Обобщенный принцип наименьшего действия

Частная оптимизационная задача для функционала (3.1), зависящего от линейного интегрального оператора с ядром (3.3), свелась к задаче для функционала (3.1), зависящего от интегральных операторов (3.5) с разностными ядрами K_i (x,t)=S_i (x-t)r (x-t). Решение этой задачи получено в разделе 2. Частным необходимым условием экстремума функционала I на основе раздела 2 является уравнение

(3.6)

Поскольку функции S_i (x-t) заданы из условий задачи, а функция r (x-t) выбирается произвольно, то каждой из выбранных r (x-t) соответствует оптимальная h(t), т.е. даже при представлении ядра K(x,t) в виде произведения (3.3) единственного решения сформулированной задачи не существует.

Никаких ограничений на непрерывность ядер K(x,t) при выводе частных необходимых условий экстремума не накладывалось, поэтому и функции r (x-t), и функции h(t) могут быть разрывными или d -функцией и ее производными. Следовательно, на основании теоремы [13] о мощности множества функций действительного переменного можно сделать вывод о том, что множества частных и, тем более, общих необходимых условий экстремума имеют мощность больше мощности континуума.

В связи с тем, что задача (3.1), (3.2) счетного множества решений не имеет, решением в данном случае можно назвать конструктивное описание подмножества функций K(x,t), доставляющих экстремум функционалу I, причем мощность множества K больше мощности континуума.

Общая задача

Рассмотрим общую задачу (3.1), (3.2). Будем ее решать как вариационную. Для этого введем однопараметрическое семейство кривых - функций двух переменных K(x,t)=K(x,t) + a d K(x,t), где d K(x,t) - произвольная функция двух переменных, a - малый параметр K(x,t) вместо K(x,t) в операторы (3.2), операторы (3.2) в функционал (3.1), дифференцируя (3.1) по параметру a , получим вариацию d I

(3.7)

Полагая, что к вариации (3.7) применима теорема Фубини, изменим порядок интегрирования и суммирования и положим вариацию dI равной нулю

(3.8)

Применяя к вариации (3.8) основную лемму вариационного исчисления в формулировке Л.Янга [7], получим необходимое условие экстремума функционала (3.1), зависящего от оператора (3.2),

(3.9)

Если интегрант функционала (3.1) не является линейным, частные производные интегранта всегда содержат сам оператор (3.2), а уравнение (3.9) является нелинейным двумерным интегральным уравнением, когда искомая функция K(x,t) двух независимых переменных входит под знак интеграла. Свойства уравнений типа (3.9) пока исследованы мало. Только если функционал I - квадратичный, уравнение (3.9) - линейное двумерное интегральное уравнение, некоторые свойства которых сведены в монографии [11].

Список литературы

[1] Фейнмановские лекции по физике, Том 6, М.: Мир, 1977.

[2] КашиновВ.В. Физическая мысль России, N 1/2, (1999), с.127.

[3] КларкФ. Оптимизация и негладкий анализ: Пер. с англ. / Под ред. В.И.Благодатских, М.: Наука, 1988.

[4] СмоляноваМ.О. Непрерывно дифференцируемая разрывная функция на пространстве D // Известия РАН. Серия математическая. Том 59.5, (1995), с.197-202.

[5] БатухтинВ.Д., МайбородаЛ.А. Разрывные экстремальные задачи, СПб.: Гиппократ, 1995.

[6] АнтосикП., МикусинскийЯ., СикорскийР. Теория обобщенных функций (Секвенциальный подход). - М.: Мир, 1976.

[7] ЯнгЛ. Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению. - М.: Мир, 1974.

[8] КолмогоровА.Н., ФоминС.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1981.

[9] МышкисА.Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 1973. с.186-188.

[10] КашиновВ.В. Необходимые условия оптимальности в некоторых задачах управления и фильтрации // Кибернетика. 6, 1972, с.148-149.

[11] ПахолковГ.А., КашиновВ.В., ПономаренкоБ.В. Вариационный метод синтеза сигналов и фильтров. - М.: Радио и связь, 1981.

[12] КрасновМ.Л., МакаренкоГ.И., КиселевА.И. Вариационное исчисление. - М.: Наука, 1973.

[13] МакаровИ.П. Дополнительные главы математического анализа. - М.: Просвещение, 1968.