Модель портального манипулятора

Построение и исследование динамической модели портального манипулятора

Аннотация

Данная работа посвящена построению и исследованию динамической модели портального манипулятора, описывающей переходные процессы в манипуляторе с шаговым приводом в момент его позиционирования. При построении были использованы экспериментально полученные параметры, благодаря чему удалось получить достаточно простую и адекватную модель.

При составлении подобных моделей у разработчика возникает стремление как можно более полно отразить свойства и характеристики объекта, что приводит к чрезмерному росту сложности модели, в результате чего снижается ее практическая полезность. Поэтому в данной работе особое внимание уделено разумному упрощению модели, а также возможности ее практического использования.

В ходе исследования полученной модели решена задача выбора оптимальной скорости перемещения рабочего органа, определена степень влияния точности позиционирования на быстродействие манипулятора.

Полученные результаты исследований могут быть использованы при проектировании новых и эксплуатации имеющихся моделей манипуляторов для определения рациональных значений динамических параметров.

Введение

Для решения задачи выбора оптимальной скорости перемещения звеньев манипулятора с шаговым двигателем, с целью увеличения его быстродействия, необходимо учитывать переходные процессы возникающие при позиционировании рабочих органов. Переходные процессы в виде затухающих механических колебаний возникают под действием инерционных нагрузок и приводят к увеличению времени позиционирования при выполнении переходов технологического процесса, например, при сборке, сверлении, контроле и др. Для планирования траектории необходимо знать время затухания колебаний до значения допустимой погрешности позиционирования, при котором рабочий орган манипулятора может продолжать движение. С целью определения времени такого переходного процесса создана модель манипулятора портального типа с консольной подвижной частью.

Моделирование динамики манипулятора

Методы построения динамической модели манипулятора

Динамическая модель манипулятора может быть построена на основе использования известных законов ньютоновской или лагранжевой механики. Результатом применения этих законов являются уравнения, связывающие действующие в сочленениях силы и моменты с кинематическими характеристиками и параметрами движения звеньев. Таким образом, уравнения динамики движения реального манипулятора могут быть получены традиционными методами Лагранжа – Эйлера или Ньютона – Эйлера. С помощью этих двух методов получен ряд различных форм уравнения движения, эквивалентных в том смысле, что они описывают динамику движения одной и той же физической системы.

Вывод уравнений динамики движения манипулятора методом Лагранжа – Эйлера отличается простотой и единством подхода. В рамках предположения о том, что звенья представляют собой твердые тела, этот подход приводит в общем случае к системе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнения Лагранжа – Эйлера обеспечивают строгое описание динамики состояния манипулятора и могут быть использованы для разработки усовершенствованных законов управления в пространстве присоединенных переменных. В меньшей степени они используются для решения прямой и обратной задач динамики. Прямая задача состоит в том, чтобы по заданным силам и моментам определить обобщенные ускорения, интегрирование которых позволяет получить значения обобщенных координат и скоростей. Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщенным координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты.

С целью получения более эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов можно использовать уравнения Ньютона – Эйлера. Вывод уравнений движения манипулятора методом Ньютона – Эйлера прост по содержанию, но весьма трудоемок. Результатом является система прямых и обратных рекуррентных уравнений, последовательно применяемых к звеньям манипулятора. С помощью прямых уравнений последовательно от основания к схвату вычисляются кинематические характеристики движения звеньев, такие, как линейные и угловые скорости и ускорения, линейные ускорения центров масс звеньев. Обратные уравнения позволяют последовательно от схвата к основанию вычислить силы и моменты, действующие на каждое из звеньев. Наиболее важный результат такого подхода состоит в том, что время, необходимое для вычисления обобщенных сил и моментов прямо и пропорционально числу сочленений, но не зависит от реализующейся в процессе движения конфигурации манипулятора. Это позволяет реализовывать простые законы управления манипулятором в реальном времени.

Низкая вычислительная эффективность уравнений Лагранжа – Эйлера обусловлена в основном тем, что для описания кинематической цепи используются матрицы преобразования однородных координат. Уравнения Ньютона – Эйлера обладают большей вычислительной эффективностью, что связано с их рекуррентной природой. Однако такие рекуррентные уравнения не обладают “аналитичностью”, столь полезной при синтезе управления в пространстве состояний. Для синтеза законов управления желательно иметь в распоряжении замкнутую систему дифференциальных уравнений, точно описывающих динамику движения манипулятора.

В связи с тем что для построения модели динамики переходных процессов и дальнейшего анализа полученных уравнений необходима аналитическая форма, решено использовать для получения уравнений динамики метод Лагранжа – Эйлера.

Уравнения динамики манипулятора

Уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы с n степенями свободы, которым отвечают обобщенные координаты (j = 1,2,…,n ), имеют вид

(j = 1,2,…,n ),

(1.1)

где – функция Лагранжа, разности кинетической Т и потенциальной П энергий системы; – обобщенные силы управляющих приводов, приведенные к j -ой обобщенной координате: они имеют размерность моментов, если – угол поворота, или сил, если – линейное перемещение.

С учетом того, что и , перепишем уравнение (1.1) в виде

(1.2)

где , .

В последних равенствах через обозначены внешние обобщенные силы, вызванные весом звеньев и груза, удерживаемого в захватном устройстве. При наличии внешнего воздействия – силы , приложенной к захватному устройству, в правую часть равенства для надо добавить член , характеризующий это воздействие:

(1.3)

Используем выражение (1.2) для вывода уравнений динамики манипулятора. Рассматривая исполнительный механизм манипулятора как систему из n твердых тел, запишем его кинетическую энергию T в виде суммы кинетических энергий звеньев:

(1.4)

В свою очередь величину определим по формуле [3]

(1.5)

где – масса звена i ; – скорость некоторой точки звена , принятой за полюс; – вектор радиус центра инерции звена в системе осей с ним связанных, начало которой совпадает с полюсом ; – тензор инерции звена в точке ; – вектор угловой скорости звена в принятой системе координат.

Выражение (1.5) принимает наиболее простой вид, если за полюс звена принять его центр инерции; величина будет равна нулю и выражение (1.5) упростится:

(1.6)

Кроме того, в большинстве случаев звенья манипулятора представляют собой твердые тела, обладающие симметрией относительно трех ортогональных осей, проведенных через центр инерции. Напомнив правило разметки осей систем координат, связанных со звеньями, в соответствии с которым одна из осей системы совпадает с осью звена (вектором ), а две другие образуют с ней правую триаду, получим при помещении точки в центр инерции (см. рис. 1.1) оси полученной системы становятся главными осями инерции и тензор вектора в точке имеет вид диагональной матрицы

(1.7)

моменты инерции относительно осей в которой определяются выражениями

(1.8)

и для звеньев заданной конфигурации являются известными константами. При отсутствии осевых симметрий тензор инерции звена в точке характеризуется матрицей

(1.9)

центробежные моменты в которой определяются выражениями

(1.10)

и также являются известными константами.

Определим вектор скорости центра инерции звена i через проекции на оси связанной с ним системы координат как

(1.11)

или через проекции на оси неподвижной системы осей в виде

(1.12)

По аналогии с введем вектор угловой скорости звена

(1.13)

и запишем равенство (1.6) в развернутой форме для случая, когда звенья манипулятора обладают симметрией относительно главных осей инерции. Для этого подставим выражения , , из (1.7), (1.11), (1.13) в (1.6) и получим

(1.14)

При использовании вектора скорости центра инерции в форме (1.14) выражение

(1.15)

с учетом которого равенство (1.4) принимает вид

(1.16)

Построение динамической модели переходных процессов манипулятора МРЛ-901П

Модель переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П

Модель портального манипулятора МРЛ-901П представлена на рис. 2.1. Деформирующимися элементами в манипуляторе являются: зубчатый ремень, обозначенный пружиной; консольная часть, на которой имеется сосредоточенная масса m . Деформация поперечной консоли обозначена на схеме углом . Исходными данными для расчета такой модели будут: значение подвижной массы m , плечо приложения этой массы l , а также коэффициент натяжения зубчатого ремня, определяемый как отношение прогиба ремня к его длине и влияющий на жесткость, и демпфирование модуля линейного перемещения.

При остановке электроприводов подвижные массы будут продолжать движение под действием инерционных сил, в результате чего точки А и Б займут положение и соответственно, затем остановятся и под действием сил упругой деформации пружины и балки начнут совершать колебательное движения.

Рассматриваемая модель имеет три степени свободы, обозначим независимые обобщенные координаты как , и . Для описания данной модели воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:

(j = 1,2,…,k ),

(2.1)

где T - кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; k - количество степеней свободы.

Кинетическая энергия системы с тремя степенями свободы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей [5]:

(2.2)

Коэффициенты являются функциями координат , и .

Предположим, что обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия, где .

Располагая коэффициенты по степеням и пологая для упрощения записи , получим:

(2.3)

Потенциальная энергия системы:

(2.4)

При этом учитываем, что в положении равновесия обобщенные силы также обращаются в нуль.

В (2.4) для упрощения приняты следующие обозначения:

, , , , , .

Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы …,. Потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил отклонении от него выражается квадратичной формой вида (2.4).

Элементарная работа всех сил действующих на систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:

(2.5)

Замечая, что

а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях , и , получаем три уравнения:

(2.6)

Здесь , и - обобщенные силы для системы сил …,, уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при отклонении системы из положения равновесия . Заменяя в (2.6) производные потенциальной энергии их выражениями согласно (2.4), получим систему уравнений, определяющих значение координат , и в положении равновесия:

(2.7)

причем , и .

Решение системы (2.7) имеет вид:

(2.8)

где

(2.9)

На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения [4, 5] силу сопротивления принимают пропорциональной первой степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол мал и координаты массы m можно записать как . Поэтому на основании кинетостатики можем записать:

(2.10)

где -обобщенная сила, - коэффициент сопротивления пропорциональный первой степени скорости движения массы m . Так как масса собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования колебаний (практически - рабочий орган манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m .

Сила действует на все звенья манипулятора следовательно:

(2.11)

Коэффициенты в (2.7) будем определять из того, что согласно (2.11) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим сначала, что действует только по координате , затем только по координате и наконец только по координате , тогда в выражение (2.7) можно переписать:

(2.12)

таким образом , используя (2.9) находим:

(2.13)

Коэффициенты , и определяют податливость звеньев манипулятора по координатам , и соответственно. Выражая податливость звеньев через их жесткость, запишем:

(2.14)

где , и жесткости звеньев по координатам , и соответственно.

Подставляя (2.14) , (2.11) и (2.10) в (2.8) получим:

(2.15)

Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m через их составляющие:

(2.16)

Поскольку в манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу, и так как в конечном итоге необходимо определить положение массы m , координаты которой выражаются как , то для этого достаточно сложить уравнения в выражении (2.15):