Оптимальные и адаптивные системы

- корни вещественные

Сумма двух экспонент представляет собой:

Если , то корни комплексно-сопряженные и решение будет представлять собой периодическую функцию. В реальной системе, переключений не более 5 - 6.

3. Метод поверхности переключений

Данный метод позволяет найти управление функций переменной состояния для случая когда оптимальное управление носит релейный характер

.

Таким образом этот метод можно применять при решении задач оптимального быстродействия, для объекта с аддитивным управлением

,

.

Суть метода заключается в том, чтобы во всём пространстве состояний выделить точки, где происходит смена знака управления и объединить их в общую поверхность переключений.

,

- поверхность переключений

.

Закон управления будет иметь следующий вид

.

Для формирования поверхности переключений удобнее рассматривать переход из произвольной начальной точки в начало координат

.

Если конечная точка не совпадает с началом координат, то необходимо выбрать новые переменные, для которых это условие будет справедливо.

Имеем объект вида

.

Рассматриваем переход , с критерием оптимальности

.

Этот критерий позволяет найти закон управления такого вида

,

с неизвестным , начальные условия нам также неизвестны.

Рассматриваем переход:

Метод обратного времени

(метод попятного движения)

Этот метод позволяет определить поверхности переключений.

Суть метода заключается в том, что начальная и конечная точки меняются местами, при этом вместо двух совокупностей начальных условий остаётся одна для .

Каждая из этих траекторий будет оптимальна. Сначала находим точки, где управление меняет знак и объединяем их в поверхность, а затем направление движения меняем на противоположное.

Пример

Передаточная функция объекта имеет вид

.

Критерий оптимальности быстродействия

Ограничение на управление .

Рассмотрим переход

.

1)

,

2)

.

3)

оптимальное управление будет иметь релейный характер

.

4) Перейдём в обратное время (т.е. ). В обратном времени задача будет иметь такой вид

.

5) Рассмотрим два случая:

Получим уравнения замкнутой системы

.

Воспользуемся методом непосредственного интегрирования, получим зависимость от и поскольку -, то имеем

,

т.к. начальные и конечные точки поменяли местами, то , получим

, (*)

аналогично

подставив (*), получим

,

отсюда

.

Построим получившееся и по методу фазовой плоскости определим направление

Применив метод непосредственного интегрирования, получим:

,

,

.

Функция будет иметь вид:

Изменив направление

точка смены знака

(точка переключения)

Общее аналитическое выражение:

.

Уравнение поверхности:

.

Оптимальный закон управления:

,

подставив уравнение поверхности, получим:

.

2.5. Субоптимальные системы

Субоптимальные системы - это системы близкие по свойствам к оптимальным

- характеризуется критерием оптимальности.

- абсолютная погрешность.

- относительная погрешность.

Субоптимальным называют процесс близкий к оптимальному с заданной точностью.

Субоптимальная система - система где есть хоть один субоптимальный процесс.

Субоптимальные системы получаются в следующих случаях:

1. при аппроксимации поверхности переключений (с помощью кусочно-линейной аппроксимации, аппроксимация с помощью сплайнов);

   
   

   

   
   

   при в субоптимальной системе будет возникать оптимальный процесс.

   

   
   

2. ограничение рабочей области пространства состояний;

3.АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

3.1.Основные понятия

Адаптивными системами называют такие системы, в которых параметры регулятора меняются вслед за изменением параметров объекта, таким образом, чтобы поведение системы в целом оставалось неизменным и соответствовало желаемому:

,

.

Существует два направления в теории адаптивных систем:

1. адаптивные системы с эталонной моделью (АСЭМ);

   
   

2. адаптивные системы с идентификатором (АСИ).

2. Адаптивные системы с идентификатором

Идентификатор - устройство оценки параметров объекта (оценка парамет­ров должна осуществляться в реальном времени).

АР - адаптивный регулятор

ОУ - объект управления

U - идентификатор

Часть, которая выделена пунктиром, может быть реализована в цифровом виде.

Рис1. Функциональная схема АСИ

V, U, X - могут быть векторы. Объект может быть многоканальным.

Рассмотрим работу системы.

В случае неизменных параметров объекта, структура и параметры адаптивного регулятора не меняются, действует главная обратная связь, сис­тема представляет собой систему стабилизации.

Если параметры объекта меняются, то они оцениваются идентификато­ром в реальном времени и происходит изменение структуры и параметров адаптивного регулятора так, чтобы поведение системы оставалось неизмен­ным.

Основные требования предъявляются к идентификатору (быстродействие и т.д.) и к самому алгоритму идентификации.

Такой класс систем используют для управления объектами с медленными нестационарностями.

Если мы имеем нестационарный объект общего вида:

,

, .

Простейший адаптивный вид будет следующий:

.

Требования, которые предъявляются к системе:

, (*)

,

где и - матрицы постоянных коэффициентов.

Реально мы имеем:

или

(**)

Если приравнять (*) и (**), то получим соотношение для определения параметров регулятора

3.3.Адаптивные системы с эталонной моделью

В таких системах существует эталонная модель (ЭМ), которая ставится параллельно объекту.

БА - блок адаптации.

Рис2. Функциональная схема АСЭМ

Рассмотрим работу системы.

В том случае, когда параметры объекта не меняются или процессы на выходе соответствуют эталонным, ошибка , не работает блок адаптации и не перестраивается адаптивный регулятор, в системе действует плавная обратная связь.

Если поведение отлично от эталонного, это происходит при изменении параметров объекта, в этом случае появляется ошибка , включается блок адаптации, перестраивается структура адаптивного регулятора, таким образом чтобы свести к эталонной модели объекта.

Блок адаптации должен сводить ошибку к нулю ().

Алгоритм, закладываемый в блок адаптации, формируется различными способами, например, с использованием второго метода Ляпунова:

.

Если это будет выполняться, то система будет асимптотически устойчива и .

1. Экстремальные системы управления

Введение

Экстремальные СУ – это такие САУ, в которых один из показателей качества работы нужно удерживать на предельном уровне (min или max).

Классическим примером экстремальной СУ является система автоподстройки частоты радиоприёмника.

A

- экстремальная характеристика

w

Рис.1.1. Амплитудно-частотная характеристика

1.1. Постановка задачи синтеза экстремальных систем

Объекты описываются уравнениями:

(1.1)

Экстремальная характеристика дрейфует во времени.

Необходимо подобрать такое управляющее воздействие, которое позволяло бы автоматически находить экстремум и удерживать систему в этой точке.

U: extr Y=Y_o (1.2)

Y

y – выход динамической части объекта

Y – экстремальный выход

Y_o - точка экстремума

y_o y

Рис.1.2. Статическая экстремальная характеристика

Необходимо определить такое управляющее воздействие, которое обеспечило выполнение свойства:

(1.3)

1.2. Условие экстремума

Необходимое условие экстремума – равенство нулю первых частных производных.

G – градиент. (1.4)

Достаточное условие экстремума – равенство нулю вторых частных производных .

При синтезе экстремальной системы необходимо оценить градиент, но вектор вторых частных производных оценить невозможно, и на практике, вместо достаточного условия экстремума используют соотношение:

- min (1.5)

- max (1.6)

Этапы синтеза экстремальной системы:

1. оценка градиента.

2. Организация движения в соответствии с условием: G 0, т.е. движение к экстремуму.

3. Стабилизация системы в точке экстремума

U = f+BU y Y

P y = g(x)

экстремальная

регулятор характеристика

БОГ

Рис.1.3. Функциональная схема экстремальной системы

1.3. Виды экстремальных характеристик

1) Унимодальная экстремальная характеристика типа модуля

Y

Y = k |y| (1.7)

Y = k₁|y-y₀(t)| + k₂(t)

k₁ – определяет наклон;

Y_o y_o – горизонтальный дрейф экстремума;

k₂ – вертикальный дрейф экстремума.

y₀

Рис. 1.4. Экстремальная характеристика типа модуля

2) Экстремальная характеристика типа параболы

Y

Y = ky²; (1.8)

Y = k₁ [y-y_o(t)]² + k₂(t)

y

Рис. 1.5. Экстремальная характеристика типа параболы

3) В общем случае экстремальную характеристику можно описать параболой n-го порядка:

Y = k₁|y-y_o(t)|ⁿ + k₂|y-y_o(t)|^n-1 + …+k_n| y-y_o(t)| + k_n+1(t). (1.9)

4) Векторно-матричное представление

Y = y^TBy (1.10)

1.4. Способы оценки градиента

1.4.1. Способ деления производных

Рассмотрим его на унимодальной характеристике, y- выход динамический части системы.

yR¹, Y = Y(y,t)

Найдём полную производную по времени:

(1.11)

При медленном дрейфе , таким образом (1.12)

Достоинство: простота.

Недостаток: при малых 0 нельзя определить градиент.

- дифференцирующий фильтр.

y Y

БОГ

G

Рис. 1.6. Схема оценки частной производной

1.4.2. Дискретная оценка градиента

(1.13)

y Y

Недостаток: невозможность определения

G при y = 0.

y(kT) Z^-1 Z^-1 Y(kT)

G

Рис. 1.7. Схема дискретной оценки частной производной

1.4.3. Дискретная оценка знака градиента

При малом шаге дискретизации заменяем: Т  0:

(1.14)

1.4.4. Метод синхронного детектирования

Метод синхронного детектирования предполагает добавление ко входному сигналу на экстремальный объект дополнительного синусоидального сигнала малой амплитуды, высокой частоты и выделение из выходного сигнала соответствующей составляющей. По соотношению фаз этих двух сигналов можно сделать вывод о знаке частных производных.

y Y

ГСК – генератор синусоидальных

asinwt колебаний.

ФЧУ ФЧУ – фазо-чувствительное устройство

ГСК  Ф - фильтр

Ф

Z

Рис. 1.8. Функциональная схема оценки частной производной

Y

Y_o

t

t

y

y₁ y_o y₂

a

t t

Рис. 1.9. Иллюстрация прохождения поисковых колебаний на выход системы

y₁ – рабочая точка

При этом разность фаз сигналов равна 0.

y₂ – разность фаз сигналов равна 

В качестве простейшего ФЧУ можно использовать блок перемножения.

ФЧУ

y  1) 2)

1) Y 2)

Рис. 1.10. Иллюстрация работы ФЧУ

В качестве фильтра выбирают усредняющий на периоде фильтр, который позволяет получить на выходе сигнал, пропорциональный значению частной производной.

Y При малой амплитуде поискового сигнала можно считать, что статическая характеристика в малой окрестности рабочей точки – линейка и аппроксимируем её касательной в этой точке.

y₁ y

Рис. 1.11. Линеаризация статической характеристики в рабочей точке

Следовательно уравнение экстремальной кривой можно заменить уравнением прямой:

(1.16)

Сигнал на выходе ФЧУ:

(1.17)

k – коэффициент пропорциональности – тангенс угла наклона прямой.

. (1.18)

Сигнал на выходе фильтра:

Таким образом:  (1.19)

Метод синхронного детектирования годится для определения не только одной частной производной, но и градиента в целом, при этом на вход подаётся несколько колебаний различной частоты. Соответствующие фильтры на выходе выделяют реакцию на конкретный поисковый сигнал.

1.4.5. Специальный фильтр оценки градиента

Этот метод предполагает введение в систему специальную динамическую систему, промежуточный сигнал которой равен частной производной.

y

Z

29-04-2015, 04:06