Обоснование точности измерений и допусков при развитии геодезических сетей специального назначен

_{S5 2}

0

0

0,9761

-0,2175

S_{4 2}

0,6828

-0,7306

0

0

S_{4 3}

0,9833

0,1818

0

0

S₄₅

0,2405

-0,9706

-0,2405

0,9706

Установление единицы веса и вычисление исходной весовой матрицы P для уравниваемых величин.

Измеряемые углы на пунктах триангуляции представляются рядом равноточных независимых направлений. Поэтому в качестве единицы веса целесообразно взять вес измерения направлений. Тогда корреляционная матрица ошибок направлений, а следовательно, и ее весовая матрица P_М , будут равны единичной матрице

Q = P_М = Е .

Вычисление корреляционной матрицы ошибок координат определяемых пунктов.

Корреляционная матрица ошибок необходимых параметров равна обратной матрице коэффициентов нормальных уравнений

.

Благодаря диагональной конструкции матрицы P формулу для вычисления коэффициентов нормальных уравнений представим в виде

Учитывая, что и в рассматриваемой сети не планируются измерения азимутов и длин сторон, корреляционная матрица ошибок необходимых параметров будет равна

.

В результате вычислений получим:

=

матрицу можно разбить на блоки

где — корреляционная матрица ошибок уравненных значений ориентирующих углов;

—матрица взаимных весовых коэффициентов между уравненными значениями ориентирующих углов и уравненными значениями координат определяемых пунктов;

— корреляционная матрица ошибок координат определяемых пунктов.

x=

Вычисление корреляционных матриц ошибок

дирекционных углов и длин сторон сети.

Дирекционные углы и длины сторон геодезической сети являются функциями координат:

Корреляционные матрицы их ошибок в уравненной сети вычисляются по формулам:

F _a — матрица частных производных оцениваемых дирекционных углов;

F_s — матрица частных производных оцениваемых длин сторон сети.

Известно, что

,

, ,

где и — модельные значения дирекционных углов и длин сторон проектируемой сети.

Производные , , и равны

,

, .

Матрица частных производных оцениваемых

дирекционных углов (матрица F _a ):

Матрица частных производных оцениваемых

длин сторон (матрица F_s ):

После перемножения матриц получим искомую корреляционную матрицу ошибок дирекционных углов :

После перемножения матриц получим корреляционную матрицу ошибок длин сторон :

Определение средней квадратической ошибки единицы веса .

Имея заданную точность определения дирекционных углов и длин сторон сети, а также корреляционные матрицы их ошибок и можно подобрать такое максимальное значение m, которое доставит определяемым величинам заданную точность. Для этого в корреляционных матрицах и выбираются максимальные диагональные элементы. Заметим, что диагональные элементы этих матриц равны обратным весам оцениваемых дирекционных углов и длин сторон сети.

По формулам:

;

вычисляются значения средней квадратической ошибки единицы веса.

Из двух значений m выбирается наименьшее значение. В этих формулах и означают требуемые точности определения дирекционных углов и длин сторон сети.

Для данной сети имеем:

=6,77˝ =6,78˝

для средней квадратической ошибки единицы веса необходимо установить значение равное 6,78". Оно является максимально возможным из всех, которые могут доставить дирекционным углам и длинам сторон проектируемой сети требуемую точность.

Определение случайной и систематической

средних квадратических ошибок измерений .

За единицу веса принят вес измерения направлений. Известно, что угловые измерения сопровождаются случайными и систематическими ошибками. Поэтому среднюю квадратическую ошибку единицы веса представим в виде:

,

где m _D - средняя квадратическая случайная ошибка измерения направлений;

m _d - средняя квадратическая систематическая ошибка измерения направлений.

Влияние случайных ошибок ослабляется путем увеличения числа приемов. По экономическим соображениям число приемов ограничивается и доводится до определенного минимума, который позволяет свести случайные ошибки к пренебрегаемым величинам. Если , то влияние случайных ошибок на результаты измерений будет незначительным по сравнению с влиянием систематических ошибок. Определим случайную составляющую средней квадратической ошибки единицы веса. Для этого примем . Тогда:

.

Отсюда находим:

.

В развиваемой сети случайная составляющая средней квадратической ошибки единицы веса должна быть равной:

Влияние систематических ошибок на точность измерений горизонтальных направлений в рассматриваемой сети не должно превосходить:

Требования к точности прибора и числу приемов.

Величина определяет, с какой средней квадратической случайной ошибкой должны быть получены в результате многократных измерений элементы геодезической сети. Она позволяет установить для них предельные ошибки. Для установления значения обычно назначают вероятности выполнения неравенства

равными:

где — случайная ошибка среднего арифметического значения измеряемой величины.

Тогда предельные ошибки будут равны:

Предельные ошибки при проектировании измерений, как правило, определяются по формуле:

.

Проектируемая сеть является сетью триангуляции. Значения горизонтальных направлений на пунктах триангуляции могут быть получены в результате измерения горизонтальных углов способом круговых приемов (способ Струве) и способом во всех комбинациях (способ Шрейбера). Предельные ошибки значений горизонтальных углов, полученных в результате многократных измерений будут равны:

,

где — проектное значение средней квадратической случайной ошибки измерения горизонтальных углов.

Горизонтальные углы являются функциями равноточных направлений. Поэтому для рассматриваемой сети будем иметь:

предельная ошибка измерения горизонтальных углов составит:

Для обоснования требований к точности прибора и числу приемов рассмотрим величину:

,

где m — средняя квадратическая случайная ошибка измерений одним приемом, вычисляемая по результатам измерений (по формуле Бесселя).

Величина T является случайной. Она имеет распределение Стьюдента. Функция распределения по закону Стьюдента выражает вероятность того, что случайная величина T принимает по абсолютной величине значения меньшие заданного

.

Распределение Стьюдента зависит от числа степеней свободы r . Для измеряемых величин число степеней свободы определяется по формуле:

r = n – 1 ,

где n — количество приемов.

Приняв определенное значение g и задавая степень свободы r по таблице Стьюдента можно найти . Ему должна соответствовать величина:

.

Отсюда следует:

.

Степень свободы подбирается такой, чтобы точность измерения одним приемом m и число приемов n = r + 1 были приемлемы при производстве наблюдений на пунктах сети.

По величине m определяется класс прибора, обеспечивающий данную точность измерений одним приемом:

m _п < m ,

где m _п — паспортное значение средней квадратической ошибки измерения одним приемом.

Значение g должно назначаться примерно равным единице. Если взять, например, g = 0,9 — то в десяти случаях из ста могут оказаться незамеченными измерения, для которых случайная ошибка среднего арифметического значения будет больше предельной, т.е. 10% некачественных измерений будут приняты в обработку. При g = 0,99 только 1% некачественных измерений будет незамеченным. Обычно g принимается равным 0,995; 0,997; 0,999.

Примем g = 0,999. По таблице распределения Стьюдента для r = 2 находим = 31.6. Из выражения r = n – 1 определяем число приемов

n = r + 1 = 3.

Среднюю квадратическую ошибку измерения угла одним приемом вычислим по формуле

.

Таким образом, чтобы получить значения горизонтальных углов с


29-04-2015, 00:33