Нечеткие множества в системах управления

Примеры t -конорм:

max(m_A , m_B )

m_A + m_B - m_A ×m_B

min(1, m_A + m_B ).

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение A и B обозначается A ×B и определяется так:

"x ÎE m_{A ×B} (x ) = m_A (x ) m_B (x ).

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

" x Î E = m _A (x ) + m _B (x ) -m _A (x ) m _B (x ).

Для операций {×, } выполняются свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

A×Æ = Æ, AÆ = A, A×E = A, AE = E

- теоремы де Моргана.

Не выполняются:

- идемпотентность;

- дистрибутивность;

а также A× = Æ, A= E.

Замечание . Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими множествами мы оставляем читателю.

Для примера докажем свойство: . Обозначим m_A (x ) через a , m_B (x ) через b . Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1-ab , а в правой: (1-a )+(1-b )-(1-a )(1-b ) = 1-a +1-b - 1+a +b-ab = 1-ab . 

Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. A ×(BC) ¹ (A ×B)(A ×C) . Для левой части имеем: a (b +c-bc ) = ab +ac-abc ; для правой: ab +ac -(ab )(ac ) = ab +ac +a ² bc . Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a ¹a ² . 

Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç,+,×} выполняются свойства:

А×(BÈC) = (A×B)È(A × C);

А× (BÇC) = (A×B)Ç(A×C);

А(BÈC) = (AB)È(AC);

А(BÇC)=(AB)Ç(AC).

Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых a эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень a нечеткого множества A , где a - положительное число. Нечеткое множество A a определяется функцией принадлежности m_A ^a = m^a _A (x) . Частным случаем возведения в степень являются:

CON(A) = A² - операция концентрирования ,

DIL(A) = A^0,5 - операция растяжения ,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

Умножение на число. Если a - положительное число, такое, что a m_A (x ) £ 1, то нечеткое множество aA имеет функцию принадлежности:

maA(x ) = amA(x ).

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A ₁ , A ₂ ,.., A _n - нечеткие множества универсального множества E , а w₁ , w₂ , ..., w_n - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A ₁ , A ₂ ,.., A _n называется нечеткое множество A с функцией принадлежности:

"x ÎE m_A (x ₁ , x ₁ ,..., x _n ) = w₁ m_A1 (x ) + w₂ m_A2 (x ) + ... + w _n m _Ai (x ).

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A ₁ , A ₂ , ..., A _n - нечеткие подмножества универсальных множеств E ₁ , E ₂ , ..., E _n соответственно. Декартово произведение A = A ₁ ´A ₂ ´ ...´A _n является нечетким подмножеством множества E = E ₁ ´E ₂ ´... ´E _n с функцией принадлежности:

m_A (x ₁ , x ₁ , ..., x _n ) = min{ m_A1 (x ₁ ), m_A2 (x ₂ ) , ... , m_Ai (x _n ) }.

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех x ÎE определены нечеткие множества K(х ) . Совокупность всех K(х ) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф . Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

Ф(A, K) = m_A (x )K(х ),

где m_A (x )K(х ) - произведение числа на нечеткое множество.

Пример :

E = {1,2,3,4};

A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;

K (1) = 1/1+0,4/2;

K (2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;

K (3) = 1/3+0,5/4;

K (4) = 1/4.

Тогда

Ф (A,K) = m_A (1) K (1) Èm _A (2)K (2) Èm _A (3)K (3)Èm _A (4)K (4) =

= 0,8(1/1+0,4/2) È 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =

= 0,8/1+0,6/2+0,24/3.

Четкое множество a-уровня (или уровня a) . Множеством a-уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество A a универсального множества E , определяемое в виде:

A a ={x /m_A (x )³a}, где a£1.

Пример: A = 0,2/x₁ + 0/x₂ + 0,5/x₃ + 1/x₄ ,

тогда A_0.3 = {x ₃ ,x ₄ },

A_0.7 = {x ₄ }.

Достаточно очевидное свойство: если a₁ ³a₂ , то A _a1 £A _a2 .

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:

A = aA _a , где aA _a - произведение числа a на множество A , и a "пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества A .

Пример: A = 0,1/x ₁ + 0/x ₂ + 0,7/x ₃ + 1/x ₄ представимо в виде:

A = 0,1(1,0,1,1) È 0,7(0,0,1,1,) È 1(0,0,0,1)=

= (0,1/x₁ + 0/x₂ + 0,1/x₃ + 0,1/x₄ )È (0/x₁ + 0/x₂ + 0,7/x₃ + 0,7/x₄ )È

È(0/x₁ + 0/x₂ + 0/x₃ + 1/x₄ ) = 0,1/x₁ +0/x₂ +0,7/x₃ +1/x₄ .

Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций a₁ £a₂ £a₃ £ ...£a_n , то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:

A = a _i A _{a i} ,

т.е. определяется совокупностью обычных множеств { A _a1 , A _a2 , ..., A _ai }, где A _a1 ³A _a2 ³ , ..., ³A _ai .

Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости

Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества E . Введем понятие расстояния r(A , B ) между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:

r(A, B ) ³ 0 - неотрицательность;

r(A, B ) = r(B, A ) - симметричность;

r(A, B ) < r(A, C ) + r(C, B ).

К этим трем требованиям можно добавить четвертое: r(A, A ) = 0.

Определим следующие расстояния по формулам:

Расстояние Хемминга (или линейное расстояние ):

r(A, B ) = ½m _A (x_i ) - m _B (x_i )½ .

Очевидно, что r(A, B )Î[0, n ].

Евклидово или квадратичное расстояние:

e(A, B ) = , e(A, B )Î[0, ].

Относительное расстояние Хемминга:

r(A, B ) = , r(A, B )Î[0,1].

Относительное евклидово расстояние:

e(A, B )=, e(A, B )Î[0,1].

Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае когда E бесконечно, определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:

если E счетное, то

r(A, B ) = ½m _A (x_i ) - m _B (x_i )½ ,

e(A, B ) = ;

если E = R (числовая ось), то

r(A, B ) = ,

e(A, B ) = .

Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие определения понятия расстояния.

Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких множеств.

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A ) лишь в частной мере, т.е.

0< m_A (x ) <1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством R ", и классу объектов, "не обладающих свойством R ". Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. m_A (x ) = (x ) = 0,5, и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо m_A (x ) = 1 и (x ) = 0, либо m_A (x ) = 0 и (x ) = 1.

В общем случае показатель размытости нечеткого множества можно определить в виде функционала d(A) со значениями в R (положительная полуось), удовлетворяющего условиям:

d(A) = 0 тогда и только тогда, когда А - обычное множество;

d(A) максимально тогда и только тогда, когда m_A (x ) = 0.5 для всех x ÎE .

d(A)d(B) , если A является заострением B , т.е.

m_A (x )£m_B (x ) при m_B (x ) < 0,5;

m_A (x )³m_B (x ) при m_B (x ) > 0,5;

m_A (x )- любое при m_B (x ) = 0,5.

d(A) = d () - симметричность по отношению к 0,5.

d(AÈB)+d(AÇB) = d(A)+d(B).

Замечание. Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются свойствами P1, P2 и P3 , либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи.

Рассмотрим индексы нечеткости (показатели размытости), которые можно определить, используя понятие расстояния.

Обычное множество, ближайшее к нечеткому

Пусть A - нечеткое множество. Вопрос: какое обычное множество A ÌE является ближайшим к A , т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества A . Таким подмножеством, обозначаемым A , является подмножеством с характеристической функцией:

.

Обычно принимают m_A (x_i ) = 0, если m_A (x_i ) = 0,5.

Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому, введем следующие индексы нечеткости нечеткого множества А .

Линейный индекс нечеткости:

Здесь r(A, A ) - линейное (хеммингово) расстояние, множитель - обеспечивает выполнение условия 0< d(A )< 1.

Квадратичный индекс нечеткости

, 0< d(A )< 1.

Здесь e(A, A ) - квадратичное (евклидово) расстояние.

Замечания.

1. Мы ввели линейный и квадратичный индексы нечеткости, используя понятие расстояния и понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому. Эти же индексы можно определить, используя операцию дополнения, следующим образом:

- линейный индекс,

- квадратичный индекс.

2. Отметим следующие свойства, связанные с ближайшим обычным множеством:

А ÇВ =А ÇВ ,

А ÈВ =А ÈВ ;

а также "x ÎE:| m_A (x_i )- m_A (x_i )|= , откуда для линейного индекса нечеткости имеем:

,

т.е. в этом представлении становится очевидным, что d(A )=d().

3. Нечеткое множество с функцией принадлежности иногда называют векторным индикатором нечеткости.

Оценка нечеткости через энтропию

Ограничимся случаем конечного универсального множества. Энтропия системы с n состояниями e₁ ,e₂ , ..., e_n , с которыми связаны вероятности p₁ ,p₂ , ..., p_n определяется выражением:

H(p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) = - p _i ln p _i , H_min = 0, H_max = 1.

В случае нечетких множеств положим:

p_A (x_i ) =

Тогда общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по нечеткости, можно записать в следующем виде:

H(p_A (x₁ ), p_A (x₂ ), ..., p_A (x_n )) = - p_A (x_i ) ln p_A (x_i ).

Замечание. Попытки использования энтропии в теории нечетких множеств (в приведенном выше виде) показали, что это не лучший способ оценки. Однако работы по обобщению понятия энтропии для нечетких множеств продолжаются.

Принцип обобщения

Принцип обобщения - одна из основных идей теории нечетких множеств - носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Пусть X и Y - два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значением в Y , если, в силу некоторого закона f, каждому элементу X ÎX соответствует элемент yÎY .

Когда функцию f: X ®Y называют отображением, значение f(x)ÎY , которое она принимает на элементе xÎX , обычно называют образом элемента x.

Образом множества А ÌХ при отображении с®Y называют множество f(A )ÌY тех элементов Y , которые являются образами элементов множества А .

Замечание. Мы напомнили классическое определение отображения, которое в теории нечетких множеств принято называть четким отображением, т.к. наряду с ним мы введем понятие нечеткого отображения (или нечеткой функции).

Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на X со значением в Y , если она каждому элементу xÎX ставит в соответствие элемент yÎY со степенью принадлежности m_f (x,y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f:X Y .

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f:X ®Y или нечетком f:X Y отображении для любого нечеткого множества А , заданного на Х , определяется нечеткое множество f(A ) на Y , являющееся образом A .

Пусть f:X ®Y заданное четкое отображение,

а A = {m_A (x)/х}- нечеткое множество в Х . Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f(A ) на Y с функцией принадлежности:

m _f(A) (y) = m _A (x); yÎY ,

где f ^-1 (y)={x/f(x)=y}.

В случае нечеткого отображения f:X Y , когда для любых xÎX и yÎY определена двуместная функция принадлежности m_f (x,y), образом нечеткого множества А , заданного на Х, является нечеткое множество f(A ) на Y с функцией принадлежности:

m _f(A) (y) = min( m _A (x), m _f (x,y)).

Замечание. Мы не приводим примеров использования принципа обобщения. Предлагаем подумать, каким образом можно определить нечеткое число и как с помощью принципа обобщения (не забывая декартова произведения) и классических операций возведения числа в степень(одноместная), сложения и умножения (двуместные) получать соответствующие нечеткие результаты. К нечетким отображениям мы вернемся, когда будем рассматривать понятие нечеткого отношения.

2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Пусть Е = Е₁ ´Е₂ ´ ... ´Е_n - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E , принимающее свои значения в М . В случае n =2 и М = [0,1], нечетким отношением R между множествами X = Е₁ и Y = Е₂ будет называться функция R:(X,Y) ® [0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)ÎX ´Y величину m_R (x,y) Î[0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на X ´Y запишется в виде: xÎX , yÎY : xRy . В случае, когда X = Y , т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X´X®[0,1] называется нечетким отношением на множестве X .

Примеры:

Пусть X = {x₁ ,x₂ ,x₃ }, Y = {y₁ ,y₂ ,y₃ ,y₄ }, М = [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

Пусть X = Y = (-, ), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x>>y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:

Отношение R , для которого m_R (x,y) = e ^-k(x-y)2 , при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (x_i ,x_j ) в случае XRX соединяется ребром с весом m_R (x_i ,x_j ), в случае XRY пара вершин (x_i ,y_j ) соединяется ребром c весом m_R (x_i ,y_j ).

Примеры:

Пусть Х={x₁ ,x₂ ,x₃ }, и задано нечеткое отношение R: X´X® [0,1], представимое графом:

Пусть X={x₁ ,x₂ } и Y={y₁ ,y₂ ,y₃ }, тогда нечеткий граф вида:

задает нечеткое отношение XRY .

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором G ÌX ´Y , где G - множество упорядоченных пар (x,y) (необязательно всех возможных) такое, что G Ç= Æ и G È = X ´Y .

Будем использовать обозначения вместо и вместо .

Пусть R : X ´Y ®[0,1].

Носитель нечеткого отношения.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x,y), для которых функция принадлежности положительна:

S(R) ={(x,y): m _R (x,y)>0}.

Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или содержащееся в нем.

Пусть R₁ и R₂ - два нечетких отношения такие, что:

"(x,y)ÎX ´Y : m_R1 (x,y)£m _R2 (x,y),

тогда говорят, что R₂ содержит R₁ или R₁ содержится в R₂ .

Обозначение: R₁ ÍR₂ .

Пример:

Отношения R₁ , R₂ - отношения типа y>>x (y много больше x). При k₂ > k₁ отношение R₂ содержит R₁ .

Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений R₁ и R₂ .

Объединение двух отношений обозначается R₁ ÈR₂ и определяется выражением:

m_{R1 ÈR2} (x,y) = m_R1 (x,y)Ú m_R2 (x,y)

Примеры:

1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR₁ y - "числа x и y очень близкие", xR₂ y - "числа x и y очень различны" и их объединение xR₁ ÈR₂ y - "числа x и y очень близкие или очень различные".

Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|.

где a - такое |y-x|, что m _R1 (x,y) = m _R2 (x,y)

2.

Пересечение двух отношений.

Пересечение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ ÇR₂ и определяется выражением:

m_{R1 ÇR2} (x,y) = m_R1 (x,y)Ù m_R2 (x,y)

.

Примеры:

1. Ниже изображены отношения: xR₁ y, означающее "модуль разности |y-x| близок к a", xR₂ y, означающее "модуль разности |y-x| близок к b", и их пересечение.

Алгебраическое произведение двух отношений.

Алгебраическое произведение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ ×R₂ и определяется выражением:

m_{R1 ×R2} (x,y) = m_R1 (x,y)×m_R2 (x,y)

Алгебраическая сумма двух отношений.

Алгебраическая сумма двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ R₂ и определяется выражением: .

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R₁ Ç(R₂ ÈR₃ ) = (R₁ ÇR₂ )È(R₁ ÇR₃ ),

R₁ È(R₂ ÇR₃ ) = (R₁ ÈR₂ )Ç(R₁ ÈR₃ ),

R₁ ×(R₂ ÈR₃ ) = (R₁ ×R₂ )È(R₁ ×R₃ ),

R₁ ×(R₂ ÇR₃ ) = (R₁ ×R₂ )Ç(R_{1 ×} R₃ ),

R₁ (R₂ ÈR₃ ) = (R₁ R₂ )È(R₁ R₃ ),

R₁ (R₂ ÇR₃ ) = (R₁ R₂ )Ç (R₁ R₃ ).

Дополнение отношения.

Дополнение отношения R


29-04-2015, 02:39