Нормы и интерпретация результатов теста

Статистические методы раскрывают связи между изучаемыми явле­ниями. Однако необходимо твердо знать, что как бы ни была высока вероятность таких связей, они не дают права исследователю признать их причинно-следственными отношениями. Статистика, как о ней пи­шут известные английские ученые Д.Э. Юл и М.Дж. Кендэл (Теория статистики. М., 1960. С. 18—19.), «вынуждена принимать к анали­зу данные, подверженные влиянию множества причин». Статистика, например, утверждает, что существует значимая связь между дви­гательной скоростью и игрой в теннис. Но отсюда еще не вытекает, будто двигательная скорость и есть причина успешной игры. Нель­зя, по крайней мере в некоторых случаях, исключить и того, что сама двигательная скорость явилась следствием успешной игры.

Чтобы подтвердить или отвергнуть существование причинно-следственных отношений, исследователю зачастую приходится про­думывать целые серии экспериментов. Если они будут правильно построены и проведены, то статистика поможет извлечь из резуль­татов этих экспериментов информацию, которая необходима иссле­дователю, чтобы либо обосновать и подтвердить свою гипотезу, ли­бо признать ее недоказанной.

Вот что нужно знать при использовании статистики.

Итак, были перечислены типы задач, с которыми чаще всего встречаются психологи. Теперь перейдем к изложе­нию конкретных статистических методов, которые способ­ствуют успешному решению перечисленных задач.

Первый тип задач. Статистические методы, примеры их при­менения для принятия решения.

Допустим, школьному психологу нужно представить краткую ин­формацию о развитии психомоторных функций учащихся 6-х классов, в которых обучается 50 учеников. В процессе выполнения своей про­граммы психолог провел диагностическое изучение двигательной ско­рости, применив методику, которая была описана выше (С. 240).

Для реализации своей программы психологу надлежало получить количественные характеристики, свидетельствующие о состоянии изучаемой функции — ее центральной тенденции, величины, пока­зывающей размах- колебаний, в пределах которого находятся все данные отдельных учеников, и то, как распределяются эти данные.

Какими методами вести обработку — параметрическими или непара­метрическими? Визуальное ознакомление с полученными данными по­казывает, что возможно применение параметрического метода, т.е. бу­дут вычислены среднее арифметическое, выражающее центральную тенденцию, и среднее квадратическое отклонение, показывающее раз­мах и особенности варьирования экспериментальных результатов.

Нельзя ограничиться вычислением только среднего арифметиче­ского, так как оно не дает полных сведений об изучаемой выборке. Вот пример. В одном купе вагона поместилась бабушка 60 лет с че­тырьмя внуками: 4 лет, двое по 5 и 6 лет. Среднее арифметическое возраста всех пассажиров этого купе 80/5 = 16.

В другом, купе расположилась компания молодежи: двое 15-летних, 16-летний и двое 17-летних. Средний возраст пассажиров этого купе также равен 16. Таким образом, по средним арифмети­ческим пассажиры этих купе как бы и не различаются. Но если об­ратиться к особенностям варьирования, то сразу можно установить, что в одном купе возраст пассажиров варьирует в пределах 56 еди­ниц, а во втором — в пределах 2.

Для вычисления среднего арифметического применяется формула:

а для среднего квадратического отклонения формула:

В этих формулах х означает среднее арифметическое, х — каж­дую величину изучаемого ряда, Z — сумму; s — среднее квадрати­ческое отклонение; п — число членов изучаемого ряда.

Вернемся к опыту с проверкой двигательной скорости учащихся (С. 244).

В опытах участвовали 50 испытуемых. Каждый из них выполнил по 25 проб, по 1 минуте каждая. Вычислена средняя каждого испы­туемого. Полученный ряд упорядочен и все индивидуальные резуль­таты представлены в последовательности от меньшего к большему:

85— 93— 93— 99— 101—105—109—110—111—115—

115— 116— 116— 117— 117— 117— 118— 119— 121 —121 —

122 — 124 — 124 — 124 — 124 — 125 — 125 — 125 — 127 —127 —

127 — 127 — 127 — 128 — 130 — 131 — 132 — 132 — 133 — 134 —

134 — 135 — 138 — 138 — 140 — 143 — 144 — 146 — 150 — 158

Для дальнейшей обработки удобнее эти первичные данные со­единить в группы, тогда отчетливее выступает присущее данному ряду распределение величин и их численностей. Отчасти упрощается и вычисление среднего арифметического и среднего квадратического отклонения. Этим искупается несущественное искажение/ информации, неизбежное при вычислениях на сгруппированные данных.

При выборе группового интервала следует принять во внимание такие соображения. Если ряд не очень велик, например содержит до 100 элементов, то и число групп не должно быть очень велико, например порядка 10—12. Желательно, чтобы при группировании начальная величина — при соблюдении последовательности от меньшей величины к большей — была меньше самой меньшей ве­личины ряда, а самая большая — больше самой большой величины изучаемого ряда. Если ряд, как в данном случае, начинается с 85, группирование нужно начать с меньшей величины, а поскольку ряд за­вершается числом 158, то и группирование должно завершаться большей величиной. В ряду, который нами изучается, с учетом высказанных со­ображений можно выбрать групповой интервал в 9 единиц и произвести разбиение ряда на группы, начав с 83. Тогда последняя группа будет за­вершаться величиной, превышающей значение последней величины ряда (т.е. 158). Число групп будет равно 9 (табл. 1).

Вычисление среднего арифметического и среднего квадратическо-го отклонения.

Таблица 1

Группы	Средние значе­ния	Резуль­тат раз­носки	Итоги разнос­ки	f•x	x – x	(х - x )2	f •( x -х)2
83—91	87	/	1	87	36	1296	1296
92—100	96	u	3	288	27	729	2187
101—109	105	LJ	3	315	18	324	972
110—118	114	QQ	10	1140	9	81	810
119—127	123	1300/	16	1968	0	0	0
128—136	132	Ш	9	1188	9	81	729
137—145	141	Я	5	705	18	324	1620
146—154	150	L	2	300	27	729	1458
155—163	159	/	1	159	36	1296	1296
n = 50	Σf • x = 6150	Σf •( x -х)2 = =10368

1-й столбец — группы, полученные после разбиения изучаемого ряда.

2-й столбец — средние значения каждой группы; этот столбец показывает, в каком диапазоне варьируют величины изучаемого ря­да, т.е. х.

3-й столбец показывает результаты «ручной» разноски величин ряда или иксов: каждая величина занесена в соответствующую ее значению группу в виде черточки.

4-й столбец — это итог подсчета результатов разноски.

5-й столбец показывает, сколько раз встречалась каждая величи­на ряда — это произведение величин второго столбца на величины 4-го столбца по строчкам. Итоги 4-го и 5-го столбцов дают суммы, необходимые для вычисления среднего арифметического.

6-й столбец показывает разность среднего арифметического и значения x по каждой группе.

7-й столбец — квадрат этих разностей.

8-й столбец показывает, сколько раз встречался каждый квадрат разности; суммирование величин этого столбца дает итог, необхо­димый для вычисления среднего квадратического отклонения.

В заголовках 5-го и 8-го столбцов указывается, насколько часто встречается та или другая величина. Частота обозначается буквой f (от английского слова frequency).

Включение буквы f , означающей, насколько часто встречалась та или другая величина, ничего не изменяет в формулах среднего арифметического и среднего квадратического отклонения.

Поэтому формулы

вполне тождественны.

Рис.2

Остается показать, как вы­числяются по формулам сред­нее арифметическое и среднее квадратическое отклонение. Обратимся к величинам, полу­ченным в таблице:

x = 6150 : 50 = 123. При составлении таблицы это число было заранее вычислено, без него нельзя было бы полу­чить числовые значения 6, 7, 8-го столбцов таблицы.

При обработке изучаемого ряда оказалось возможным примене­ние параметрического метода, так как визуально в этом ряду рас­пределение численностей приближается к нормальному. Это под­тверждается и графиком (рис. 2, с. 251).

Нормальное распределение обладает некоторыми весьма полезными для исследователя свойствами. Так, в границах x ± s находится при­мерно 68% всего ряда или всей выборки, в границах х ± 2s — пример­но 95%, а в границах x ± 3s — 97,7% выборки. В практике иссле­дований часто берут границы — x ±2/3s. В этих границах при нор­мальном распределении будут находиться 50% выборки; распреде­ление это симметрично, поэтому 25% окажутся ниже, а 25% выше границ x ±2/3s. Все эти расчеты не требуют никакой дополни­тельной проверки при условии, что изучаемый ряд имеет нор­мальное распределение, а число элементов в нем велико, поряд­ка нескольких сотен или тысяч. Для рядов, которые распределе­ны нормально или имеют распределение, мало отличающееся от нормального, вычисляется коэффициент вариации по такой фор­муле:

В примере, который был рассмотрен выше,

V = (100-14,4)/123 = 11,7.

Выполнив все эти вычисления, психолог может представить инфор­мацию об изучении двигательной скорости с помощью примененной методики в 6-х классах. Согласно результатам изучения в 6-х классах получены: среднее арифметическое — 123; среднее квадратическое от­клонение — 14,4; коэффициент вариативности — 11,7.

Непараметрические методы. Ранжирование, медиана, квартиль. Далеко не все материалы, получаемые в психологиче­ских исследованиях, подлежат обработке параметрическими мето­дами. Если после ознакомления с изучаемым рядом исследователь убеждается в том, что этот ряд не имеет свойств нормального рас­пределения, ему остается перейти на методы непараметрической статистики. С их помощью могут быть получены и центральная тенденция изучаемого ряда — медиана — и величина, позволяющая судить о диапазоне варьирования и о строении изучаемого ряда — квартильное отклонение.

Вот пример. После диагностических испытаний уровня умствен­ного развития учеников 6-го класса полученные данные были упо­рядочены, т.е. расположены в последовательности от меньшей ве­личины к большей. Испытания проходили 18 учащихся (табл. 2).

Таблица 2

Примечание. Буквами обозначены учащиеся, числами — полученные ими баллы по тесту.

Процедура ранжирования состоит в следующем. Все числа ряда в их последовательности получают по своим. порядковым местам присваи­ваемые им ранги. Если какие-нибудь числа повторяются, то всем по­вторяющимся числам присваивается один и тот же ранг — средний из общей суммы занятых ими ранговых мест. Так, числу 28 в изучаемом ряду присвоен ранг 2. Затем следуют трижды повторяющиеся числа 39. На них приходятся занятые ими ранговые места 3, 4, 5. Поэтому этим числам присваивается один и тот же средний ранг, в дан­ном случае — 4. Поскольку места до 5-го включительно заняты, то следующее число получает ранг 6 и т.д.

При обработке ряда, не имеющего признаков нормального рас­пределения — непараметрического ряда, — для величины, которая выражала бы его центральную тенденцию, более всего пригодна ме­диана, т.е. величина, расположенная в середине ряда. Ее определя­ют по срединному рангу по формуле M_e = (п + 1)/2, где M_e — оз­начает медиану, п — как в ранее приводившихся формулах — число членов ряда. При нечетном числе членов ряда ранговая медиана — целое число, при нечетном число — с 0,5. Заметим, что числовое значение медианы может и не быть в составе самого обрабатывае­мого ряда.

Возьмем к примеру ряд в семь членов: 3—5—6—7—9—10—11.

Проранжировав его, имеем: 1—2—3—4—5—6—7.

Ранговая медиана в таком ряду равна: M_e = (7 + 1)/2 = 4, этот ранг приходится на величину 7.

Возьмем ряд в восемь членов: 3—5—6—7—9—10—11—12.

Проранжировав его, имеем: 1—2—3—4—5—6—7—8.

Ранговая медиана в этом ряду равна: M_e = (8 + 1)/2 = 4,5.

Этому рангу соответствует середина между двумя величинами, имеющими ранг 4 и ранг 5, т.е. между 7 и 9. Медиана этого ряда равна: M_e = (7 + 9)/2 = 8.

Следует обратить внимание на то, что величины 8 в составе ряда нет, но таково значение медианы этого ряда.

Вернемся к изучаемому ряду. Он состоит из 18 членов. Его ран­говая медиана равна: M_e = (18 + 1)/2 = 9,5.

Она расположится между 9-й и 10-й величиной ряда. 9-я величи­на — 52, 10-я — 68. Медиана занимает срединное место между ними, следовательно, M_e = (52 + 68)/2 = 60.

По обе стороны от этой величины находится по 50% величин ряда.

Характеристику распределения численностей в непараметриче­ском ряду можно получить из отношения его квартилей. Квартилью называется величина, отграничивающая 1/4 всех величин ряда. Квартиль первая — ее обозначение Q ₁ — вычисляется по формуле:

Это полусумма первого и последнего рангов первой — левой от медианы половины ряда;

квартиль третья, обозначаемая Q ₃ вычисляется по формуле:

т.е. как полусумма первого и последнего рангов второй, правой от ме­дианы, половины ряда. Берутся порядковые значения рангов по их по­следовательности в ряду. В обрабатываемом ряду Q ₁ = (1+9)/2 = 5, Q ₃ = (10 + 18)/2 = 14.

Рангу 5 в этом ряду соответствует величина 39, а рангу 14 — 70. Следовательно, в данном ряду Q ₁ = 39, а Q ₃ ⁼ 70.

Для характеристики распределения в непараметрическом ряду вычисляется среднее квартильное отклонение, обозначаемое Q . Формула для Q такова: Q = (Q ₃ - Q ₁ )/2. Для обрабатываемого ряда Q = (70 - 39)/2 = 15,5. Были рассмотрены статистическая обработка параметрического ряда (x и s), статистическая обработка непараметрического ряда ( M _е и Q ). Параметрический ряд относится к шкале интервалов, не­параметрический — к шкале порядка. Но встречаются также ряды, относящиеся к шкале наименований. Наиболее краткая характери­стика такого ряда может быть получена с помощью моды, величи­ны, которая выражает наивысшее числовое значение величин дан­ного ряда, при п — числе членов ряда. Следует заметить, что моду можно лишь условно считать выражением центральной тенденции в ряду, относящемуся к шкале наименований. Она выражает наибо­лее типичную величину ряда.

Рассмотрим подробнее пример, приведенный выше (С. 242). Там речь шла об участниках некой конференции; в их числе были 3 англичанина, 2 датчанина, 5 немцев, 3 русских и 1 француз. Мода в данном ряду приходится на участников конференции — немцев. Число членов ряда равно — 13, а мода — M_o = 5.

Итак, мы рассмотрели статистические методы, применяющиеся для задач первого типа.

Второй тип задач. Психологу в его повседневной практической и исследовательской работе приходится искать ответы на различные вопросы. Предположим, что проведены диагностические испытания умственного развития у школьников шестых классов городской и сельской школ: можно ли в дальнейшем рассматривать обе школь­ные выборки как принадлежащие одной совокупности? По поводу неодинаковых условий обучения в городской и сельской школах вы­сказано немало противоречивых суждений. Психолог в данном слу­чае намерен опираться на экспериментальные факты. Чтобы прийти к какому-то решению, целесообразно проанализировать полученный экспериментальный материал. Это достаточно часто встречающаяся задача, встречаются и такие, где приходится решать тот же вопрос относительно нескольких, а не двух выборок. Это и есть задачи второго типа.

Перед психологом два ряда численностей. Прежде всего нужно установить, на какие статистические методы опираться — на пара­метрические или непараметрические? Применять параметрические методы следует в том случае, если оба ряда имеют распределение, не отличающееся от нормального. Если же один из рядов не соот­ветствует этому требованию, то применение параметрических мето­дов противопоказано.

Положим, оба ряда показывают распределение, допускающее применение параметрических методов. Сравнение величин цен­тральных тенденций — в данном случае их представляют средние арифметические — не даст ответа на вопрос о том, относятся ли выборки к одной совокупности. Почти безошибочно можно утвер­ждать, что средние арифметические не будут тождественными, но этого явно недостаточно для ответа на поставленный вопрос, ответ не был бы получен, даже если бы средние арифметические оказа­лись равными. Для данного случая более всего подходит сравнение выборок по критерию t Стьюдента.

Перед тем как ознакомиться с техникой вычислений и интерпре­таций результатов, получаемых при работе с критерием t Стьюден­та, необходимо остановиться на некоторых статистических терми­нах; они постоянно встречаются в прикладной статистике.

В том разделе статистики, где заходит речь о проверке гипотез, постоянно приходится иметь дело с нуль-гипотезой, или нулевой гипотезой. При сравнении двух выборок нуль-гипотеза формулиру­ется следующим образом: между изучаемыми выборками нет разли­чия или, иначе, различие между ними несущественно. Все даль­нейшие расчеты направлены на то, чтобы прийти к заключению верна ли нуль-гипотеза или от нее нужно отказаться, и в действи­тельности существенная разница между выборками имеется. В дру­гих случаях в зависимости от содержания материала меняются формулировки, но вычисления показывают, какова вероятность нуль-гипотезы. Для обозначения нуль-гипотезы используется символ h ₀ .

Допустим, что разница между выборками имеется. Исследователь встает перед вопросом, насколько существенна эта разница, как часто будет обнаруживаться она в последующем, когда придется работать с подобными же выборками. Самые общие соображения при этом таковы: если разница получена на небольшом материале (числе случаев, охваченных той или другой выборкой), то при по­вторном изучении таких же выборок разницу, возможно, найти и не удастся. Другое дело, если изучаемые выборки не малы. Далее важно, оказалась ли обнаруженная разница значительной. Это рас­суждение и следует иметь в виду, когда в статистике речь идет об уровне значимости полученного коэффициента, параметра и пр. Уровни значимости представлены в специальных таблицах, которые обычно даются в учебниках статистики, есть такие таблицы и в конце этой главы. Какой уровень значимости можно признать удов­летворительным? В психологии и педагогике минимально допусти­мым для отказа от Н₀ уровнем значимости признается


9-09-2015, 17:43