10°/оо = 1% = 1:100 = 0,01;
50°/оо = 5% = 1:20 = 0,05;
500°/оо = 50% = І:2 = 0,5.
На рис. 2.7 точки С та D прямої АВ мають числові відмітки, які дорівнюють 3 та 4, тобто підйом відрізка CD дорівнює одиниці, а довжина відрізка С3 D4 - проекція відрізка CD на основну площину - являє собою інтервал прямої AВ.
Довжина горизонтальної проекції відрізка прямої, підйом якої дорівнює одиниці, називається інтервалом прямої /позначається буквою l /. Інтервал прямої чисельно дорівнює відношенню відрізка прямої до його підйому /див. рис. 2.7, ∆CDD/: l = L/h (2.2)
Інтервал прямої AB /див. рис. 2.7/ становить l = 3,6/1,8 = 2 м.
З /2.2/ випливає, що при h = 1 заложення чисельно дорівнює інтервалу, тобто і = l. Тоді інтервалу прямої можна дати і інше визначення: інтервал прямої є заложенням при підйомі, рівному одиниці.
Якщо знати нахил прямої або її кут нахилу до основної площини, пряму загального положення в проекціях з числовими відмітками можна задати горизонтальною проекцією з відміченими на ній однією точкою з числовою відміткою і нахилом прямої /рис. 2.8/ або кутом її нахилу /рис. 2.9/ до основної площини із зазначенням напряму спуску. Напрям спуску відмічається на кресленні відрізком прямої, на одному кінці якого показано стрілку, що вказує напрям зменшування числових відміток точок прямої.
З /2.1/ та /2.2/ виплаває, що і = 1/l = 1:l, тобто нахил та інтервал прямої - величини, обернені одна до одної. Наприклад, якщо нахил прямої задано у вигляді десяткового дробу і = 0,5, то цьому нахилу прямої відповідав інтервал прямої l = 1/і = 1/0,5 = 2; якщо нахил пряної задано у вигляді відношення і = 1:2,5, то цьому нахилу прямої відповідає інтервал прямої l = 2,5, оскільки і = 1:l = 1:2,5. З /2.1/ випливає, що при L = 1 нахил прямої чисельно дорівнює підйому, тобто і = Нl, отже, можна дати таке означення нахилу: нахилом прямої називається величина підйому відрізка прямої при заложенні цього ж відрізка прямої, який дорівнює одиниці.
Таким чином, якщо на проекції прямої на плані взяти відрізок, чисельно рівний одиниці масштабу, то підйом цього відрізка, заложення якого одиниця, чисельно дорівнює нахилу прямої. На цьому грунтується графічне визначення нахилу прямої.
Наприклад, потрібно графічно визначити нахил прямої AВ , яка зображена на плані своєю проекцією А4,2 В1,6 /рис. 2.10/. Для цього будуємо профіль АВ відрізка прямої AB на вертикальну площину π у масштабі плана. Потім на горизонтальній проекції А4.2 В1,6 відкладаємо відрізок, заложения якого L = 1, і знаходимо підйом h цього відрізка, який чисельно буде дорівнювати нахилу i прямої AB : і = h = 0,6.
2.4 Градуювання прямої
Кінці відрізка прямої часто задають на плані числовими відмітками, які виражаються дробними числами. При розв'язуванні багатьох задач треба знати положення проекцій точок прямої з ціло-чисельними відмітками.
Розглянемо докладніше рис. 2.7. Пряма AB і її проекція А2,6 В4,4 розташовані у вертикальній площині π. В цій же площині паралельно проекції А2,6 В4,4 , а отже, паралельно площині π0 проводимо лінію рівня - горизонтальну пряму з числовою відміткою, рівною 3, і вище цієї лінії рівня на відстані, що дорівнює одній одиниці масштабу, проводимо лінію рівня з числовою відміткою 4.
Ці лінії рівня перетинають пряму AB у точках С та D , які будуть мати числові відмітки відповідно 3 та 4. Спроецюємо точки С та D на горизонтальну проекцію А2,6 В4,4 , одержимо проекції С3 та D4 .
Існує декілька способів градуювання прямої, що являють собою різні варіанти розв'язування задачі ділення відрізка у данному відношенні.
1. Спосіб профіля . По цьому будують суміщений з основною площиною або з іншою горизонтальною площиною профіль прямої, причому висоти точок відкладають або в масштабі плану, або з метою більш точною градувванш прямої в більшому масштабі, ніж масштаб плана. Потім паралельно осі проводять ряд прямих на відстані одна від одної, що дорівнює одиниці масштабу, в якому відкладались висоти точок прямої. Приймають ці прямі за лінії рівня з ділочисельними відмітками. Опроеціювавши потім ці точки на проекцію прямої на плані, одержують на ній точки, які мають цілочисельні відмітки, таким чином виконавши операцію градуювання прямої.
Способом профіля розв'яжемо задачу на градуювання відрізка прямої АВ/рис. 2.11/. Для цього:
1/ будуємо суміщенний з основною площиною π0 профіль АВ відрізка прямої AB, відкладаюча висоти точок А та В у масштабі плана;
2/ паралельно осі х проводимо ряд паралельних прямих, віддалених одна від одної на відстань, що дорівнює одиниці масштабу, і приймаємо ці прямі за лінії рівня з числовими відмітками 1, 2, 3, 4 та 5;
3/ знаходимо точки перетину ліній рівня з профілем AВ : точки 2, 3, 4 та 5 будуть мата числові відмітки, рівні 2, 3, 4 та 5;
4/ точки 2, 3, 4 та 5 опроектуємо на А1,3 В5,2 , при цьому точки 2, 3, 4 та 5 перетину лінїй проекційного зв'язку з А/,3 B5,2 і будуть проекціями точок, які мають цілочисельні відмітки 2, 3, 4 та 5.
З рис. 2.11 легко графічно, тобто без обчислень, визначити інтервал l прямої AВ - він дорівнює довжині відрізка проекції прямої на плані між точками, які мають цілочисельні послідовні відмітки, оскільки підйом цих відрізків дорівнює одиниці масштабу.
Після градуювання прямої можна визначити відмітку будь-якої точки прямої і задати на ній точку, що має дану відмітку. Для цього відрізок між цілочисельними відмітками ділимо у пропорціональному відношенні.
Градуювання прямої способом профіля, який полягає у проведенні через рівні відстані паралельних прямих, покладено в основупалетки, що використовується при наведені горизонталей рельефа земної поверхні на планах і картах.
2. Способ пропорціонального ділення. Суть його розглянемо на прикладі градуювання прямої AВ , проекцій якої зображена на рис. 2.12.
З одного кінця відрізка прямої /точки А1,4 / проведемо допоміжну пряму в довільному напрямку, на якій відкладемо в масштабі плана або в більшому відрізок АС', рівний підйому відрізка AB : h = HB - HA = (4.8 - І.4)l1 = 3,4l , де l1 - oдиниця масштабу, в якому вимірюємо підйом відрізка АВ.
На прямій АС від точки A1,4 відкладемо відрізок, рівний 0,6l1 , і позначимо точку 2. Точки 3, 4 віддалені одна від одної на відстань l1 . На рис. 2.12 l1 дорівнює одиниці масштабу плана, тобто l1 = 1м. Точка С віддалена від точки 4 на відстань, що дорівнює 0,8l1 .
Кінцеву точку С сополучимо з точкою В4,8 і з кожної точки поділки /точки 2, 3, 4/ проведемо прямі, паралельні СВ4,8 . Ці прямі визначають в перетині з А1,4 В4,8 проекції точок прямої AВ , що мають числові відмітки, рівні цілим числам /див. рис. 2.12/. Це дає змогу поряд з визначенням числових відміток будь-якої точки відрізка прямої знайти також графічно і інтервал прямої l /див. рис. 2.12/.
3. Аналітичний спосіб дає змогу визначити положення точок прямої, що мають цілочисельні послідовні відмітки, за допомогою обчислення.
Проградуюємо аналітичним способом пряму АВ, наочне зображення якої показано на рис. 2.7, а зображення на плані - на рис. 2.13. Градуювання виконуємо в такій послідовності: визначаємо інтервал прямої за формулою /2.2/: підставляючи L = 3,6 м, h = 1,8 м, одержуємо l = L/h = 3,6/1,8 = 2м. Заходимо положення точки С з цілочисельною відміткою 3, наближчої точки А2,6 її визначимо таким чином. На рис. 2.7 із порівняння подібних трикутників АСС та СDD можна скласти пропорцію: x/h = l/1, де x - відстань проекції точки С , що має цілочисельну відмітку 3 /точка С3 /; до точки А2,6 ; h AC - підйом відрізка АС; l - інтервал прямої. З цієї пропорції знаходимо: x = hACl = /3 - 2.6/ 2 = 0.8 м. Потім від точки С відкладаємо відрізок, рівний інтервалу прямої AВ /l = 2 м/, і позначаємо точку з числовою відміткою 4 /точка D4 /.
Приведену в останньому прикладі на градуювання прямої пропорцію можна використовувати для визначення відстані х від проекції точки прямої з відомою числовою відміткою /відома точка прямої/ до проекції точки прямої, числова відмітка якої задана. Відстань х знайдемо за формулою: x = hl , /2.3/
де h - підйом відрізка прямої між визначуваною і відомою точками прямої; l - інтервал прямої.
2.5 Прямі часткового положення
Пряма відносно основної площини може займати часткове положення: бути паралельного /горизонтальна пряма, або горизонталь, це лінія рівня/ або перпендикулярною /горизонтально-проеціююча пряма, або проецююча/ до основної площини.
На рис. 2.14 показані зображення прямих часткового положення на плані.
У горизонтальної прямої числові відмітки будь-яких двох точок однакові, тому горизонтальна пряма може бути задана на плані своєю проекцією і проекцією двох її точок, числові відмітки яких однакові, наприклад пряма AВ . Горизонтальну пряму можна позначити, вказуючи лише її числову відмітку, наприклад горизонталь з числовою відміткою 5.
Проеціюючу пряму на плані завжди позначають проекціями двох нетотожних точок прямої, які на плані збігаються /проецюються у точку/, наприклад проеціююча пряма CD.
2.6 Взаємне полонення двох прямих
Взаємне положення прямих на плані легко визначити побудовою проекцій прямих на деяку вертикальну площину /спосіб заміни площин проекцій/ з наступним суміщенням її з основною площиною, що зводить креслення до комплексного. Нові проекції прямих разом з проекціями а числовими відмітками дозволяють встановити взаємне розміщення прямих за ознаками, які розглядаються у розділі ортогональних проекцій.
Способом профіля на рис. 2.15 виявлено, що задані прямі AВ та CD паралельні: А5 В1 \ С1 D3 та АВ \ СD ; на рис. 2.І6.прямі перетинаються: точка К - точка перетину; на рис. 2.17, 2.18 прямі AB та CD мимобіжні /на рис. 2.13 через задані прямі проведені дві вертикальні площини π1 та π2 /.
Взаємне положення прямих на плані можна визначати, якщо проградуювати прямі і порівняти інтервали, нахили, напрями збільшення або зменшення числових відміток точок прямої і числові відмітки точок перетику прямих на плані. Цей спосіб визначення взаємного положення прямих тільки за їх проекціями на плані для методу проекцій з числовими відмітками більш зручний. Розглянемо його для різних випадків взаємного положення прямих і відзначимо ознаки, характерні для цих випадків.
Ознаки паралельності двох прямих в проекціях з числовими відмітками:
1/ взаємна паралельність проекцій прямих на основну площину;
2/ рівність інтервалів або ухилів, або кутів нахилу прямих до основної площини;
З/ числові відмітки точок прямих збільшуються або зменшуються в одному ї тому ж напрямку.
Тільки за однією або двома з трьох ознак паралельності прямих, зображених на плані не можна робити висновок про їх паралельність, оскільки відсутні інші проекції цих прямих, які визначають положення прямих.
На рис. 2.19 прямі AB та CD , зображені на плані, паралельні, тому що виконуються всі три ознаки паралельності прямих в проекціях з числовими відмітками:
1/ проекції прямих паралельні;
2/ інтервали рівні /попередньо прямі АВ та CD була проградуйовані/;
3/ числові відмітки точок прямих зростають в одному напрямку.
Відзначмо, що прямі, які сполучають точки з однаковими числовими відмітками паралельних прямих AВ та СD, будуть також паралельні /на рис. 2.19 ці прямі зображені суцільними тонкими лініями/, оскільки вони є горизонталями площини, яка проходить через задані паралельні прямі AВ та СD.
Паралельні прямі на плані часто задаються своїми горизонтальними проекціями з позначеною на них однією точкою з числовою відміткою, а також ухилом прямих і зазначенням напрямку спуска, які для двох прямих повинні бути однаковими. На рис. 2.20 задано дві паралельні прямі.
Якщо прямі перетинаються, то в проекціях з числовими відмітками:
1/ їх проекції також перетинаються;
2/ точка перетину проекцій двох прямих має однакові числові відмітки на двох прямих.
Додержання другої ознака паралельності двох прямих можна встановити таким чином. Прямі, що перетинаються, визначають положення тільки однієї площини, а горизонталі, які проведені в цій площині, паралельні. Тому спочатку проградуюємо задані прямі, а потім проведемо прямі, що з'єднують точки з однаковими числовими відмітками /горизонталі/. Якщо останні паралельні, то дві задані прямі лежать в одній площині, а отже, точка перетину їх горизонтальних проекцій на плані має однакову числову відмітку як на першій, так і на другій прямій.
На рис. 2.21 прямі AB та CD перетинаються оскільки:
1/мають спільну точку;
2/ горизонталі, проведені через точки прямих з однаковими відмітками /на рис. 2.21 показані суцільними тонкими лініями/ паралельні.
Точка перетину прямих AВ та CD має числову відмітку 5.
Якщо ознаки паралельності та перетину прямих не виконуються, то такі прямі мимобіжні. Точка перетину проекцій мимобіжних прямих буде мати різні відмітки на кожній з прямих, а прямі, які сполучають однакові числові відмітки /горизонталі/, не будуть паралельні, тому що горизонталі лежать не в одній, а в різних площинах.
На рис. 2.22 прямі AВ та CD мимобіжні, оскільки горизонталі які проведені через точки прямих з однаковими числовими відмітками непаралельні /горизонталі показані суцільними тонкими лініями/.
На плані часто доводиться проектувати дренажні мережі, різні трубопроводи: водопроводи, газопроводи, які часто перетинаються між собою під прямим кутом. Тому розглянемо ознаки взаємної перпендикулярності прямих на плані.
Оскільки взаємно перпендикулярні прямі - окремий випадок перетину прямих, то для них повинні бути характерними ознаки, властиві прямим, що перетинаються на плані. Крім цього, з розділу ортогональних проекцій відомо: якщо дві прямі взаємно перпендикулярні, в просторі, то проекції їх перпендакулярні одна до одної у тому випадку, коли хоча б одна з прямих горизонтальна. Отже, у взаємно перпендикулярних прямих, з яких хоча б одна горизонтальна, проекції на плані взаємно перпендикулярні.
На рис. 2.23 прямі n та AB взаємно перпендикулярні, оскільки:
1/ проекції прямих перетинаються;
2/ точка перетину прямих /точка А/ має однакову числову відмітку на одній та другій прямій, рівну 7;
3/ пряма n - горизонталь, а проекції прямих n та AB на плані взаємно перпендикулярні.
Якщо дві прямі взаємно перпендикулярні і знаходяться у вертикальній площині, то їх інтервали - величини, обернені одна до одної, а числові відмітки точок прямих зростають у різних напрямках.
На рис. 2.24 прямі AВ та ВC розташовані у спільній вертикальній площині і перпендикулярні одна до одної, оскільки інтервали їх дорівнюють lAB = 2м, lBC = 0,5 м, тобто інтервали -величини, обернені одна до одної, а числові відмітки зростають у протилежних напрямках.
У тому, що AВ ┴ BC, можна переконатись, побудувавши профіль прямих на вертикальну площину π, розташовану паралельно прямим /рис. 2.24/.
Взаємну перпендикулярність-прямих загального положення можна визначити проеціюванням на вертикальну площину, паралельну одній із заданих прямих. Якщо профілі прямих перпендикулярні, то і самі прямі взаємно перпендикулярні.
Розділ 3. Проекції площин
3.1 Завдання площини на плані. Масштаб спаду площини
Площина на плані може бути задана такими ж геометричними елементами, як і в ортогональних проекціях: проекціями трьох точок, які не лежать на одній прямій /рис. 3.1/; прямої та точки, яка не лежить на прямій /рис. 3.2/; двох прямих, що перетинаються /рис. 3.3/; двох паралельних прямих - загального положення /рис. 3.4/ і горизонталями, що являє собою окремий випадок завдання площини паралельними прямими /рис. 3.5/; проекціями відсіку плоскої фігури /рис. 3.6/.
В проекціях з числовими відмітками досить поширене завдання площини прямою лінією та величиною нахилу площини /рис. 3.7 та 3.8/, причому пряма може бути загального положення /див. рис. 3.7/ або горизонталлю /див. рис. 3.8/.
Особливий випадок завдання площина простору на плані - завдання масштабом спада площини. Таке завдання більш наочне і зручне при розв'язувані більшості інженерних задач.
Масштабом спаду площини називається, проградуйована проекція лінії найбільшого окату /ЛНС/ площини.
Із розділу ортогональних проекцій відомо, що лінією найбільшого скату площини називається пряма, перпендикулярна до горизонталей площини. Назва "лінія скату" пов'язується з тим, що важка матеріальна точка рухається /скатується/ на похилій площині по ЛНС, тому що серед усіх прямих, які можна провести в даній площині. ЛНС утворює з горизонтальною площиною найбільший кут нахилу /скату/. Наприклад, найбільш імовірний напрям руху потока води під дією власної ваги /дощового потоку/ по плоскосних укосах греблі, дамби або меліоративного канала, а також земляного грунту при будівництві греблі, дамби - по ЛНС.
На рис. 3.9 дано просторове зображення площини γ, яка перетинає основну площину π0 по лінії h . У площині γ проведена лінія найбільшого скату MN/МN┴h0γ 0γ / і побудована її проекція Мо N4 на площині π0 . Лінія найбільшого скату площини називається також лінією падіння. Вона визначає кут нахилу /скату/, або кут падіння площини: кут α між лінією найбільшого скату MN і її проекцією М0 N4 на основну площину π0 і з кутом нахилу або кутом падіння площина γ до площини π0 .
Площину γ перетнемо
29-04-2015, 00:36