где

∆V/∆x = ω

С другой стороны, это изменение массы должно быть сбалансировано за счет изменения во времени водонасыщенности в поровом объеме m∆V:

Приравняв два последних выражения, разделив обе части полученного равенства на ρ_в ∆V∆t и перейдя к пределу при ∆x→0, ∆t→0, получим:

(3.3)

Аналогично выводится уравнение сохранения массы нефти:

(3.4)

которое в силу (3.2) можно представить в виде

(3.5)

Сложив уравнения неразрывности (3.3) и (3.5) для обеих фаз, получим:

(3.6)

откуда найдем первый интеграл:

(3.7)

Равенства (3.6) или (3.7) показывают, что суммарная скорость к1 двухфазного потока (а значит, и суммарный расход фаз Q(t) не зависит от координаты х, т.е. является либо постоянной величиной, либо известной функцией времени. Это — следствие предположения о несжимаемости фаз.

Уравнения (3.1), (3.3), (3.5) или (3.7) полностью описывают процесс вытеснения и позволяют определить неизвестные функции s(x, t), w_в (x, t), w_н (x,t) и p(x,t). Покажем, что, исключив другие зависимые переменные, можно вывести уравнение, которое содержит только водонасыщенность s.

Исключим градиент давления ∂p/∂x, поделив почленно одно на другое уравнения (3.1):

(3.1)

где введено обозначение η₀ =η_в /η_н .

Применив к (3.8) правило производных пропорций и использовав (3.7), получим

Обозначив

(3.9)

из предыдущего равенства найдем:

(3.10)

Введенная здесь функция насыщенности f(s), называемая функцией распределения потоков фаз или функцией Бакли-Леверетта, имеет простой физический смысл. Из (3.10) следует, что f(s), представляющая отношение скорости фильтрации (или расхода) вытесняющей фазы (воды) и суммарной скорости w (или расхода Q), равна объемной доле воды в суммарном потоке двух фаз. Функция f(s), как мы убедимся в дальнейшем, играет важную роль при гидродинамических расчетах двухфазных потоков, определяет полноту вытеснения и характер распределения насыщенности по пласту. Задача повышения нефтеи газоконденсатоотдачи в значительной степени сводится к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид f(s) в направлении увеличения полноты вытеснения.

Как видно из (3.9), функция f(s) полностью определяется относительными фазовыми проницаемостями. Типичные графики f(s) и ее производной f'(s) приведены на рисунке 7. С ростом водонасыщенности f(s) монотонно возрастает от 0 до 1. Характерная особенность графика f(s) -наличие точки перегиба П с насыщенностью s_n . участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная f''(s) соответственно больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Бакли-Леверетта (по сравнению, например, с задачами распространения ударных волн а газовой динамике). Графики функций f'(s) и f'(s) для различных отношений коэффициентов вязкости фаз η₀ =η_в /η_н приведены на рисунке 8. Подставив, теперь равенство (3.10) для и'в в уравнение (3.3), получим ,

(8.11)

Поскольку насыщенность есть функция двух переменных s = s(x, t), то, применяя правило дифференцирования сложной функции к слагаемому — ,что дает

Рисунок 7 — зависимость объемной доли вытесняющей фазы (воды) в потоке f(a) и ее производной (б) от насыщенности

Рисунок 8 — графики функции Бакли—Леверетта (а) и ее производной (б) для различных отношений коэффициентов вязкости η₀ =η_в /η_н

приведем окончательно (3.11) к уравнению

(3.12)

которое является дифференциальным уравнением только относительно насыщенности. Изменение насыщенности во времени по пласту можно получить в результате решения уравнения (3.12) независимо от распределения давления р(х, t). Это уравнение известно в литературе как уравнение Бакли Леверетта по имени авторов, впервые его получивших.

Для нахождения распределения насыщенности к уравнению (3.12) нужно добавить начальное и граничное условия:

(3.13)

Первое из условий (3.13) означает, что в момент времени / = 0 (до начала процесса вытеснения) в пласте имеется некоторое известное распределение насыщенности s₀ вытесняющей фазы, определяемое функцией φ(x). Согласно второму условию (3.13), при t > 0 в пласт через нагнетательную галерею, расположенную на «линии» х = 0, закачивается вытесняющая жидкость (вода), насыщенность которой при х = 0 меняется со временем по заданному закону ψ(t). В некоторых случаях можно считать, что

(3.14)

Это-случай кусочно-постоянных начальных данных, имеющий важное значение для практических приложений. Величина начальной водонасыщенности s₀ влияет на процесс заводнения и определяет структуру зоны вытеснения. В дальнейшем для простоты будем считать суммарную скорость фильтрации w(t) (а значит, и суммарный расход Q) постоянной величиной:

Практическая часть

Задача 1

Определить предельный безводный дебит скважины, вскрывшей нефтяной пласт с подошвенной водой, если R_к =200 м, радиус скважины r_c =10 см, нефтенасыщенная мощность пласта h₀ =12 м, разность плотностей воды и нефти ρ_в -ρ_н =0,398 г/см³ , динамический коэффициент вязкости нефти μ_н =2,54 сП. Пласт считать однородным по проницаемости (х=1), k= 1 Д.

Задачу можно решить по формуле Н. Ф. Иванова и по методу, предложенному И. А. Чарным при мощности вскрытой части пласта b, равной 6 м и 2 м.

Решение: определим предельный безводный дебит при приближённой формуле Н. Ф. Иванова

По графикам И. А. Чарного (см рисунок 1) найдём где

Рисунок 1

Как видно из рассчётов, форумла Н. Ф. Иванова даёт резко заниженный предельный безводный дебит по сравнению с предльным безводным дебитом по методу И. А. Чарного.

Задача 2

Определить предельно допустимую депрессию при отборе нефти из скважины, вскрывающей пласт с подошвенной водой на глубину b=12,5 м. Мощность нефтеносной части пласта в отдалении от скважины h₀ =50 м, проницаемость пласта k=0,5 Д, плотность воды ρ_н =0,7 г/см³ , динамический коэффициент вязкости нефти μ_н =2 сП, расстояние до контура питания R_к =200 м, диаметр скважины d_c =21,9 см, пласт считать изотропным

Решение: По методу И. А. Чарного определим приближённое значение безводного дебита нефти

По графику зависимости q от ρ и(см. рисунок 1) при значении ρ=4 и = 0,25 получаем

и

Предельно допустимую депрессию найдём из решения Маскета о притоке к скважине гидродинамически несовершенной по степени вскрытия:

здесь значение функции (см. рисунок 2)

Рисунок 2

Заключение

В ходе изучения курсовой работы я ознакомился с теорией «Расчёта параметров вытеснения одной жидкости другой».

Выяснил что вопросы вытеснения одной жидкости другой являются наиболее важными, так как большинство нефтегазовых месторождений эксплуатируется при водонапорном и упруговодонапорном режиме работы залежи, а расчёт параметров вытеснения нефти водой позволяет рассчитать дебет нефти таких залежей.

Научился определять предельный безводный дебет скважин и предельно допустимую депрессию при отборе нефти из скважины, вскрывающей пласт с подошвенной водой.

Для решения практических задач разработки нефтяных и газовых месторождений важное значение имеет прогнозирование продвижения контактов пластовых флюидов, а также контроль и регулирование динамики их перемещения. Это позволяет оптимизировать систему разработки месторождения, правильно определить число и размещение добывающих и нагнетательных скважин на месторождениях при естественных и искусственных режимах их эксплуатации.

Список используемой литературы

1. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов.- М.: Недра, 1993;

2. Евдокимова В.А., Кочина И.Н. Сборник задач по подземной гидравлике. -М.: Недра, 1979.

3. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. - М.: Гостоптехиздат, 2001.