Нечеткие множества в системах управления

Случай двух и более лингвистических переменных

Пусть <a, T_a , X, G_a , M_a > и <b, T_b , Y, G_b , M_b > - лингвистические переменные, и высказываниям <a есть a'>, <b есть b '> соответствуют нечеткие множества А и В заданные на X и Y.

Составные нечеткие высказывания вида 3, связывающие значения лингвистических переменных a и b, можно привести к высказываниям вида 1, введя лингвистическую переменную (a, b), значениям которой будут соответствовать нечеткие множества на X´Y.

Напомним, что нечеткие множества А и В, заданные на X и Y, порождают на X´Y нечеткие множества и , называемые цилиндрическими продолжениями, с функциями принадлежности:

(x,y ) = m_A (x ) при любом y ,

(x,y ) = m_B (y ) при любом x ,

где (x,y ) X´Y.

Нечеткие множества, соответствующие составным высказываниям

<a есть a' и b есть b'> и

<a есть a' или b есть b'>,

определяются по следующим правилам (преобразования к виду 1), справедливым при условии невзаимодействия переменных, т.е. множества X и Y таковы, что их элементы не связаны какой-либо функциональной зависимостью.

Правила преобразований нечетких высказываний

Правило преобразования конъюнктивной формы

Справедливо выражение:

<a есть a' и b есть b'>Þ<(a, b) есть (a'Çb')>.

Здесь Þ - знак подстановки, a'Çb' - значение лингвистической переменной (a, b), соответствующее исходному высказыванию <a есть a' и b есть b'>, которому на X´Y ставится в соответствие нечеткое множество Çc функцией принадлежности

(x,y ) = (x,y )L(x,y ) = m_A (x )Lm_B (y ).

Правило преобразования дизъюнктивной формы

Справедливо выражение:

<a есть a' или b есть b'>Þ<(a,b) есть (a'Èb')>, где значению (a'Èb') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое множество È, с функцией принадлежности

(x,y ) = (x,y )V(x,y ) = m_A (x )Vm_B (y ).

Замечание 1. Правила справедливы также для переменных вида <a, T₁ , X, G₁ ,M₁ > и <a, T₂ , Y, G₂ , M₂ >, когда в форме значений лингвистических переменных формализованы невзаимодействующие характеристики одного и того же объекта. Например, для построения нечеткого множества высказывания <ночь теплая и очень темная > нужно использовать правило конъюнктивной формы, а для высказывания <ночь теплая или очень темная > - правило дизъюнктивной формы.

Замечание 2. Если задана совокупность лингвистических переменных {<a_i , T_i , X_i , G_i , M_i >}, i = 1, 2, .., n , то любое составное высказывание, полученное из высказываний <a есть a'> с использованием модификаторов "очень ", "не ", "более или менее " и др. и связок "и ", "или ", можно привести к виду <a есть a'>, где a - составная лингвистическая переменная (a₁ ,a₂ ,..,a_n ), a' - ее значение, определяемое (как и функция принадлежности) в соответствии с вышеуказанными правилами.

Правило преобразования высказываний импликативной формы

Справедливо выражение:

<если a есть a', то b есть b'>Þ <(a, b) есть (a'®b')>, где значению (a'®b') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое отношение XRY на X´Y.

Функция принадлежности m_R (x,y ) зависит от выбранного способа задания нечеткой импликации.

Способы определения нечеткой импликации

Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y, содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации "если А, то В" (где А и В нечеткие множества на X и Y соответственно) будем понимать способ задания нечеткого отношения R на X´Y, соответствующего данному высказыванию.

С целью обоснованного выбора определения нечеткой импликации, японскими математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено исследование всех известных по литературе определений (плюс предложенные авторами). Рассмотренные определения задавали следующие нечеткие отношения для высказывания "если А, то В":

R_m = (A´B)È(´Y)

m_Rm (x,y ) = (m_A (x )Lm_B (y )) V (1 - m_A (x ));

R_a = (´Y)Å(X´B)

m_Ra (x,y ) = 1 L (1-m_A (x ) + m_B (y ));

R_c = A´B

m_Rc (x,y ) = m_A (x )Lm_B (y );

R_s = A´YX´B

m_Rs (x,y ) = ;

R_g = A´YX´B

m_Rg (x,y ) = ;

R_sg = ( A´YX´B ) Ç ( )

;

R_gg = ( A´YX´B) Ç ()

;

R_gs = ( A´YX´B) Ç ()

;

R_ss = ( A´YX´B) Ç ()

;

R_b = (´Y)È(X´B)

m_Rb (x,y) = (1-m_A (x)) Úm_B (y);

Rà = A´YX´B

;

R· = A´YX´B

R_* = A´YX´B

m_R* (x,y) = 1 - m_A (x)+ m_A (x)×m_B (y);

R_# = A´YX´B

m_R# (x,y)=( m_A (x)Ùm_B (y))Ú ((1 - m_A (x)) Ù(1 - m_B (y)) Ú(m_B (y) Ù(1 - m_A (x));

RÑ = A´YX´B

Правилом вывода являлось композиционное правило вывода с использованием (max-min)-композиции.

В качестве значений на входе системы рассматривались:

A' = A;

A' = "очень А"= А² , m_A ^0,5 (x) = m_A (x)² ;

A' = "более или менее А" = А^0,5 m_A ^0,5 (x)= m_A (x)^0,5 ;

A' = m_A (x)^0,5 , (x) = 1 - m_A (x).

Приведем таблицу итогов исследования. В ней символ "0" означает выполнение соответствующей схемы вход-выход, символ "x" - невыполнение. Следствие "неизвестно" (Н) соответствует утверждению: "если x=A, то нельзя получить никакой информации об y".

В данной таблице первая графа -"Посылка", вторая -"Следствие".

1

2

Rm

Ra

Rc

Rs

Rg

Rsg

Rgg

Rgs

Rss

Rb

Rà

R·

R*

R#

RÑ

A

B

x

x

0

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

A2

B2

x

x

x

0

x

0

x

x

0

x

x

x

x

x

x

A2

B

x

x

0

x

0

x

0

0

x

x

x

x

x

x

x

A0,5

B0,5

x

x

x

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

A0,5

B

x

x

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Н

0

0

x

0

0

x

x

x

x

0

0

0

0

x

x

A

B

x

x

x

x

x

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

Кроме ответа о выполнении соответствующей схемы (0 или х),авторами исследованы явные выражения для функций принадлежности следствий по каждому из вариантов определения нечеткой импликации, на основе чего ими был сформулирован вывод:

- R_m и R_a не могут быть использованы;

- R_c может использоваться частично; - R_s , R_g , R_sg , R_gg , R_gs , R_ss рекомендованы к использованию;

- R_b , Rà, R·, R_* , R_# , RÑ не рекомендованы к использованию.

Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели.

Логико-лингвистические методы описания систем основаны на том, что поведение исследуемой системы описывается на естественном (или близком к естественному) языке в терминах лингвистических переменных.

Входные и выходные параметры системы рассматриваются как лингвистические переменные, а качественное описание процесса задается совокупностью высказываний следующего вида:

L₁ : если <A ₁ > то <B ₁ >,

L₂ : если <A ₂ > то <B ₂ >,

....................

L_k : если <A_k > то <B_k >,

где <A_i >, i =1,2,..,k - составные нечеткие высказывания, определенные на значениях входных лингвистических переменных, а <B_i >, i = 1,2,..,k - высказывания, определенные на значениях выходных лингвистических переменных.

С помощью правил преобразования дизъюнктивной и конъюнктивной формы описание системы можно привести к виду:

L₁ : если <A₁ > то <B₁ >,

L₂ : если <A₂ > то <B₂ >,

....................

L_k : если <A_k > то <B_k >,

где A₁ ,A₂ ,..,A_k - нечеткие множества, заданные на декартовом произведении X универсальных множеств входных лингвистических переменных, а B₁ , B₂ , .., B_k - нечеткие множества, заданные на декартовом произведении Y универсальных множеств выходных лингвистических переменных.

Совокупность импликаций {L₁ , L₂ , ..., L_k } отражает функциональную взаимосвязь входных и выходных переменных и является основой построения нечеткого отношения XRY, заданного на произведении X´Y универсальных множеств входных и выходных переменных. Если на множестве X задано нечеткое множество A, то композиционное правило вывода B = A·R определяет на Y нечеткое множество B с функцией принадлежности

m_B (y ) =(m_A (x ) Lm_R (x,y ))

Таким образом, композиционное правило вывода в этом случае задает закон функционирования нечеткой модели системы.

Рассмотрим широко цитируемый пример решения задачи нечеткого логического управления: построение модели управления паровым котлом.

Модель управления паровым котлом

Прототипом модели послужил паровой двигатель (лабораторный) с двумя входами (подача тепла, открытие дросселя) и двумя выходами (давление в котле, скорость двигателя).

Цель управления: поддержание заданного давления в котле (зависит от подачи тепла) и заданной скорости двигателя (зависит от открытия дросселя). В соответствии с этим, схема системы управления двигателем выглядит следующим образом:

Рассмотрим одну часть задачи - управление давлением.

Входные лингвистические переменные :

РЕ - отклонение давления (разность между текущим и заданным значениями);

СРЕ - скорость изменения отклонения давления.

Выходная лингвистическая переменная:

НС - изменение количества тепла.

Значения лингвистических переменных:

NB - отрицательное большое;

NM- отрицательное среднее;

NS- отрицательное малое;

NO- отрицательное близкое к нулю;

ZO- близкое к нулю;

PO - положительное близкое к нулю;

PS - положительное малое;

PM - положительное среднее;

PB - положительное большое.

Управляющие правила (15 правил), связывающие лингвистические значения входных и выходных переменных, имеют вид: "Если отклонение давления = А_i и, если скорость отклонения давления = В_i , то изменение количества подаваемого тепла равно С_i ", где А_i , В_i ,С_i - перечисленные выше лингвистические значения.

Полный набор правил задавался таблицей:

Лингвистические значения отклонений задавались нечеткими подмножествами на шкалах X, Y, Z следующей таблицей:

То есть области значений входных переменных PE, CPE и выходной переменной НС представлялись 13 точками [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], равномерно расположенными между максимальными отрицательными и положительными значениями этих переменных.

Приведем управляющие правила к виду: "если (А_i ´ В_i ), то С_i ", где (А_i ´В_i ) декартово произведение нечетких множеств А и В , заданных на шкалах X и Y с функцией принадлежности

(x,y )= m_Ai (x )Lm_Bi (y ),

определенной на X´Y.

Для каждого из правил вида "если (А_i ´В_i ), то С_i ", где (А_i ´В_i )- входное нечеткое множество, а С_i - соответствующее нечеткое значение выхода, определялось нечеткое отношение

R_i =(А_i ´В_i )´С_i , i = 1, 2, ..., 15

с функцией принадлежности

m_Ri ((x,y ),z )= (m_Ai (x )Lm_Bi (y ))Lm_Ci (z ).

Совокупности всех правил соответствовало нечеткое отношение

R = R_i

с функцией принадлежности

m_R (x,y,z ) = m_Ri ((x,y ),z ).

При заданных значениях А¢, В¢ входных переменных регулирующее значение С¢ входной переменной определялось на основе композиционного правила вывода:

С¢ = (А¢´В¢)R,

где - (max-min)-композиция.

Функция принадлежности С¢ имеет вид:

m_C ¢(z ) = (m_A ¢(x ) Lm_B ¢ (y )) Lm_R (x,y,z ).

Числовое значение z ₀ (изменение подаваемого тепла) определяется при этом либо из условия m_C ¢(z ₀ ) = m_{C ¢} (z ),

либо по формуле

z ₀ = ,

где N - количество точек в Z (в данном случае N=13).

Задача управления скоростью двигателя решалась аналогично. Результаты практического использования показали, что разработанная нечеткая модель управления сравнима с классическими моделями оптимального управления.

Появление первых работ по построению моделей нечеткого логического управления для конкретных систем определило ряд общих вопросов, касающихся логических основ моделей, в их числе:

о полноте и непротиворечивости совокупности правил управления;

об адекватности представления правил управления вида "если А, то В " нечеткими отношениями, определяемыми разными способами;

о правильности способа вывода, основанного на (max-min)-композиции и возможности использования других видов операции композиции.

Полнота и непротиворечивость правил управления

Наиболее часто требование полноты для системы "если А_i , то В_i ", i =1,2,..,n , сводится к

X = Supp A_i ,

где Supp A_i - носитель нечеткого множества A_i . Содержательно это означает, что для каждого текущего состояния х процесса существует хотя бы одно управляющее правило, посылка которого имеет ненулевую степень принадлежности для х .

Непротиворечивость системы управляющих правил чаще всего трактуется как отсутствие правил, имеющих сходные посылки и различные или взаимоисключающие следствия.

Степень непротиворечивости i -го и k -го правил можно задавать величиной

C_ik = | (m_Ai (x )Lm_Ak (x )) - (m_Bi (y )Lm_Bk (y ))|.

Суммируя по k , получаем оценку непротиворечивости i -го правила в системе:

C_i = C_ik , 1<i <N , k ¹ i .

Если эта оценка превосходит некоторое пороговое значение, то правило из системы удаляется. В частности, для рассматриваемой выше модели управляющей системы парового котла, оценки степеней непротиворечивости равны:

Таким образом, при пороговом значении g=3 в модели остается всего три правила 1, 6 и 11.

Литература

Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.:Мир, 1976.

Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.

Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д.А. Поспелова. М., 1986.

Прикладные нечеткие системы /Под ред. Тэтано Т., Асаи К., Сугэно М: Мир, 1993.

Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. Р.Ягера М.: Радио и связь, 1986.

Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981.

Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования. Рига:/ "Зинатне", 1990.

Малышев Н.Г., Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991.

Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.

Р.Беллман, Л.Заде. Вопросы принятия решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. / М.: Мир,1976.