Нечеткие множества в системах управления

В. Я. Пивкин, Е. П. Бакулин, Д. И. Кореньков

Нечеткие множества в системах управления

Под редакцией
доктора технических наук, профессора Ю.Н. Золотухина

Оглавление

Предисловие. 3

ВВЕДЕНИЕ.. 4

1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА.. 5

Примеры записи нечеткого множества. 5

Основные характеристики нечетких множеств. 5

Примеры нечетких множеств. 6

О методах построения функций принадлежности нечетких множеств. 7

Операции над нечеткими множествами. 8

Наглядное представление операций над нечеткими множествами. 9

Свойства операций È и Ç. 9

Алгебраические операции над нечеткими множествами. 10

Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости. 13

Принцип обобщения. 16

2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ.. 17

Операции над нечеткими отношениями. 18

Композиция двух нечетких отношений. 21

Условные нечеткие подмножества. 23

3. НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ.. 27

Нечеткие числа. 28

Операции над нечеткими числами. 28

Нечеткие числа (L-R)-типа. 29

4. НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ... 32

Правила преобразований нечетких высказываний. 33

Способы определения нечеткой импликации. 33

Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели. 35

Модель управления паровым котлом.. 36

Полнота и непротиворечивость правил управления. 39

Литература. 40

Предисловие

Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Его работа "Fuzzy Sets", появившаяся в 1965 году в журнале Information and Control, ╬ 8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятие множества , допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0;1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy ). Л.Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.

Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л.Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Дальнейшие работы профессора Л.Заде и его последователей заложили прочный фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику.

Уже к 1990 году по этой проблематике опубликовано свыше 10000 работ, а число исследователей достигло 10000, причем в США, Европе и СССР по 200-300 человек, около 1000 - в Японии, 2000-3000 - в Индии и около 5000 исследователей в Китае.

В последние 5-7 лет началось использование новых методов и моделей в промышленности. И хотя первые применения нечетких систем управления состоялись в Европе, наиболее интенсивно внедряются такие системы в Японии. Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют повысить качество продукции при уменьшении ресурсо и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления.

Другими словами, новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем автоматизации за пределы применимости классической теории. В этом плане любопытна точка зрения Л.Заде: "Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными".

Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое.

Основная цель предлагаемого вниманию читателей учебного пособия - привлечь внимание студентов, аспирантов и молодых научных сотрудников к нечеткой проблематике и дать доступное введение в одну из интереснейших областей современной науки.

профессор Ю.Н.Золотухин

май 1995г.

ВВЕДЕНИЕ

Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Пусть E - универсальное множество, x - элемент E , а R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E , элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар A = { m_A (х )/х } , где

m_A (х ) - характеристическая функция , принимающая значение 1 , если x удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R . В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = { m_A (х )/х } , где

m_A (х ) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1] ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A . Множество M называют множеством принадлежностей . Если M = {0,1} , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x₁ , x₂ , x₃ , x₄ , x₅ } , M = [0,1] ; A - нечеткое множество, для которого

m_A (x ₁ )=0,3;

m_A (x ₂ )=0;

m_A (x ₃ )=1;

m_A (x ₄ )=0,5;

m_A (x ₅ )=0,9.

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x ₁ ; 0/x ₂ ; 1/x ₃ ; 0,5/x ₄ ; 0,9/x ₅ } или

A = 0,3/x ₁ + 0/x ₂ + 1/x ₃ + 0,5/x ₄ + 0,9/x ₅ , или

.

Замечание. Здесь знак "+ " не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M .

Величина m_A (x ) называется высотой нечеткого множества A . Нечеткое множество A нормально , если его высота равна 1 , т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (m_A (x )=1 ). При m_A (x )<1 нечеткое множество называется субнормальным .

Нечеткое множество пусто , если "x ÎE m_A (x )=0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле m_A (x ) := .

Нечеткое множество унимодально , m_A (x )=1 только на одном x из E.

Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством m_A (x )>0 , т.е. носитель A = {x/ m_A (x )>0} "x ÎE .

Элементы x ÎE , для которых m_A (x )=0,5 называются точками перехода множества A .

Примеры нечетких множеств

Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: "несколько " = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота = 1 , носитель = {3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

Пусть E = { 0,1,2,3,...,n ,...}. Нечеткое множество "малый " можно определить:

"малый" = .

Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст ", тогда нечеткое множество "молодой ", может быть определено с помощью

m _{"молодой"} (x ) = .

Нечеткое множество "молодой " на универсальном множестве E' ={Иванов, Петров, Сидоров ,...} задается с помощью функции принадлежности m_{"молодой "} (x ) на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:

m_{"молодой"} (Сидоров ):= m _{"молодой} "(x ), где x - возраст Сидорова.

Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес ,....} - множество марок автомобилей, а E' = [0,¥) - универсальное множество "стоимость ", тогда на E' мы можем определить нечеткие множества типа: "для бедных ", "для среднего класса ", "престижные ", с функциями принадлежности типа:

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из E в данный момент времени, мы тем самым определим на E' нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество "для бедных ", заданное на универсальном множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес ,....} выглядит следующим образом:

Аналогично можно определить Нечеткое множество "скоростные ", "средние ", "тихоходные " и т.д.

О методах построения функций принадлежности нечетких множеств

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого x ÎE значение m_A (x ) , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает m_A (x ) Î [0,1], формируя векторную функцию принадлежности { m_A (x₁ ), m_A (x₂ ),... m_A (x₉ )}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: "этот человек лысый " или "этот человек не лысый ", тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m_"лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, m_A (x_i ) = w_i , i =1,2,...,n , то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a_ij }, где a_ij =w_i /w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1/a_ij , т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w , удовлетворяющего уравнению вида А_w = l_max w , где l_max - наибольшее собственное значение матрицы A . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Операции над нечеткими множествами

Включение .

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B , если "x ÎE m_A (x ) m_B (x ).

Обозначение : A Ì B .

Иногда используют термин "доминирование ", т.е. в случае когда A ÌB , говорят, что B доминирует A .

Равенство .

A и B равны, если "x ÎE m_A (x ) = m_B (x ).

Обозначение : A = B .

Дополнение.

Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E . A и B дополняют друг друга, если

"x ÎE m_A (x ) = 1 - m_B (x ).

Обозначение : B = или A = .

Очевидно, что = A . (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M ).

Пересечение .

A ÇB - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B .

mA ÇB(x ) = min( m_A (x ), m_B (x )).

Объединение.

А È В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А , так и В , с функцией принадлежности:

mA È B(x ) = max( m_A (x ), m_B (x )).

Разность.

А - B = А Ç с функцией принадлежности:

m_A-B (x ) = mA Ç (x ) = min( m_A (x ), 1 - m_B (x )).

Дизъюнктивная сумма.

А ÅB = (А - B) È(B - А) = (А Ç) È( Ç B) с функцией принадлежности:

m_A-B (x ) = max{[min{ m_A (x ), 1 - m_B (x )}];[min{1 - m_A (x ), m_B (x )}] }

Примеры.

Пусть:

A = 0,4/ x ₁ + 0,2/ x ₂ +0/ x ₃ +1/ x ₄ ;

B = 0,7/ x ₁ +0,9/ x ₂ +0,1/ x ₃ +1/ x ₄ ;

C = 0,1/ x ₁ +1/ x ₂ +0,2/ x ₃ +0,9/ x ₄ .

Здесь:

A ÌB , т.е. A содержится в B или B доминирует A , С несравнимо ни с A , ни с B , т.е. пары {A, С } и {A, С } - пары недоминируемых нечетких множеств.

A ¹ B ¹ C.

= 0,6/ x ₁ + 0,8/x ₂ + 1/x ₃ + 0/x ₄ ;

= 0,3/x ₁ + 0,1/x ₂ + 0,9/x ₃ + 0/x ₄ .

A Ç B = 0,4/x ₁ + 0,2/x ₂ + 0/x ₃ + 1/x ₄ .

А ÈВ = 0,7/x ₁ + 0,9/x ₂ + 0,1/x ₃ + 1/x ₄ .

А - В = А Ç = 0,3/x ₁ + 0,1/x ₂ + 0/x ₃ + 0/x ₄ ;

В - А =ÇВ = 0,6/x ₁ + 0,8/x ₂ + 0,1/x ₃ + 0/x ₄ .

А Å В = 0,6/x ₁ + 0,8/x ₂ + 0,1/x ₃ + 0/x ₄ .

Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения m_A (x ) , на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A . На нижней - даны , A Ç, A È.

Свойства операций È и Ç.

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

- идемпотентность;

- дистрибутивность;

A ÈÆ = A , где Æ - пустое множество , т.е. mÆ(x) = 0 ">x ÎE ;

AÇÆ = Æ;

A ÇE = A , где E - универсальное множество;

AÈE = E;

- теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

AǹÆ,

Aȹ E.

(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min . В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и ", "или ", "не ".

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм .

Треугольной нормой (t -нормой ) называется двуместная действительная функция T :[0,1]´[0,1]®[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

T (0,0)=0; T (m_A , 1) = m_A ; T (1,m_A ) = m_A - ограниченность ;

T(m_A , m_B ) £T(m_C , m_D ), если m_A £m_C , m_B £m_D - монотонность ;

T(m_A , m_B ) = T(m_B , m_A ) - коммутативность ;

T(m_A , T(m_B , m_C ))= T( T(m_A , m_B ), m_C ) - ассоциативность ;

Простым случаем треугольных норм являются:

min (m_A ,m _B )

произведение m_A ×m_B

max (0,m_A +m_B -1).

Треугольной конормой (t -конормой ) называется двуместная действительная функция ^:[0,1]´[0,1]® [0,1], со свойствами:

T (1,1) = 1; T( m_A ,0) = m_A ; T (0, m_A ) = m_A - ограниченность ;

T(m_A , m_B )³ T(m_C , m_D ), если m_A ³m_C , m_B ³m_D - монотонность ;

T(m_A , m_B ) = T(m_B , m_A ) - коммутативность ;

T(m_A , T(m_B , m_C )) = T(T(m_A , m_B ),


29-04-2015, 02:39