсол.тв.тела, мы не можем допустить, чтобы т.А доганяла т.В или чтобы т.А отставала от т.В.
Мгновенный центр ускорений
Α=arctg(ε/ω2 )
WQ =0
WA τ = εAQ, WA n = ω2 AQ,
WA =√( WA τ )2 +( WA n )2 = AQ√ε2 + ω2
tgα= WA τ / WA n = ε/ ω2
Частный случай:
1)ε=0, тогда α=0
2)ω=0, тогда α=π/2 (дв-е мгновенно поступательное)
Сложное дв-е точки.
Сложным наз-ся токое дв-е точки, при котором сущ-ет относительное дв-е точки(это дв-е отн-но подвижной сист.координат) и переносное движение (это дв-е точки в момент в подвижной сист.коор-т отн-но неподвижной). Причем в принципе подв.сист.коор-т м.б.одно, а переносных много.
Определение скорости точки в сложном движении.
ρм =ρо +r
Ф-ла Бура Производная от вектора относит.неподвижной сист.координат
r=xi+yj+zk
dr/dt=(dx/dt)/i+(dy/dt)j+(dz/dt)k+ x(di/dt)+y(dj/dt)+z(dk/dt)
di/dt=[ωi], dj/dt=[ωj], dk/dt=[ωk],
dr/dt=´dr/dt+[ωr], где ´dr/dt=(dx/dt)/i+(dy/dt)j+(dz/dt)k
причем dr/dt это частная локальная производная или производная от вектора r отн-но подвиж.системы координат.
Ф-ла Бура: производная от вектора отн-но неподв.системы коор-т, которая изменяется отн-но подвижной системы коор-т складывается из частной (локальной) производной плюс векторное произведение угловой скорости вращения подвижной сист.коор-т на этот вектор.
Частный случай ф-лы Бура: 1)Если ε=0 (подв.сист.коор-т движ-ся поступательно), то полная производная = частной, т.е. dr/dt=´dr/dt,
2)Если вектор r не изменяется относительно подвижной сист.коорд., т.е. ´dr/dt=0, то тогда dr/dt=[ωr] (производ.от вектора пост.по Н)
3)Пусть полная произв.от r по времени =0, т.е. dr/dt=0, тогда ‘dr/dt+ [ωr]=0,
´dr/dt+ [ωr]=0, ´dr/dt= - [ωr]
Пусть r=ω, тогда получим dω/dt=´dω/dt= ε
Производная от вектора ω по времени не зависит от того, относительно какой сист.ккор-т мы берем.
dρм /dt= dρo /dt+dr/dt/
VM =VO +[ ωr]+ ´dr/dt
VM =VL + Vr
VL - переносная скорость (скор.точки в морож.в неподв.сист.коор-т отн-но подвижной)
Vr - относительная скорость(скор.точкт отн-но неподв.сист.коор-т)
Абсолютная скорость точки при сложном движении складывается из векторной суммы переносной и относительной скоростей
Опр-е ускорения точки в сложном движении
VM =VO +[ ωr]+ Vr
WM =d VM /dt=(d VO /dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d Vr /dt
dr/dt=[ ωr]+ Vr
WM =Wo +[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω Vr ]+ [ ωVr ]+Wr
d Vr /dt=[ ω Vr ]+ Wr
Wk =2[ω Vr ]
WM =WL +Wr +WK – кинематическая теорема Кариолиса
Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса
Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении.
Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении
Ускорение Кариолиса.
Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса ┴ пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и Vr и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к Vr кажется видным против хода часовой стрелки.
Методы нахождения мгновенных центров скоростей
Суть (классич.метод закл-ся в след.): Мгновенный центр скоростей нах-ся на пересечении перпендикуляров к скоростям в 2-х точках тела.
ω = VА /АР= VВ /ВР= VС /СР
Если скорости 2-х точек | |-ны не равны др.другу, а прямая их соединяющая ^-на, то тогда:
ω = VА /АР= VВ /ВР= VС /СР
Пусть скорости | |-ны, направлены в разные стороны, а прямая их соединяющая им ^-на.
ω = VА /АР= VВ /ВР
Пусть скорости 2-х точек тела| |-ны , направлены в одну сторону, а прямая их соединяющая не ^-на, то имеем: (в этом случае мгновенный центр скоростей нах-ся в бесконечности, ω =0, тело совершает мгновенно поступательное движение) VА = VВ = VС =…
Примером явл-ся кривошипно-шатунный механизм. ωАВ =0
Способ нахождения опред-я мгн.скоростей из механич.соображений
Ωколеса = VД /ДР= VВ /ВР= VА /АР
Поскольку мгн.центр скоростей –это понятие геометрическое, то может оказаться, что он нах-ся вне пределов тела.
Определение ускорения при плоскопараллельном движени.
VВ =VА +[ ω АВ]
dVВ /dt= dVА /dt+[ ε АВ]+ [ω (d АВ/dt) ]
WВ = WА +WВА t + WВА n
WВА n =[ω[ωAB]]= [ωVBА ]
WВА t =ε AB; WВА t = ω2 AB
При плоско параллельн.движении ускорение любой точки складывается из ускорения полюса плюс касательная к нормальной составляющей при вращении точки относительно полюса.
Сферическое дв-е тв.тела .
Сферическим наз-ся такое дв-е, при коротом это тело имеет только одну неподвижную точку. Все остальные точки тела располагаются на сферах разного радиуса. Н-р!гороскоп.
Сферич.тело имеет 3 степени свободы, n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.тела
Для тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы.
х1 , y1 , z1 -неподв.сист.коор-т
х, y, z-подв.сист.коор-т
ок-линия узлов-это прямая, по которой пересекаются плоскости х1 оу1 и хоу
y-угол прецессии(между х1 и ок)
q-угол нутации(между z1 и z)
j-угол собственного вращения(<(ok; ox))
y, q,j-углы Эллера.
j=j(t)
q=q(t)
y=y(t)-будем иметь положение тела в пространстве(ккор-ты)
29-04-2015, 01:39