Нечеткие множества в системах управления

(x,y) = 1 - m _R (x,y)

.

Дизъюнктивная сумма двух отношений.

Дизъюнктивная сумма двух отношений R₁ и R₂ обозначается RÅR и определяется выражением:

R₁ ÅR₂ = (R₁ Ç₂ )È(₁ ÇR₂ ) .

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.

Пусть R - нечеткое отношение с функцией принадлежности m_R (x,y). Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:

По договоренности принимают m_R (x,y)=0 при m_R (x,y) = 0,5.

Проекции нечеткого отношения.

Пусть R - нечеткое отношение R : (x,y)®[0,1]. Первой проекцией отношения R (проекция на X ) называется нечеткое множество , заданное на множестве X , с функцией принадлежности:

.

Аналогично, второй проекцией (проекцией на Y ) называется нечеткое множество , заданное на множестве Y , с функцией принадлежности:

.

Величина h(R) = называется глобальной проекцией отношения R . Если h(R)=1, то отношение R нормально, в противном случае - субнормально.

Пример:

Цилиндрические продолжения проекций нечеткого отношения

Проекции R_{1 ¢} и R_{2 ¢} нечеткого отношения XRY в свою очередь определяют в X ´Y нечеткие отношения и с функциями принадлежности:

(x,y )=(x ) при любом y , (x,y )=(y ) при любом x ,

называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением R₁ ' и цилиндрическим продолжением R₂ '.

Замечание. Очевидно, что для любых нечетких подмножеств А и В , определенных, соответственно, на X и Y , можно построить их цилиндрические продолжения А и В .

Пример (продолжение):

Имеем:

R1 ' =

x 1 1 x 2 0,9 x 3 1

=

y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 1 1 1 1 1 x 2 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 x 3 1 1 1 1 1

и

R2 ' =

y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 0,9 0,2 1 1 0,9

=

x 1 0,9 0,2 1 1 0,9 x 2 0,9 0,2 1 1 0,9 x 3 0,9 0,2 1 1 0,9

Сепарабельность отношений

Нечеткое отношение XRY называется сепарабeльным, если оно равно пересечению цилиндрических продолжений своих проекций, т.е. если R = Ç , т.е. m_R (x,y ) = (x )Ç (y ).

Замечание. Если определено декартово произведение нечетких множеств (выше оно введено), то, очевидно, нечеткое отношение XRY сепарабельно, если оно является декартовым произведением своих проекций, т.е. R = R₁ ' ´R₂ ' .

Пример (продолжение):

Ç=

y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 0,9 0,2 1 1 0,9 x 2 0,9 0,2 0,9 0,9 0,9 x 3 0,9 0,2 1 1 0,9

¹R ,

т.е. исходное отношение R несепарабельно.

Композиция двух нечетких отношений

Композиция двух нечетких отношений

Пусть R₁ - нечеткое отношение R₁ : (X ´ Y )®[0,1] между X и Y, и R₂ - нечеткое отношение R₂ : (Y ´Z )® [0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R₂ ·R₁ , определенное через R₁ и R₂ выражением

m_{R1 ·R2} (x,z ) = [m_R1 (x,y )Lm _R1 (y,z )],

называется (max-min)-композицией отношений R₁ и R₂ .

Примеры:

m _{R1 · R2} (x ₁ , z ₁ ) = [m_R1 (x ₁ , y ₁ ) Lm _R2 (y ₁ , z ₁ )] V [m _R1 (x ₁ , y ₂ ) Lm _R2 (y ₂ , z ₁ )] V [m _R1 (x ₁ , y ₃ ) Lm _R2 (y ₃ , z ₁ )] =

= (0,1L0,9)V(0,7L0,3)V(0,4L0,1) = 0,1V0,3V0,1 = 0,3

m _{R1 · R2} (x ₁ ,z ₂ ) = (0,1L0)V(0,7L0,6)V(0,4L 1) = 0V0,6V0,4 = 0,6

m _{R1 · R2} (x ₁ ,z ₃ ) = 0,1

...................

...................

m _{R1 · R2} (x ₂ ,z ₅ ) = 0,5

Замечание . В данном примере вначале использован "аналитический" способ композиции отношений R₁ и R₂ , т.е. i -я строка R₁ "умножается" на j -й столбец R₂ с использованием операции L, полученный результат "свертывается" с использованием операции V в m (x_i ,z_j ).

Ниже приведены графы, соответствующие R₁ и R₂ , "склеенные" по Y. В полученном графе рассматриваем пути от x_i к z_j и каждому ставим в соответствие минимальный из "весов" его составляющих. Затем определяем максимум по всем путям из x_i в z_j , который и дает искомое m(x_i ,z_j ).

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

R₃ ·(R₂ ·R₁ ) = (R₃ ·R₂ )·R₁ ,

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

R₃ ·(R₂ È R₁ ) = (R₃ ·R₂ )È (R₃ ·R₁ ),

R₃ ·(R₂ Ç R₁ )¹(R₃ · R₂ )Ç(R₃ · R₁ ).

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если R₁ ÌR₂ то, R·R₁ ÌR·R₂ .

(max- *) - композиция

В выражении m_{R1 ·R2} (x, z ) = [m_R1 (x, y )Lm _R2 (y, z )] для (max-min)-композиции отношений R₁ и R₂ операцию L можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для L: ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

m_{R1 ·R2} (x, z ) = [m_R1 (x, y )*m _R1 (y, z )]

В частности, операция L может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max - prod)-композиции.

Обычное подмножество a - уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством a - уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение Ra такое, что

m _R1 (x,y ) =

Очевидно, что из a₁ £a₂ следует R_a1 ³ R_a2 .

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

R = a× Ra, 0<a£1,

где a× R_a означает, что все элементы R_a умножаются на a.

Условные нечеткие подмножества.

Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением R : (X ´Y )®[0,1], т.е. для каждой пары (x,y )ÎX ´Y задано значение функции принадлежности m_R (x,y )Î[0,1].

Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х , т.е. определена функция принадлежности m_A (x ) для всех х из Х . Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

m _B (y ) = min[m _A (x ), m _R (x,y )] = [m _A (x )Lm _R (x,y )].

Обозначение: B = A·R.

Пример:

Пусть X = {x ₁ , x ₂ , x ₃ }, Y = {y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ } и заданы нечеткое отношение

и нечеткое множество A = {0,3/x ₁ ,0,7/x ₂ ,1/x ₃ }.

Проведем операцию L для А и столбца y ₁ :

После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:

m _B (y ₁ ) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.

Проделав аналогичные вычисления для y ₂ , y ₃ , y ₄ имеем:

m _B (y ₂ ) = 0,3

m _B (y ₃ ) = 0,7

m _B (y ₄ ) = 0,4.

И окончательно:

Замечание. При заданном R, если А индуцирует В, то ближайшее четкое подмножество А индуцирует В .

Нечеткие подмножества последовательно обуславливающие друг друга

Если

А₁ индуцирует А₂ посредством R₁ ,

А₂ индуцирует А₃ посредством R₂ ,

.............................................

А_n-1 индуцирует А_n посредством R_n-1 ,

то

А₁ индуцирует А_n посредством R_{n-1 ·} R_n-2 · ...·R₁ ,

где R_n-1 ·R_n-2 · ... ·R₁ - определенная выше композиция нечетких отношений R₁ , R₂ , ..., R_n .

Пример:

Вернемся к примеру (max-min)-композиции.

Пусть А={0,3/x ₁ , 0,7/x ₂ }, тогда

Немного о бинарных отношениях вида XRX

Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией принадлежности m_R (x,y ), но с условием, что x и y - элементы одного и того же универсального множества. В зависимости от своих свойств (основные - симметричность, рефлексивность, транзитивность) конкретные нечеткие отношения задают отношения сходства и различия, порядка или слабого порядка между элементами Х . Они имеют обширную сферу приложений в задачах автоматической классификации и принятия решений (сравнение альтернатив).

3. НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <a, X, A>, где

a - наименование переменной,

X - универсальное множество (область определения a),

A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. m_A (x )) на значения нечеткой переменной a.

Лингвистической переменной называется набор <b ,T,X,G,M>, где

b - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TÈ G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов

символ b используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм "молодой ", являющийся значением лингвистической переменной b = "возраст ", одновременно есть и нечеткое множество М ("молодой ").

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий "малая толщина ", "средняя толщина " и "большая толщина ", при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где

b - толщина изделия;

T - {"малая толщина ", "средняя толщина ", "большая толщина "};

X - [10, 80];

G - процедура образования новых термов с помощью связок "и ", "или " и модификаторов типа "очень ", "не ", "слегка " и др. Например: "малая или средняя толщина ", "очень малая толщина " и др.;

М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А₁ ="малая толщина ", А₂ = "средняя толщина ", А₃ ="большая толщина ", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и ", "или ", "не ", "очень ", "слегка " и др. операции над нечеткими множествами вида: А Ç В, АÈ В, , CON А = А² , DIL А = А^0,5 и др.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина " (Т={"малая толщина ", "средняя толщина ", "большая толщина "}) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм ", "около 50 мм ", "около 70 мм ", т.е. в виде нечетких чисел .

Продолжение примера:

Функции принадлежности нечетких множеств:

"малая толщина" = А₁ , "средняя толщина "= А₂ , " большая толщина "= А₃ .

Функция принадлежности:

нечеткое множество "малая или средняя толщина " = А₁ ÈА₁ .

Нечеткие числа

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности m_A (x )Î[0,1], где x - действительное число, т.е. x Î R.

Нечеткое число А нормально , если m_A (x )=1, выпуклое , если для любых x£y£z выполняется

m_A (x )³m_A (y )Lm_A (z ).

Множество a - уровня нечеткого числа А определяется как

Аa = {x /m_A (x )³a}.

Подмножество S_A ÌR называется носителем нечеткого числа А, если

S = {x /m_A (x )>0}.

Нечеткое число А унимодально , если условие m_A (x ) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем , если

m_A (0) = (m_A (x )).

Нечеткое число А положительно , если "x Î S_A , x >0

и отрицательно , если "x Î S_A , x <0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая операции над обычными числами. Тогда

С = АB Ûm_C (z )=(m_A (x )Lm_B (y ))).

Отсюда:

С =Ûm_C (z )=(m_A (x )Lm_B (y ))),

С = Ûm_C (z )=(m_A (x )Lm_B (y ))),

С = Ûm_C (z )=(m_A (x )Lm_B (y ))),

С = Ûm_C (z )=(m_A (x )Lm_B (y ))),

С = Ûm_C (z )=(m_A (x )Lm_B (y ))),

С = Ûm_C (z )=(m_A (x )Lm_B (y ))).

Нечеткие числа (L-R)-типа

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x ) и R(x ), удовлетворяющих свойствам:

а) L(-x )=L(x ), R(-x )=R(x );

б) L(0)=R(0).

Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых имеют следующий вид:

Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть

L(x ) = , p ³ 0;

R(x )= , p³ 0 и т.д.

Пусть L(y ) и R(y ) - функции (L-R)-типа (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е. m_A (a )=1) c помощью L(y ) и R(y ) задается следующим образом:

m_A (x ) =

где а - мода; a>0, b>0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(y ) и R(y ) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а , a, b).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров А=(а ₁ , a ₂ , a, b), где а ₁ и a ₂ - границы толерантности, т.е. в промежутке [а ₁ ,a ₂ ] значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены ниже.

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами; отметим, что в конкретных ситуациях функции L(y ), R(y ), а также параметры a, b нечетких чисел (а , a, b) и (а ₁ , a ₂ , a, b ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(y ) и R(y ), а параметры a¢ и b¢ результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных:

4. НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:

Высказывание <b есть b'>, где b - наименование лингвистической переменной, b' - ее значение, которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х.

Например высказывание <давление большое > предполагает, что лингвистической переменной "давление" придается значение "большое" , для которого на универсальном множестве Х переменной "давление" определено соответствующее данному значению "большое " нечеткое множество.

Высказывание <b есть mb'>, где m - модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ ", "МНОГО БОЛЬШЕ " и др.

Например: <давление очень большое >, <скорость много больше средней > и др.

Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов "И ", "ИЛИ ", "ЕСЛИ .., ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ ".

Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной

То, что значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют нечетким множествам одного и того же универсального множества Х, позволяет отождествлять модификаторы "очень " или "не " с операциями "CON" и "дополнение ", а союзы "И ", "ИЛИ " с операциями "пересечение " и "объединение " над нечеткими множествами .

Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в качестве примера рассматривали лингвистическую переменную "толщина изделия " с базовым терм-множеством Т = {"малая ", "средняя ", "большая "}. При этом на Х = [10, 80] мы определили нечеткие множества А₁ , А₂ , А₃ , соответствующие базовым значениям: "малая ", "средняя ", "большая ".

В этом случае высказыванию <толщина изделия очень малая > соответствует нечеткое множество CONA = A² ; высказыванию <толщина изделия не большая или средняя > - нечеткое множество А₂ È высказыванию <толщина изделия не малая и не большая > А₁ Ç.

Высказывания <толщина изделия много больше средней > или <толщина изделия близка к средней > требуют использования нечетких отношений R ("много больше,чем ") и R ("близко к"), заданных на Х´Х. Тогда этим высказываниям будут соответствовать нечеткие множества A·R₁ и A·R₂ , индуцированные


29-04-2015, 02:39