Кроме этого, к сказанному надо добавить несколько слов о двусмысленности и фактическом отсутствии изоморфизма между физической МФ и логической МЛ моделями парадокса "Лжец", или логической конструкции "НЕ+СЯ", как называет его автор. Так, на с.86 он говорит, что физическая МФ и логическая МЛ модели изоморфны. Затем он говорит, что в логической модели МЛ входной и выходной сигналы X и Y принимают значения И и Л. Но что сопоставляется им в физической модели МФ, являющейся изоморфной логической модели МЛ, четко и ясно ничего не сказано. Наверное, неспроста. Действительно, в соответствии с общепринятыми канонами построения логических схем, верхнему уровню напряжения сопоставляется истина И, а нижнему уровню – ложь Л. поскольку в авторском изложении, надо думать, верхним уровнем является напряжение +100 вольт, а нижним уровнем – -100 вольт, постольку согласно изоморфизму должны быть соответствия -100<=>Л, +100<=>И. Однако, легко выяснить, что, подав на вход X модели МФ сигнал +100 вольт, на выходе Y в полном соответствии с законом суммирования напряжений Y=-(+100+Y) установится напряжение Y=-50 вольт, которое не соответствует ни истине, ни лжи. При подаче X=-100 вольт согласно Y=-(-100+Y) на выходе установится напряжение Y=+50 вольт. Спрашивается: какие напряжения в физической модели соответствуют логическим значениям И и Л? даже допуская, что, с учетом последовательностей (3) и (3а) на с.84, истине И в логической модели соответствует напряжение ±100 вольт в физической модели, а лжи Л – 0 вольт, то и тогда в отношении изоморфизма концы с концами не сходятся, поскольку на выходе Y физической модели 0 вольт может быть получено только и если только на ее входе X будет тоже 0 вольт. Из этого мы и заключаем, что изоморфизм между моделями МФ и МЛ фактически отсутствует и поэтому переносить закон функционирования физической модели вида (3), к тому же ошибочный, на логическую модель и придавать ему вид потенциально-бесконечной осцилляции безосновательно. Как мы уже сказали выше, автор мог бы получить свою "потенциально-бесконечную осцилляцию (5)" путем продолжения своей вербальной интерпретации парадокса "Лжец", не привлекая для этого ошибочным образом машинное моделирование.
Мы приносим свои извинения за возможно утомительный разбор неадекватных аргументов автора статьи [2]. Но бесконечность заслуживает этого и требует от нас аккуратного обращения с ней. Поэтому мы сделаем еще одно, последнее, замечание. На с.87 автор говорит о дискретном "автомате", запущенном Эпименидом и генерирующем ничем не остановимую бесконечную последовательность (5а) "...=>лжец=>не лжец=>...", альтернативы для которой нет. Причем, альтернативы в том смысле, что "тот факт, что из потенциальной бесконечности, предначертанной процессу (5а) ..., первые 2600 лет уже пройдены, является довольно слабым утешением для тех, кто вслед за Георгом Кантором намеревается достичь его (этого процесса) трансфинитного Конца." Это, конечно, не так – ведь еще Евбулид дал тождественно-истинную интерпретацию парадокса "Лжец", которая не порождает регресса в бесконечность, и мы это подтвердим и формально, и вербально, и кибернетическими моделями.
Таким образом, "новый подход к анализу проблемы парадоксов" не дает нам никаких оснований и доводов для дискредитации как актуальной бесконечности, так и канторовской теории множеств, а сама работа А.А. Зенкина не выдерживает никакой критики.
Перейдем теперь к рассмотрению истинного положения вещей, связанного с парадоксом "Лжец" и с возможностью его технического, а точнее – кибернетического моделирования. Это рассмотрение является дополнением и конкретизацией весьма обстоятельного изучения парадокса "Лжец" в монографии [7]. Начнем с истинного положения вещей, связанного с парадоксом "Лжец". Но предварительно скажем несколько вводных слов о самом парадоксе.
Высказывание "Лжец" кратко и формально мы будем писать так: (Я=Л). это будет означать как "Я – лжец", так и "Я лгу". Записи Я=Л и Я=И не являются высказываниями – они лишь показывают только то, что субъект Я, или, что то же самое, высказывание Я, является либо лжецом (ложью), либо не лжецом (истиной). Другими словами, формальная запись в скобках будет означать высказывание, имеющее значение истины или лжи, а без скобок – высказывательную форму или равенство, о которых не говорят – ложны они или истинны. Вербальная интерпретация парадокса "Лжец" имеет две ипостаси. Первая ипостась – это ипостась субъекта-лжеца и звучит она так, как сказал Евбулид: когда ты утверждаешь "Я лгу" или "Я – лжец" и тем самым говоришь правду, то ты в самом деле лжец. Вторая ипостась – это ипостась субъекта-не лжеца и звучит она так: когда ты утверждаешь "Я лгу" или "Я – лжец" и тем самым лжешь, то ты и в самом деле не лжец.
Дать истинное положение вещей в парадоксе "Лжец" затруднительно в основном из-за самоприменимости. Поэтому, чтобы адекватно выявить сущность самоприменимого высказывания, мы будем смотреть, как поступают в подобных случаях в математике, а затем использовать ее приемы для разрешения затруднений в самоприменимом высказывании "Лжец".
Математика изучает функции y=f(x), где аргумент x– это область определения, или существования, функции y=f(x), а y– это область значений функции, или, что то же самое, x– независимая переменная, y– зависимая переменная. Никаких противоречий с классической логикой здесь нет. Если же мы вместо x подставим y, то получим другой математический объект – алгебраическое уравнение y=f(y), суть которого состоит в том, что надо найти те значения yi, при которых выполняется равенство y=f(y). При этом говорят, что высказывание z=(y=f(x)) истинно при y=yi и ложно в остальных случаях. Все это тоже согласуется с классической логикой.
Возьмем теперь математическую логику и в ней некоторое предложение y=P(x), определенное на некотором множестве объектов x. Здесь тоже все в порядке с классической логикой. Но как только вместо x подставляют y, так начинаются проблемы с классической логикой. Действительно, о предложении y=P(y) начинают говорить, что оно само задает себя, или что оно задано посредством самоприменимости. В результате часто получают парадоксы. Так, при y=Я и P(Я)=(Я=Л) получают Я=(Я=Л) и говорят, что высказывание (Я=Л) одновременно и истинно, и ложно. Как это понимать? А так, что на самом деле парадокс "Лжец" есть, с одной стороны, высказывание (Я=Л), а с другой стороны, это и сам субъект Я. Поэтому при Я=Л высказывание (Я=Л)=(Л=Л)=И и соответственно получается, что в силу Я=(Я=Л) высказывание (Я=Л) оказывается одновременно и ложным Я=Л, и истинным (Я=Л)=(Л=Л)=И. Точно так же при Я=И высказывание (Я=Л)=(И=Л)=Л, что означает, что в силу Я=(Я=Л) высказывание (Я=Л) оказывается одновременно и истинным Я=И, и ложным (Я=Л)=(И=Л)=Л. В результате оказывается, что (Я=Л)=неЯ и соответственно в силу Я=(Я=Л) получаем Я=неЯ. при этом игнорируют то обстоятельство, что субъект Я высказывания (Я=Л) по законам классической логики не тождествен самому высказыванию, несмотря ни на какую самоприменимость (об изменчивости субъекта и нарушении закона тождества см. у И.Н. Буровой [8, глава 1]).
Если мы поступим так же, как поступают в математике, то есть посмотрим на высказывательную форму Я=(Я=Л) как на уравнение или как на высказывание z=(Я=(Я=Л)), относительно которого надо выяснить – истинно оно или ложно, то мы ответим и на интересующий нас вопрос, а именно – противоречит ли классической логике форма Я=(Я=Л)? уравнение Я=(Я=Л) решается просто путем подстановки в него вместо переменной Я ее возможных значений И и Л. поскольку (Я=Л)=неЯ, то решение уравнения Я=(Я=Л) сводится к решению уравнения Я=неЯ. Последнее же не имеет решения, так как ни при Я=И, ни при Я=Л равенство Я=неЯ не выполняется. Следовательно, высказывание z=(Я=(Я=Л)) является ложным и ложным потому, что высказывательная форма Я=(Я=Л) получена с нарушением законов классической логики – конкретно – закона тождества, согласно которому субъект Я высказывания (Я=Л) не есть само это высказывание. Более обще: субъект y любого высказывания P(y) не тождествен самому этому высказыванию. Совпадение значений субъекта y со значениями высказывания P(y), в общем, является случайным и строить на нем какую-либо парадигму нелогично и ненаучно.
Адекватную высказывательную форму, полностью описывающую парадокс "Лжец", можно получить двумя путями – либо чисто логически, либо чисто формально, со строгим соблюдением законов классической логики. В обоих случаях исходной посылкой является само высказывание (Я=Л).
Логический путь. Поскольку мы уже знаем, что (Я=Л)=неЯ, то мы берем за основу и эту высказывательную форму. трактовка самоприменимости в форме Я=(Я=Л) является неадекватной не только по причине нарушения закона тождества, но и чисто по существу. Существо же парадокса "Лжец" состоит в том, что, в силу самоприменимости, высказывание (Я=Л) также утверждает о себе, что оно есть ложь и поэтому для него справедливо высказывание ((Я=Л)=Л). Далее мы замечаем, что ((Я=Л)=Л)=не(Я=Л). А так как (Я=Л)=неЯ, то ((Я=Л)=Л)=ненеЯ=Я. Это и есть адекватная высказывательная форма: Я=((Я=Л)=Л). Соответственно высказывание, полностью и без регресса в бесконечность описывающее парадокс "Лжец", имеет вид (Я=((Я=Л)=Л)).
Формально и без нарушения закона тождества мы должны рассматривать высказывание (Я1=(Я=Л)), а не (Я=(Я=Л)). Самоприменимость же высказывания (Я=Л) означает, что и (Я1=Л). Опять же формально, дальше должно рассматриваться высказывание (Я2=(Я1=Л)). Поскольку Я1=(Я=Л)=неЯ, то Я2=(Я1=Л)=неЯ1=ненеЯ=Я. Следовательно, парадокс "Лжец" описывается либо двумя высказываниями
(Я1=(Я=Л)), (Я=(Я1=Л)),
либо одним, эквивалентным этим двум, высказыванием вида
(Я=((Я=Л)=Л)).
Как первая, так и вторая записи являются тождественно-истинными высказываниями. В переводе на естественный язык это высказывание звучит следующим образом: первая ипостась: если ты лжец (субъект Я=Л) и говоришь "Я лгу" или "Я – лжец" – (Я=Л), что является правдой – (Я=Л)=(Л=Л)=И, то ты, называя истину ложью, в самом деле лжец – (Я=((Я=Л)=Л))=(Я=(И=Л))=(Я=Л); вторая ипостась: если ты не лжец (субъект Я=И) и говоришь "Я лгу" или "Я – лжец" – (Я=Л), что является ложью – (Я=Л)=(И=Л)=Л, то ты, называя ложь ложью, в самом деле не лжец – (Я=((Я=Л)=Л))=(Я=(Л=Л))=(Я=И).
Таким образом, если самоприменимость вместе с отрицанием используется без нарушения законов классической логики, то никакого парадокса в общепринятом смысле в данном случае нет. Если же утверждается, что в каком-либо языке, например, в семантически замкнутом языке [9, с. 27], можно построить высказывательную форму Я=(Я=Л), то надо исследовать основания этого языка на предмет нарушения в нем законов классической логики.
Представим теперь действительное положение вещей с кибернетическим моделированием парадокса "Лжец". Кибернетическим моделирование названо потому, что в основе кибернетики лежит обратная связь, а самоприменимость – это тоже обратная связь. Кроме этого, сделаем небольшое замечание к моделируемому объекту. В работе [2] нет четкого определения этого объекта. С одной стороны, много говорится о том, что моделируется логическое доказательство парадоксальности самоприменимого высказывания, хотя так и остается неясным – как на модели, или на блоке логического доказательства ΣЛ, получается доказательство в виде конечной последовательности (4) (см. с. 85). С другой стороны, говорится, что «в рамках ... нового физического парадокса была построена изоморфная модель парадокса "Лжеца"» (с. 83), а затем вся статья заканчивается параграфом «Моделирование "ЛЖЕЦА"». Подобная двусмысленность есть продолжение смешения языков. У нас же речь будет идти строго о моделировании парадокса "Лжец", а все выводы, то есть доказательства, будут делаться по результатам моделирования на естественном языке при строгом соблюдении законов классической логики.
Сразу же заметим, что этот парадокс работает на человечество уже более полувека. Он лежит в самих субстратных основах всей цифровой вычислительной техники – этого ядра современных информационных технологий. Правда, сама эта техника и информационные технологии не осознают данного факта. И это, наверное, соответствует истинному положению вещей – парадокса на самом деле нет. Если бы он был в действительности, то вряд ли бы вычислительная техника породила современные информационные технологии и позволила получать адекватные результаты. Можно сказать, что практика не подтверждает существование парадокса "Лжец" как логического противоречия.
Рассмотрим три ипостаси кибернетической модели парадокса "Лжец": идеальную, реальную и истинную. Начнем с идеальной модели.
Субстратной основой цифровой вычислительной техники является тот или иной функционально полный набор логических элементов, или операций. В частности, таким набором может быть набор из двух элементов – элемента НЕ (логического инвертора) и конъюнктора &. Из этих элементов могут строиться любые цифровые устройства для переработки информации. Нас интересует элемент НЕ. Он имеет один вход x и один выход y и выполняет логическую операцию отрицания: y=неx. Поскольку рассматривается идеальная ипостась модели парадокса, то инвертор полагается идеальным, то есть таким, в котором информация со входа на выход проходит без задержек. Легко видеть, что если соединить выход y инвертора НЕ с его входом x, то такой инвертор (инвертор с обратной связью) будет моделировать парадокс "Лжец" в форме Я=(Я=Л)=неЯ. Действительно, инвертор с обратной связью реализует функцию y=неy, а при y=Я он моделирует функцию лжеца Я=неЯ. Это идеальная ипостась модели. В цифровой вычислительной технике проверку схем на правильность их функционирования проводят путем их моделирования. В правильной схеме все ее элементы показывают на своих выходах уровни логических нулей 0 и единиц Е. Одним из уровней сигналов, указывающих на ошибки в схеме, является уровень неопределенности Н. Этот уровень является результатом соединения выходов двух (и более) логических элементов между собой, когда на выходе одного логического элемента имеет место уровень логической единицы, а на выходе другого – уровень логического нуля. Так вот, идеальный инвертор с обратной связью показывает на своем выходе y тот же сигнал ошибки Н. Как это может быть? А может это быть следующим образом. При очень детализированном рассмотрении процесса перехода инвертора из одного логического состояния в другое операция инвертирования входного сигнала x протекает по закону инвертирования в многозначной логике: y=неx=Е-x. Здесь запись Е-x означает обычное арифметическое вычитание. При этом все многозначные логические уровни заключены между Е и 0. В двузначной логике, как мы уже говорили, уровню Е сопоставляется логическая 1, а уровню 0 – логический 0. Если на входе xсигнал x пробегает все значения от 0 до Е, то на выходе y в то же самое время сигнал y=Е-x пробегает значения от Е-0=Е до Е-Е=0. В инверторе с обратной связью на выходе устанавливается сигнал y=неy=Е-y=> y=Е/2. Именно этот сигнал и является сигналом ошибки Н=Е/2, поскольку он является средним значением сигналов y1=Е и y2=0 на соединенных друг с другом выходах двух элементов: (y1+y2)/2=(Е+0)/2=Н. Таким образом, идеальная модель парадокса "Лжец" в форме Я=(Я=Л) показывает, что эта форма является ошибочной. данный результат согласуется с классической логикой и подтверждает наш вывод о неадекватности этой высказывательной формы.
Перейдем к реальной модели парадокса "Лжец". В идеальной модели использовался идеальный логический инвертор, в котором как время прохождения сигнала со входа на выход, так и время перехода из одного состояния в другое были равны нулю. В реальном инверторе эти времена отличны от нуля. Закон функционирования реального инвертора получают посредством замещения реального инвертора его эквивалентом. Одним из таких эквивалентов является схема, состоящая из элемента задержки входного сигнала x на время dtи идеального инвертора. Для наших целей достаточно именно этого эквивалента. Его функционирование описывается простым выражением y(t)=неx(t-dt). Кроме этого, нам удобно рассматривать функционирование реального инвертора, полагая временную задержку dt единичной, а само время дискретным. Тогда вместо y(t) можно писать yi, а вместо x(t-dt) – xi-1. Соответственно реальный инвертор будет моделировать зависимость yi=неxi-1. Соединив выход y такого инвертора с его входом x, получим для его закона функционирования зависимость yi=неyi-1. Это и есть реальная модель парадокса "Лжец". Действительно, сначала мы замечаем, что, полагая y=Я, будем иметь Яi=неЯi-1. Затем вспомнив, что выше, рассматривая истинное положение вещей в отношении парадокса "Лжец", мы дали правильное его описание: получив соотношения Я1=(Я=Л)=неЯ, Я2=(Я1=Л)=неЯ1, мы остановились и заметили, что Я2=неЯ1=не(неЯ)=Я. Здесь же мы не будем останавливаться на этом, а продолжим описание самоприменимости с одновременным утверждением лжи о себе, а именно: Я3=(Я2=Л)=неЯ2, Я4=(Я3=Л)=неЯ3, ..., Яi=(Яi-1=Л)=неЯi-1, ... . нетрудно видеть, что именно эту последовательность и моделирует реальный инвертор с обратной связью. Причем, все четные ее высказывания Я2, ..., Я2n, ... тождественны самому субъекту Я, а нечетные – Я1, Я3, ..., Я2n+1, ... – его отрицанию неЯ, то есть на самом деле имеет место последовательность неЯ=>Я=>неЯ=>Я=>... (здесь и дальше стрелки – это не импликации). если в данной последовательности все пары неЯ=>Я обозначить через А, то она примет вид тавтологии А=>А=>А=>..., или вид повторяющегося тождественно-истинного высказывания в форме Евбулида. Тождественно-истинное же высказывание, независимо от того, сколько раз оно повторяется, парадоксом не является. Наблюдая только за парой А, мы тем самым не будем замечать последовательности, или, диалектически, мы тем самым снимем регресс в бесконечность. Таким
10-09-2015, 20:56